Alessio Del Padrone Esercizi di Geometria: Numeri Complessi e Polinomi (Ingegneria A.A. 10/11)

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1 Alessio Del Padrone Esercizi di Geometria: Numeri Complessi e Polinomi (Ingegneria A.A. 10/11) 1. Disegnare sul piano di Argand-Gauss e porre in forma trigonometrica-esponenziale (i.e. determinarne modulo ed argomento) i seguenti numeri complessi : 0, ±1, 2i, ±3, ±i, 3 + 4i, 4 + 3i, ±1 ± i, ±1 ± i ( (1 + i) 9 3, (1 i) 7, 1 ) i, 2 (1 + 2i) 2 (1 i) 3 (3 + 2i) 3 (2 + i) 2, 1 + i 3 + i 1 i 3, i 1 i, i(i 1) ( 3 + i), (i + 1)(3 3i) 2 ( 2 + i 6), (1/ 3) + i i/ 3, 2 + ( 1 + i ) 2 3 a + ib 3 + i,, 1 i b ia con a, b R, (1 + cos θ + i sin θ)n con n N, θ [ π, π], cos α i sin α, sin α ± i cos α, (cos α i sin α) 5, (cos α i sin α) 2 (cos β i sin β) 3 con α, β R. Suggerimento: per (1 + cos θ + i sin θ) n con n N, θ [ π, π], si provi preliminarmente che 1+cos θ+i sin θ = 2 cos(θ/2) se θ [ π, π], quindi se θ = π o θ = π si ha 1+cos θ+i sin θ = 0, altrimenti 1 + cos θ + i sin θ = 2 cos(θ/2)e iθ/ Dimostrare le seguenti proprietà del coniugio (z := a ib se z = a + ib con a, b R): 1 z = z = z, zz = z 2, z = z, arg(z) arg(z)(mod 2π), z se z 0, z = z z R, z + z = 2R(z), z z = 2iI(z), z 2 z 1 + z 2 = z 1 + z 2, αz = αz se α R, z 1 z 2 = z 1 z Dimostrare che: z n = z n se n Z (z 0 se n < 0), z 1 z 2 = z 1 z 2 per ogni z 1, z 2 C, z n = z n se n Z (z 0 se n < 0). Si osservi in particolare che 1 z = 1 per ogni z C \ {0}. z Interpretare geometricamente la seconda formula nel caso z 1 = α R e z 2 C. 4. Sia z = a + ib C un numero complesso dato e si consideri il polinomio a coefficienti (a priori) complessi (t z)(t z) C[t]. Dimostrare l identità (t z)(t z) = t 2 2R(z) + z 2 = t 2 2at + a 2 + b 2 R[t]. 5. Sia p(t) = n i=0 α it i R[t] un polinomio a coefficienti reali e sia z C un numero complesso dato. Si consideri il numero complesso p(z) = n i=0 α iz i C. Dimostrare che p(z) = p(z), i.e. n n α i z i = α i z i. i=0 i=0 Dedurre da ciò che se z è uno zero del polinomio a coefficienti reali p(t), allora anche il suo complesso coniugato z è uno zero del polinomio p(t). In particolare p(z) = 0 p(t) = (t z)(t z)q(t) = (t 2 2R(z) + z 2 )q(t) per qualche q(t) R[t]. 1

2 2 Concludere che ogni polinomio a coefficienti reali di grado dispari ha almeno uno zero reale. 6. Disegnare nel piano l insieme {(x, y) R 2 (1 + i)(x + iy) 2i = 2}. 7. Qual è la risposta esatta? La forma trigonometrica-esponenziale di ie iπ/7 è a)e i9π/14 ; b)e π/7 ; c) sin π/7 + i cos π/7. 8. Calcolare (i.e. determinare modulo ed argomento): 2(cos 3θ i sin 3θ) 5 ( ) 1 + i ( sin θ i cos θ),, (1+i 3) n +(1 i 3) n, (z) n +(z) n con z C, n Z (z 0 se n < 0) Risolvere in C le seguenti equazioni e disequazioni : 2z (1 i)z = 0, 1 + i 2 + 3i = 1, 2z 1 + i = i, z = ±1 z, z = ±1 z, zn = ±w per n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 e w = 1, i, exp(exp(z)) = i, z 2 ± z = 0, z 6 + iz 3 = 0, exp(z) = 1 i, z = i 4z, z 2 + z + 1 = 0, 3 z 3 = z 2, z 2 = 2 + i 2, iz2 2z 2 i = 0, z z 3 + z 3 8 z i 8i = 0, z + i i + 1 Im(2i z), z 2 = z 2, z 5 + (1 i 3)z 3 27z i = 0, z 7 + z 6 + z 5 + z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0 { { z 2 Re(z) = 0 Re(z 2 ) + Im(z(1 + 2i)) = 3 + z + 1 = 0, 2Re(z(1 + i)) = zz = 0, Im((2 i)z) = 1, zz = 4 arg(z) = π Quale delle precedenti è una equazione polinomiale in z e quale no? perché? 10. Determinare l insieme S degli esponenti per cui la potenza ( 3 + i) n è reale negativa, i.e. S = {n N ( 3 + i) n R e ( 3 + i) n < 0}. 11. Esprimere sin 2α, cos 2α, sin 3α, cos 3α,..., sin nα, cos nα in termini di sin α e cos α calcolando in due modi le potenze (cos α + i sin α) 2, (cos α + i sin α) 3,..., (cos α + i sin α) n con n N. 12. Trovare il minimo naturale m N diverso da zero tale che (1+i) m sia reale. Quanto vale (1+i) m per questo m? 13. Esiste un m N tale che m 0 e (e i 2 ) m R? 14. Siano z = 4 1+i 3 C, n N +. Calcolare z n e trovare le radici n-esime di z. 15. Sia z = 2 2 i Calcolare modulo ed argomento di z mediante una calcolatrice tascabile. Siete in grado di stimare gli errori commessi nelle varie approssimazioni? Calcolare, algebricamente, z 2 e z 4 e dedurne la rappresentazione trigonometrica di z, confrontando con quanto ottenuto con la calcolatrice. 16. Determinare le radici seste complesse di 1, sia in forma esponenziale che in forma algebrica; calcolare poi (1 i) 6 e dedurre da ciò le radici seste di 8i. 17. Descrivere l insieme {z/z z C\{0}}. Si consideri poi w C fissato e l equazione z 6 +wz 6 = 0. Stabilire per quali w C l equazione ha soluzioni non nulle, determinandole in tal caso. Disegnare l insieme delle soluzioni per w = 1.

3 3 18. Dimostrare che le radici dell equazione (x + 3i) m (x 3i) m = 0 sono tutte reali. 19. Risolvere le seguenti equazioni in C: z 3 = ±1, z 5 = 1, z 5 = ±i, z 3 = 1 + i, z 3 = 1 i, z = 0, z 8 = 1 + i 3 i, ( ) 2z = 1. 2z Determinare le radici quadrate di 1 + i, sia in forma algebrica che in forma esponenzialetrigonometrica. Dedurre poi che cos ( ) 7π 8 = /4 21. Verificare che dato w C l equazione z 2 = w ha una sola soluzione se e solo se w = 0, ed ha esattamente due soluzioni se w 0. In quest ultimo caso, se s C è una delle due soluzioni l altra è s. 22. Dati a, b, c C, con a 0, verificare la seguente identità fra polinomi: ( az 2 + bz + c = a z + b ) 2 b2 4ac 2a 4a 2. Dedurre da ciò che le radici complesse dell equazione az 2 + bz + c = 0 sono b±s 2a, essendo s una qualunque delle due radici quadrate del numero complesso := b 2 4ac. 23. Trovare le radici quadrate di i, e risolvere l equazione (1 + i)z 2 (7 + 13i)z i = Risolvere l equazione z 2 (5 + 3i)z i = Risolvere l equazione z 2 (1 + i sin(2θ))z + i 2 sin(2θ) = 0 con θ R. 26. Risolvere l equazione z 8 2(i 3 1)z 4 8(1 + i 3) = 0 e disegnarne le soluzioni sul piano. 27. Si dica quale tra le seguenti equazioni algebriche ammette qualche soluzione in N, quale in Z, quale in R, quale in C: x 2 4x = 0, x + 2 = 0, x 3 1 = 0, x 7 = 0, x 2 + 6x + 9 = 0, 3x 2 5x + 2 = 0, x 2 3x 5 = 0, x 2 + x + 2 = 0, 3x 3 2x 2 + 3x 2 = 0, x 4 + x 3 + 2x 2 + x + 1 = 0, ix 2i = 0, x 2 + x + 1 = 0, x 3 + x 2 + x + 1 = 0, x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = 0, xx + i = Scomporre in fattori lineari i seguenti polinomi: t 3 + t 2 4t 4; t 3 1; t 4 1; t 5 + i; t 4 + t Scrivere i seguenti polinomi come prodotto di polinomi a coefficienti reali e di grado minimo: t 3 + t 2 4t 4; t 3 1; t 4 1; t 5 + i; t 4 + t 2 + 1; t 2 + t + 1; t 3 7t + 6; t 3 2; t 6 1; t Dimostrare che l insieme di tutti i polinomi a coefficienti complessi che si annullano in i è costituito dai polinomi multipli di t i in C[t], ovvero: {p(t) C[t] p(i) = 0} = {(t i)q(t) q(t) C[t]}. 31. Dimostrare che l insieme di tutti i polinomi a coefficienti reali che si annullano in π è costituito dai polinomi multipli di t π in R[t], ovvero: {p(t) R[t] p(π) = 0} = {(t π)q(t) q(t) R[t]}.

4 4 32. Dimostrare che l insieme di tutti i polinomi a coefficienti reali che si annullano in i è costituito dai polinomi multipli di t = (t i)(t + i) in R[t], ovvero: {p(t) R[t] p(i) = 0} = {(t 2 + 1)q(t) q(t) R[t]}. 33. Dimostrare che l insieme di tutti i polinomi a coefficienti reali che si annullano in i ed in 2 è costituito dai polinomi multipli di t 3 + 2t 2 + t + 2 = (t i)(t + i)(t + 2) in R[t], ovvero: {p(t) R[t] p(i) = p( 2) = 0} = {(t 3 + 2t 2 + t + 2)q(t) q(t) R[t]}. 34. Dimostrare che dati z, w C si ha {p(t) C[t] p(z) = w} = {w + (t z)q(t) q(t) C[t]}. 35. Dimostrare che dati z C \ R ed α R si ha {p(t) R[t] p(z) = α} = {α + (t z)(t z)q(t) q(t) C[t]}. 36. Determinare l insieme di tutti i p(t) R[t] tali che p(1) = i. 37. Qual è il grado minimo di un polinomio p(t) C[t] tale che p(i) = 1 (se esiste)? 38. Qual è il grado minimo di un polinomio p(t) R[t] tale che p(i) = 1 (se esiste)? 39. Scrivere un polinomio di quinto grado a coefficienti reali avente tra le sue radici i numeri 2 i e i. Qual è il grado minimo di un polinomio p(t) R[t] avente tra le sue radici i numeri 2 i e i. Descrivere l insieme di tutti i p(t) R[t] aventi tra le loro radici i numeri 2 i e i e che assumono il valore 1 in Si determini un polinomio p(t) R[t] di grado minimo avente come radici i numeri 2, 0, 1 i con molteplicità (esattamente) 1, 2, 2 e tale che f(3) = Si determini un polinomio p(t) R[t] di grado minimo avente come radici i numeri 2, 0, 1 i con molteplicità almeno 1, 2, 2 e tale che f(i) = Si determini un polinomio p(t) R[t] di grado minimo avente come radici i numeri 2, 0, 1 i con molteplicità (esattamente) 1, 2, 2 e tale che f(i) = Si determini un polinomio p(t) C[t] di grado minimo avente come radici i numeri 2, 0, 1 i con molteplicità (esattamente) 1, 2, 2 e tale che f(1 + i) = Sia f(t) := t 8 15t 4 16 R[t]. Si scrivano un polinomio p(t) R[t] che abbia in comune con il polinomio f tutte e sole le radici reali (con le stesse molteplicità), un polinomio q(t) R[t] che abbia in comune con il polinomio f tutte e sole le radici non reali (con le stesse molteplicità), ed un polinomio g(t) R[t] avente a comune con il polinomio f tutte e sole le radici complesse (con le stesse molteplicità). 45. Sia p(t) := t 3 + (1 5i)t 2 2(5 + i)t + 8i C[t]. Dire se p(t) ha qualche radice multipla (hint: calcolare le radici di p ). Calcolare p(2i) e risolvere l equazione p(z) = Sia p(t) := t 3 (4+i)t 2 +(7+i)t 4 C[t]. Dire se p(t) ha qualche radice multipla (hint: calcolare le radici di p ). Dimostrare che l equazione f(z) = 0 ammette una soluzione reale; risolvere poi l equazione p(z) = 0.

5 5 47. Dato w C risolvere l equazione E w : z 3 + (2 i)z 2 + (w i)z i(1 + w 2 ) = 0 dopo aver osservato che z = i è soluzione. Determinare l insieme dei punti del piano w = a + ib tali che la corrispondente equazione E w ammetta almeno due radici aventi lo stesso modulo. 48. Dimostrare che l equazione z 3 3z 2 + (9 + 5i)z 2 10i = 0 ammette una soluzione immaginaria pura. Determinare poi le altre soluzioni. 49. Calcolare (2 + i) 3 e (1 i) 3 e risolvere l equazione z 6 9iz i = Sia p(t) := t 6 3t 5 + 2t 4 + 8t 3 20t t 8 Z[t]. Dire se p(t) ha qualche radice multipla (hint: calcolare il MCD tra p e p ). Risolvere l equazione p(z) = 0 nel campo complesso sapendo che 1 + i è una radice doppia. Descrivere l insieme {x R p(x) < 0}. Risolvere l equazione complessa z 18 3z z z 9 20z z 3 8 = Sia p(t) := t 4 4t 3 + 4t 2 4t + 3 Z[t]. Dire se p(t) ha qualche radice multipla (hint: calcolare il MCD tra p e p ). Calcolare p(i) e risolvere l equazione f(z) = 0 nel campo complesso. Scomporre p(t) in fattori irriducibili di primo e secondo grado a coefficienti reali. 52. Sia p(t) := t 6 2t 5 + 5t 4 2t 3 + 5t 2 2t + 4 Z[t]. Dire se p(t) ha qualche radice multipla (hint: calcolare il MCD tra p e p ). Risolvere l equazione p(z) = 0 nel campo complesso sapendo che una soluzione è z = 1 + i 3. Scomporre p(t) in fattori irriducibili di primo e secondo grado a coefficienti reali. 53. Sia f la funzione di variabile complessa dafinita da f(z) = i z 3 z 1. (a) Determinare il dominio D C di f. (b) Determinare l immagine f(d) = {w C w = f(z) per qualche z D} di f. (c) Provare che f : D f(d) è biettiva. (d) Sia T := {w C I(w) < 0}. Disegnare T e l insieme f 1 (T ) = {z D f(z) T }. 54. Sia z C tale che 1 < z < 2. Dopo aver disegnato l insieme degli z siffatti, dimostrare che esistono, unici, w 1, w 2 C tali che w 1 = w 2 = 1 e z = w 1 + w Si consideri il polinomio p(t) = t 8 + t (a) Trovare il valore minimo p(x) che il polinomio assume al variare di x R, e dedurne che p non ha zeri reali. (b) Scomporre p in prodotto di polinomi a coefficienti reali di grado non superiore a Trovare e disegnare gli insiemi {z C z 1 = z + 1 }, {z C z 1 z + 1 }. Interpretare geometricamente il risultato; usare tale interpretazione per descrivere a parole (non solo analiticamente) gli insiemi {z C z u = z v }, {z C z u z v } dove u, v C, u v sono numeri complessi qualsiasi. 57. Sia f : C \ {i} C la funzione di variabile complessa dafinita da f(z) = 1 z z i. (a) Determinare l immagine f(c \ {i}) = {w C w = f(z) per qualche z C \ {i}} di f. (b) Provare che f è iniettiva. (c) Posto E = { z C z i 2 > 1 2, z i < 1}, si calcoli f(e), disegnandolo nel piano.

6 6 58. (a) Sia z C; mostrare che 1+iz 1 iz ha modulo 1 se e solo se z R. (b) Mostrare che l applicazione f : t R 1+it 1 it C stabilisce una corrispondenza biunivoca tra R e l insieme U \ 1 dei numeri complessi di modulo 1 diversi da 1. (c) Sia w C; discutere esistenza e numero di soluzioni reali per l equazione (nell incognita z): ( ) 1 + iz m = w (m N, m 2). 1 iz 59. Sia p: C C una funzione polinomiale di grado m > 0. (a) Mostrare che p è suriettiva. (b) Mostrare che p è iniettiva se e solo se m = 1; in tal caso p è biiettiva. (c) Per m = 1 esplicitare la funzione inversa (rispetto alla composizione di funzioni) di p. 60. Risolvere l equazione ie2z i i 1 = 1. Alessio Del Padrone, Dipartimento di Matematica, Università di Genova, Via Dodecaneso 35, Genova, Italy, Tel: , Fax: delpadro@dima.unige.it Url :