Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti

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1 Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti 0.1 Introduzione Una equazione differenziale del secondo ordine è una relazione del tipo F (t, y(t), y (t), y (t)) = 0 (1) Definizione 1 Una funzione y = φ(t) è soluzione dell equazione (1) (o anche curva integrale o ancora integrale) se 1. φ è definita su un intervallo I R; 2. φ è derivabile due volte su I; 3. per ogni t I si ha F (t, φ(t), φ (t), φ (t)) = 0. Osservazione: Come per una equazione differenziale del primo ordine, si scrive piuttosto Esempi: F (t, y, y, y ) = y = 0. Chiaramente si ha y (x) = a, a R e quindi y(x) = ax + b, b R. 2. y y = 0. Basta introdurre una nuova funzione incognita z = y e l equazione in z diventa z = z cioè z(t) = Ke t con K R e quindi y (t) = Ke t implica y(t) = Ke t dt = Ke t + H, con H R. Osservazione: In generale, l insieme delle soluzioni di una equazione differenziale del secondo ordine (quando non è vuoto) è costituito da una famiglia dipendente da due paramentri. Definizione 2 L insieme di tutte le soluzioni di una equazione differenziale del secondo ordine viene chiamato integrale generale. Definizione 3 Se l equazione è della forma y = f(t, y, y ), f : D R 3 R diremo che è in forma normale. Definizione 4 Se f : D R 3 R e (t 0, y 0, y 1 ) D, chiameremo problema di Cauchy il problema seguente y = f(t, y, y ) y(t 0 ) = y 0 y (t 0 ) = y 1. 1

2 Osservazione: Poiché l integrale generale di una equazione differenziale del secondo ordine dipende da due parametri, per individuare una soluzione particolare dobbiamo imporre due condizioni, che sono il valore della funzione in un certo punto t 0 e il valore della derivata in t 0 (che insieme corrispondono all assegnare nel punto (t 0, y 0 ) la retta tangente al grafico della soluzione) 0.2 Equazioni del secondo ordine lineari in forma normale Sono le equazioni del tipo y + a(t)y + b(t)y = f(t) (2) dove a(t), b(t) e f(t) sono funzioni definite su un certo insieme J R. Si dicono lineari perché le variabili y, y e y compaiono solo come monomi di primo grado; non c è alcuna richiesta invece sulle funzioni a(t), b(t) e f(t). Esempio: y + e t y + (1 + arctan t t 2 )y = sin(t 2 ). Definizione 5 Chiameremo equazione omogenea associata all equazione (2) l equazione z + a(t)z + b(t)z = 0 mentre l equazione (2) si dirà equazione completa. Vale, come per le equazioni differenziali del primo ordine lineari, il teorema di struttura seguente. Teorema 6 L integrale generale dell equazione completa y + a(t)y + b(t)y = f(t) si ottiene sommando all integrale generale dell equazione omogenea associata z + a(t)z + b(t)z = 0 un integrale particolare dell equazione completa. A differenza che nel caso delle equazioni lineari del primo ordine, non esiste un metodo standard per risolvere l equazione omogenea nel caso in cui i coefficienti siano funzioni qualsiasi di t. Studieremo solo il caso in cui i coefficienti siano costanti Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti Si tratta di equazioni del tipo ay + by + cy = f(t), a, b, c R, a 0, f : I R R Osservazione: Chiaramente, possiamo sempre pensare che a = 1, pur di dividere per a. Il metodo risolutivo è il seguente: 2

3 1. Si determina l integrale generale dell equazione omogenea associata az + bz + cz = 0; 2. si determina un integrale particolare dell equazione completa; 3. si sommano i due risultati precedenti. 1. Risoluzione dell equazione omogenea associata L integrale generale dipenderà da due parametri c 1, c 2. Si può dimostrare che l integrale generale è dato da z(t) = c 1 z 1 (t) + c 2 z 2 (t), c 1, c 2 R ove z 1 (t), z 2 (t) sono due soluzioni non proporzionali dell equazione omogenea. Ricerchiamo quindi due soluzioni non proporzionali. Nel caso di una equazione lineare a coefficienti costanti omogenea del primo ordine sappiamo che la famiglia delle soluzioni è az + bz = 0 z(t) = He b a t, H R. In analogia, vogliamo determinare ora per quali valori di λ la funzione z(t) = e λt è soluzione dell equazione az + bz + cz = 0. Calcoliamo le derivate prima e seconda di z(t): z (t) = λe λt, z (t) = λ 2 e λt. La funzione z(t) è soluzione dell equazione se e solo se per ogni t R si ha aλ 2 e λt + bλe λt + ce λt = 0 cioè aλ 2 + bλ + c = 0. Definizione 7 Il polinomio aλ 2 +bλ+c si dice polinomio caratteristico associato all equazione differenziale e l equazione aλ 2 + bλ + c = 0 si dice equazione caratteristica. Dunque, la funzione z(t) = e λt è soluzione dell equazione omogenea se e solo se λ è radice del polinomio caratteristico. Studiamo ora le varie possibilità, a seconda che il polinomio caratteristico abbia due radici reali distinte, due radici complesse coniugate oppure una radice reale di molteplicità 2. Sia il discriminante dell equazione caratteristica: = b 2 4ac 3

4 a) Se > 0 si hanno due radici reali distinte λ 1 = b + b 2 4ac, λ 2 = b b 2 4ac e quindi abbiamo trovato due soluzioni non proporzionali dell equazione omogenea z 1 (t) = e λ 1t, z 2 (t) = e λ 2t da cui l integrale generale dell equazione omogenea è z(t) = c 1 e λ 1t + c 2 e λ 2t, c 1, c 2 R. b) Se < 0, allora esistono due soluzioni complesse coniugate dell equazione caratteristica: λ 1 = b 4ac b + i 2, λ 1 = λ 1 = b 4ac b i 2. Ponendo α = b e β = 4ac b 2, chiamiamo più semplicemente λ 1 = α + iβ, λ 2 = α iβ. Si avrebbero dunque due soluzioni complesse z 1 (t) = e (α+iβ)t, z 2 (t) = e (α iβ)t (ricordando che e A+iB := e A (cos B + i sin B)). Tuttavia, si può dimostrare che anche le due funzioni z 1 (t) = e αt cos(βt), z 2 (t) = e αt sin(βt) sono soluzioni e non sono proporzionali. Dunque, l integrale generale dell equazione omogenea è z(t) = c 1 e αt cos(βt) + c 2 e αt sin(βt), c 1, c 2 R. c) Se = 0, allora si hanno due radici reali coincidenti (cioè una radice con molteplicità 2) λ = b dunque troviamo una sola soluzione z 1 (t) = e b t. Come trovare una seconda soluzione non proporzionale a questa? Possiamo utilizzare il metodo di variazione della costante arbitraria e quindi determinare una funzione C(t) tale che z(t) = C(t)e b t sia soluzione. Facendo i conti, si trova C(t) = t, quindi una seconda soluzione, non proporzionale alla prima è z 2 (t) = te b t e l integrale generale dell equazione omogenea è z(t) = c 1 e b t + c 2 te b t, c 1, c 2 R. Esempi: 4

5 1) z + 7z + 10z = 0. Ricerchiamo l equazione caratteristica λ 2 + 7λ + 10 = 0 le cui radici sono λ 1 = 2, λ 2 = 5. L integrale generale dell equazione omogenea è quindi z(t) = c 1 e 2t + c 2 e 5t, c 1, c 2 R. 2) z 2z + z = 0. L equazione caratteristica è λ 2 2λ + 1 = 0 che ha come unica soluzione λ = 1 con molteplicità 2. L integrale generale dell equazione omogenea è z(t) = c 1 e t + c 2 te t, c 1, c 2 R. 3) z + z + z = 0. L equazione caratteristica è λ 2 + λ + 1 = 0 che ha due radici complesse coniugate λ 1 = i 2, λ 2 = i 2. L integrale generale dell equazione omogenea è ( ) ( ) z(t) = c 1 e t cos 2 t + c 2 e t sin 2 t, c 1, c 2 R. Attenzione: 1. Data l equazione y + y = 0 il polinomio caratteristico è λ = 0 non λ 2 + λ = 0 come si è spesso portati a pensare. 2. Data l equazione y +y +y+1 = e t, l equazione omogenea associata non è z +z +z+1 = 0 ma z + z + z = 0!! Non ci deve essere alcun termine noto. 5

6 Osservazione: Terminiamo questo paragrafo con l equazione dell oscillatore armonico y + k y = f(t), k = costante di elasticità, m = massa, f(t) = forza esterna. m L equazione omogenea associata è e l equazione caratteristica è z + k m z = 0 λ 2 + k m = 0 che ha due radici complesse coniugate k λ 1 = i m, L integrale generale sarà quindi z(t) = c 1 cos k λ 2 = i m. ( ) ( ) k k m t + c 2 sin m t, c 1, c 2 R. 2. Ricerca di un integrale particolare Vogliamo ora determinare una soluzione particolare dell equazione completa. Osservazione: Se l equazione è della forma e se y 1 (t) è soluzione di e y 2 (t) è soluzione di ay + by + cy = f 1 (t) + f 2 (t) (3) ay + by + cy = f 1 (t) ay + by + cy = f 2 (t), allora y(t) = y 1 (t) + y 2 (t) è soluzione dell equazione (3). Infatti: a(y 1 (t) + y 2 (t)) + b(y 1 (t) + y 2 (t)) + c(y 1 (t) + y 2 (t)) = ay 1 (t) + by 1 (t) + cy 1(t) + ay 2 (t) + by 2 (t) + cy 2(t) = f 1 (t) + f 2 (t). Per determinare un integrale particolare dell equazione completa esiste un metodo generale (di variazione delle costanti arbitrarie) che consiste nel ricercare due funzioni C 1 (t) e C 2 (t) tali che la funzione ỹ(t) = C 1 (t)z 1 (t) + C 2 (t)z 2 (t) (dove z 1 e z 2 sono due soluzioni non proporzionali dell equazione omogenea) sia soluzione dell equazione completa. Questo metodo però è spesso lungo e complicato. Esiste un metodo diretto per calcolare una soluzione particolare nel caso in cui f(t) abbia una delle forme seguenti: R(t)e pt, R(t)e pt cos(qt), R(t)e pt sin(qt) 6

7 ove R(t) è un polinomio. Esempi: ay + by + cy = 3t 2 e 2t = e t = t 4 = e t cos 2t = 2te t sin 2t = t 3 cos 4t Dall osservazione precedente, sapremo quindi trovare un integrale particolare nel caso in cui f sia somma di un numero finito di termini del tipo precedente. Esempi: ay + by + cy = 3t 2 e 2t + 3t 3 Teorema 8 Consideriamo l equazione differenziale = e t + sin t + cos 4t ay + by + cy = f(t), a, b, c R, a 0. 1) Se f(t) = R(t)e pt, con R(t) un polinomio di grado r 0: se λ = p non è soluzione del polinomio caratteristico, allora esiste una soluzione particolare dell equazione della forma con Q(t) un polinomio di grado r; y(t) = Q(t)e pt se λ = p è soluzione del polinomio caratteristico di molteplicità m 1, allora esiste una soluzione particolare dell equazione della forma con Q(t) un polinomio di grado r. y(t) = t m Q(t)e pt 2) Se f(t) = R(t)e pt cos(qt) oppure f(t) = R(t)e pt sin(qt), con R(t) un polinomio di grado r 0: se λ = p+iq non è soluzione del polinomio caratteristico, allora esiste una soluzione particolare dell equazione della forma con Q(t) e S(t) polinomi di grado r; y(t) = e pt (Q(t) cos(qt) + S(t) sin(qt)) 7

8 Esempi: se λ = p + iq è soluzione del polinomio caratteristico, allora esiste una soluzione particolare dell equazione della forma con Q(t) e S(t) polinomi di grado r. 1. y 2y + y = e t 2. y + y 2y = te t 3. y 2y + y = 2e x cos(3x) 4. y + y 2y = t cos t 5. y 2y + y = t 2 e t 6. y + y 2y = e t + t 7. y + 2y + 3y = 3e x cos( 2x) 8. y + 3y = x Risolvere il seguente problema di Cauchy: y(t) = te pt (Q(t) cos(qt) + S(t) sin(qt)) y 2y + 4y = 0 y(0) = 1 y (0) = 4. 8