Ripasso delle matematiche elementari: esercizi proposti

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Sibilla Colli
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1 Ripasso delle matematiche elementari: esercizi proposti I Equazioni e disequazioni algebriche Esercizi sui polimoni Esercizi sulle equazioni di grado superiore al secondo Esercizi sulle disequazioni razionali Esercizi sulle equazioni e disequazioni irrazionali Esercizi sulle equazioni e disequazioni con il valore assoluto II Equazioni e disequazioni trascendenti Esercizi su equazioni e disequazioni logaritmiche Esercizi su equazioni e disequazioni esponenziali Esercizi su equazioni e disequazioni trigonometriche i

2 ii Ripasso delle matematiche elementari: esercizi proposti

3 Capitolo I Equazioni e disequazioni algebriche Esercizi sui polimoni Esercizio. Scomporre in fattori i seguenti polinomi: (a) x x x + (x )(x + )(x ) (b) x + x x x(x )(x + ) (c) x x x. (x )(x + x + ) Esercizio. Dato il polinomio p(x) = x 4 x x + 9x 6, dire se è divisibile per x 5 e trovarne le radici reali. Dire poi se la disequazione p(x) > 0 è equivalente a x x+ > 0. No,,, Sì Esercizi sulle equazioni di grado superiore al secondo Esercizio. Risolvere le seguenti equazioni: ( ) x 5 6 ( ) 5 x (a) = 0 x x 5 ; 5 (b) ( x + x ) = ( x + x ) 5. 0; ;

4 4 Capitolo I Equazioni e disequazioni trascendenti Esercizio. Determinare per quali valori di b R l equazione x 4 + bx + = 0 ammette: (a) nessuna soluzione; b > (b) una sola soluzione; b R (c) due soluzioni; b = (d) quattro soluzioni. b < Esercizio. Determinare per quali valori di b R l equazione x 4 + bx = 0 ammette: (a) nessuna soluzione; b R (b) una sola soluzione; b R (c) due soluzioni; b R (d) quattro soluzioni. b R Esercizi sulle disequazioni razionali Esercizio. Risolvere le seguenti disequazioni: (a) 5x x 5x + < 0 x <, 5 < x < (b) x 5x + 6 x + > 0 x <, x > (c) x 4 0x + 9 > 0 x <, < x <, x >

5 Esercizi sulle disequazioni razionali: esercizi proposti 5 (d) x 5x + 6 x > 0 x <, x > x + 0 (e) x + 0x + 6 x > 0 x > (f) (x 5)(x + 4) < 0 (g) ( x + 7x 5) (x + )(4 x ) 4 0 x < 5, x > 5 x =, x, x =, x 5 (h) ( + x ) 4 (6 + x ) < 0. x < 4, x > 4 Esercizio. Sia P (x) un polinomio. Sapendo che la soluzione della disequazione P (x) > 0 è data da x <, 0 < x <, x > 9, determinare le soluzioni delle seguenti disequazioni: P ( x) > 0, P ( x ) > 0, P ( x ) > 0, P (x) > 0, ( ) P x > 0, P (x) > 0, P (x) P ( x) > 0. P ( x) > 0 = x < 9, < x < 0, x >, P ( x ) > 0 = 0 < x <, x > 8, ( P x ) > 0 = x <, < x < 0, 0 < x <, x >, P (x) > 0 = x <, 0 < x <, x >, ( ) P x > 0 = x <, 0 < x <, x > 7, > 0 = x <, 0 < x <, x > 9, P (x) P (x) > 0 = x < 9, x > 9, P ( x)

6 6 Capitolo I Equazioni e disequazioni trascendenti 4 Esercizi sulle equazioni e disequazioni irrazionali Esercizio. Risolvere le seguenti equazioni: (a) x 4 x + 4x + = 0 (b) x + x 4 x = 0 ; 7 ± 5 (c) + (x + ) (x + ) = 0 (d) x (4 x ) (x ) = 0 (e) 4 x ( x ) = 0. ; 8 Esercizio. Risolvere le seguenti disequazioni: (a) x + > x + 0x + x < (b) x x + x x + 6 x, x = (c) x + > 4 6x 4 + x + 4x x > 8 (d) 6x + 7x 9x + x x, x (e) x + x + 0 x (f) x x > < x < (g) 0 x + x 5 x x, x 5

7 5. Esercizi sulle equazioni e disequazioni con il valore assoluto 7 (h) x x > 0 x R (i) 6 x 8 4 x 0 x 0, 9 x 4 (l) 4x x x 4x(x + ) x 0 x (m) x (4 x ) + x 0 < x (n) (o) 7 x x x + x + < x x < 5 (p) (x )( x) > x < x < (q) x x > 0. < x < 5 Esercizi sulle equazioni e disequazioni con il valore assoluto Esercizio. Risolvere le seguenti equazioni: (a) x = x x R (b) 6x 5 = x, (c) x = x. ± Esercizio. Risolvere le seguenti disequazioni: (a) x + x x

8 8 Capitolo I Equazioni e disequazioni trascendenti (b) x x < 7 6 < x <, + < x < (c) 6x + x + 5 < x < 9, x > 9 (d) x x x x 0 (e) x x x x = 0 (f) x + x x x R (g) x + x x 0 (h) + x + x x (i) x + < x x + 7 x R (l) (m) + x + 4 x x(6 + x 0 x ) x x ( x ) (x + ). x 9 4, x Esercizio. Determinare per quali valori di a R l equazione x = a ammette: (a) nessuna soluzione; a < 0 (b) una sola soluzione; a R (c) due soluzioni; a = 0, a > (d) tre soluzioni; a = (e) quattro soluzioni. 0 < a <

9 Esercizi sulle equazioni e disequazioni con il valore assoluto: esercizi proposti 9 Esercizio 4. Determinare per quali valori di x Z il numero è primo. (x + x )(x 7x + ) {x Z : x 5} Esercizio 5. Determinare quanti sono i punti P (x, y) del piano con entrambe le coordinate x, y intere tali che x + y. Determinare quanti sono i punti P (x, y) del piano con entrambe le coordinate x, y intere tali che x + y n al variare di n N. 5; n + n +

10 0 Capitolo I Equazioni e disequazioni trascendenti

11 Capitolo II Equazioni e disequazioni trascendenti Esercizi su equazioni e disequazioni logaritmiche Esercizio. Risolvere le seguenti equazioni: (a) (log x ) = (b) log (x + ) log (x + ) = log ( x) (c) log x + log x = 0. x e ± Esercizio. Risolvere le seguenti disequazioni: (a) log (x + x + ) < log (x + x ) x > (b) ( log x ) 4x + log (x 4x + ) x > (c) ( ) log x log < log (x ) x > (d) log x ( x ) 0 x R

12 Capitolo II Equazioni e disequazioni trascendenti (e) log x + < log 4 x < x < (f) log ( x ) x < 0 x <, < x < (g) log ( x) x < 0 < x < 0 (h) log x (log x ) 0 < x e, x e + (i) log x + (x + ). < x Esercizio. equazioni: (a) log (xy) = 0 (b) log x + log y = 0 (c) log x + log y = 0 (d) log x + log y = Rappresentare nel piano cartesiano (O, x, y) le soluzioni delle seguenti y = x y = x, x > 0 y = ± x y = e x, x > 0 (e) log ( x) log y = log. y = x, x < 0 Esercizi su equazioni e disequazioni esponenziali Esercizio. Risolvere le seguenti equazioni: (a) 4 x 4 x = 0 log (b) x 5 8 x x 5 x = x 5 x+5 (c) 9 x + x+ 4 = 0. 0

13 . Esercizi su equazioni e disequazioni trigonometriche Esercizio. Risolvere le seguenti disequazioni: (a) e x e x > ( x > log + ) ( ) (b) (e x ) e x 5e x x 0, log x log (c) e x (e x ) 0 x log (d) ( 4x 4) ( x < 4) +x+ x <, x > (e) ( ) x > 8 x < 0 (f) 5 x + 5 x <. x < 0 Esercizi su equazioni e disequazioni trigonometriche Esercizio. Risolvere le seguenti equazioni: (a) sin x = 0 π + kπ, k Z ( ) k π k π, k Z (b) sin (x ) = (c) sin x cos x =. π + kπ, k Z Esercizio. Risolvere le seguenti disequazioni: 4 + 4k < x < 4 + 4k, k Z (a) cos π x > (b) ( ) x + π cot > (k ) π < x < π + (k )π, k Z

14 4 Capitolo II Equazioni e disequazioni trascendenti (c) cos x( sin x) > 0 π 6 + kπ < x < π + kπ, π + kπ < x < 5 6 π + kπ, k Z (d) + sin x 0, π x π π x 5 π, π x 7 π, π x π (e) cos x > cos x, π < x < π π < x < π (f) 5 4 sin x + 4 sin x > cos x, π < x < π 5 6 π < x < π 6, π 6 < x < 5 6 π (g) 5 sin x 6 sin x, 0 x π 0 x π 6, 5 6 π x π (h) sin x π + cos x 0, 0 x π 6 x < π, 5 6 π x < 4 π (i) ( ) tan + x. 4 π π 4 π x π

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