TEORIA DEI SISTEMI SISTEMI LINEARI

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1 TEORIA DEI SISTEMI Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale Indirizzo Gestione Industriale TEORIA DEI SISTEMI SISTEMI LINEARI Ing. Cristian Secchi Tel Trasformazioni lineari Dati due spazi vettoriali V e W, una trasformazione lineare T è una funzione T:V W che gode delle seguenti proprietà: 1. T(v 1 +v 2 )=T(v 1 )+T(v 2 ) v 1,v 2 V 2. T(α v)=αt(v) v V e α R Una volta fissate una base in V e una base in W, è possibile rappresentare una funzione lineare con una matrice; sia A tale matrice, allora: La rappresentazione A della trasformazione T non è unica. Cambiando le basi di V e W cambia la matrice che rappresenta la trasformazione lineare. Sistemi Lineari -- 2

2 Trasformazioni Lineari L Immagine di una trasformazione lineare T è il sottospazio vettoriale definito da: Il Kernel di una trasformazione lineare T è il sottospazio vettoriale definito da: Sistemi Lineari -- 3 Sistemi lineari Un sistema dinamico si dice lineare se: 1. E un sistema regolare 2. La funzione di transizione φ è lineare rispetto allo stato e rispetto all ingresso 3. La funzione di uscita è lineare rispetto allo stato e all ingresso. Sistemi Lineari -- 4

3 Sistemi lineari Il fatto che la funzione di transizione sia lineare significa che: E possibile, per un sistema lineare, decomporre il movimento del sistema nella somma di due contributi: uno dipende solamente dallo stato iniziale e l altro solamente dall ingresso. Sistemi Lineari -- 5 Sistemi lineari La funzione φ l (t,t 0,x(t 0 ))=φ(t,t 0,x(t 0 ),0), che descrive il movimento del sistema quando l ingresso è nullo, è lineare in x(t 0 ), cioè: questo movimento è detto movimento libero. Una volta fissata una base in X è possibile rappresentare φ l con una matrice e si ha: dove la matrice Φ(t,t 0 ), che dipende da t e t 0, è detta matrice di transizione dello stato. Sistemi Lineari -- 6

4 Sistemi lineari La funzione φ f, che descrive il movimento del sistema quando lo stato iniziale è nullo, è lineare in u( ), cioè: questo movimento è detto movimento forzato Una volta fissata una base in U è possibile rappresentare φ f con una matrice e si ha: dove la matrice Φ f (t,t 0 ), che dipende da t e t 0, è detta matrice di distribuzione degli ingressi. Sistemi Lineari -- 7 Sistemi lineari Il fatto che la funzione di uscita sia lineare negli argomenti x e u, significa, seguendo ragionamenti analoghi a quelli fatti per la funzione di trasferimento di stato, che, una volta fissata una base in X e U, è possibile scrivere: dove le matrici C e D dipendono dal tempo. Sistemi Lineari -- 8

5 Rappresentazione dei sistemi lineari Teorema: E possibile, rappresentare la funzione di stato di un sistema lineare come: dove t 0 è l istante iniziale Il teorema si dimostra sfruttando la linearità della funzione di transizione dello stato E molto importante in quanto consente di rappresentare il sistema con equazioni lineari nello stato e nell ingresso. E possibile sfruttare potenti tecniche dell algebra lineare per analizzare e controllare tali sistemi. Sistemi Lineari -- 9 Rappresentazione dei sistemi lineari Considerando il fatto che la funzione di uscita è lineare in x e u, è possibile dimostrare che un sistema è lineare se e solo se è rappresentabile mediante le seguenti equazioni: che sono equivalenti a: Il primo tipo di equazioni sono molto più utilizzate in quanto è possibile dedurre importanti caratteristiche del sistema dalle proprietà delle matrici A(t), B(t), C(t) e D(t). Sistemi Lineari -- 10

6 Rappresentazione dei sistemi lineari A(t), B(t), C(t) e D(t) sono matrici i cui elementi possono dipendere dal tempo. Nel caso di un sistema con n stati, m ingressi e p uscite, tali matrici hanno i seguenti nomi e la seguente struttura: Matrice di stato: Matrice Quadrata Matrice di ingresso: Sistemi Lineari Rappresentazione dei sistemi lineari Matrice di uscita: Matrice di ingresso-uscita: Sistemi Lineari -- 12

7 Esempio Circuito Elettrico A R 1 E u R 2 y x C B F Sistemi Lineari Esempio Circuito Elettrico Sia la funzione di stato che la funzione d uscita sono lineari nello stato e nell ingresso, quindi il sistema è lineare. In particolare il sistema ha 1 stato, 1 ingresso e 1 uscita e, quindi, le matrici A(t), B(t), C(t) e D(t) saranno tutte 1 X 1, cioè scalari. Le equazioni che modellano il sistema sono: dove Sistemi Lineari -- 14

8 Esempio Sistema Meccanico 2 m u k y b Sistemi Lineari Esempio Sistema Meccanico Sia la funzione di stato che la funzione d uscita sono lineari nello stato e nell ingresso, quindi il sistema è lineare. In particolare il sistema ha 2 stato, 1 ingresso e 1 uscita e, quindi, la matrice A(t) sarà 2 x 2, B(t) sarà 2 x 1, C(t) sarà 1 x 2 e D(t) sarà 1 x 1. Le equazioni che modellano il sistema lineare sono:. x(t) A(t) C(t) B(t) C(t) D(t) Sistemi Lineari -- 16

9 Principio di sovrapposizione degli effetti Teorema: Dato un sistema lineare con istante iniziale t 0, siano x e y il movimento dello stato e l uscita generati dall ingresso u a partire dallo stato x (t 0 ) e, rispettivamente, x e y il movimento dello stato e l uscita generati dall ingresso u a partire dallo stato x (t 0 ). Allora, per ogni coppia di scalari α e β, il movimento dello stato x e l uscita y generati da a partire dallo stato sono Sistemi Lineari Principio di sovrapposizione degli effetti Il principio di sovrapposizione degli effetti è di grande importanza perché consente di calcolare il movimento (e l uscita) generato da più cause (cioè da coppie stato iniziale-ingresso) come la somma pesata dei singoli effetti provocati da ciascuna causa. La dimostrazione del teorema è una conseguenza della linearità delle funzioni di transizione dello stato e della funzione di uscita. Sistemi Lineari -- 18

10 Esempio: Principio di sovrapposizione degli effetti k m b u Applicando una forza costante la massa si ferma in una posizione in cui la forza elastica F e generata dalla molla equilibria la forza applicata u. Sistemi Lineari Esempio: Principio di sovrapposizione degli effetti Caso 1 : F e (t)=-kx(t): il sistema è lineare. x (t 0 )=0 u =1 N x (t 0 )=0 u =2 N y (t) y (t) Sistemi Lineari -- 20

11 Esempio: Principio di sovrapposizione degli effetti x (t 0 )=0 u =3 N y (t) Sistemi Lineari Esempio: Principio di sovrapposizione degli effetti Il sistema è lineare e, quindi, vale il principio di sovrapposizione degli effetti. Infatti, l andamento dell uscita corrispondente a x (t 0 )=0 e u =3N è dato dalla somma dell andamento delle uscite in corrispondenza a x (t 0 )=0 e u =1N e x (t 0 )=0 e u =2N. Infatti: e, quindi Sistemi Lineari -- 22

12 Esempio: Principio di sovrapposizione degli effetti Caso 2 : F e (t)=-kx 3 (t): il sistema NON è lineare. Le equazioni che descrivono il sistema sono: Non sono equazioni lineari Sistemi Lineari Esempio: Principio di sovrapposizione degli effetti x (t 0 )=0 u =1 N x (t 0 )=0 u =2 N y (t) y (t) Sistemi Lineari -- 24

13 Esempio: Principio di sovrapposizione degli effetti x (t 0 )=0 u =3 N y (t) Sistemi Lineari Esempio: Principio di sovrapposizione degli effetti Il sistema non è lineare e, quindi, non vale il principio di sovrapposizione degli effetti. Infatti, nonostante: si ha che Il principio di sovrapposizione degli effetti vale solo per i sistemi lineari. Sistemi Lineari -- 26

14 Sistemi tempo-invarianti (o stazionari) Un sistema si dice tempo-invariante (o stazionario) se: 1) L insieme dei tempi T è un gruppo additivo 2) Per ogni u( ) Ω e τ T, la funzione u τ ( ), ottenuta per traslazione (u τ (t)=u(t+τ), τ T), appartiene a Ω 3) La funzione di transizione dello stato gode della proprietà: 4) La funzione d uscita è indipendente da t: Sistemi Lineari Sistemi tempo-invarianti (o stazionari) Le condizioni 1) e 2) sono tecniche. La prima serve per giustificare la somma di istanti di tempo (nel caso T=R tale condizione è soddisfatta); la seconda serve per poter ammettere, tra le funzioni di ingresso ammissibili, tutte quelle traslate nel tempo di una certa quantità La condizione 3) dice che la funzione di transizione dello stato non dipende dai parametri t e t 0 in modo indipendente ma è funzione solamente della differenza (t-t 0 ), cioè della quantità di tempo trascorsa dall istante iniziale. E quindi sempre possibile riportarci nella situazione in cui l istante iniziale coincide con l origine dei tempi, cioè, in cui t 0 =0. Nel corso studieremo sistemi tempo-invarianti e, quindi, assumeremo sempre t 0 =0. Sistemi Lineari -- 28

15 Sistemi tempo-invarianti (o stazionari) La condizione 4) implica che l uscita non dipende esplicitamente dal tempo t. In generale, le equazioni che rappresentano un sistema dinamico tempo-invariante sono: Il tempo non appare esplicitamente né nella funzione di stato né nella funzione di uscita. Sistemi Lineari Sistemi Lineari Tempo Invarianti (LTI) La condizione di tempo-invarianza per i sistemi lineari si traduce nel fatto che le matrici che descrivono il sistema NON dipendono dal tempo. Un sistema LTI è pertanto rappresentato dalle seguenti equazioni: dove A, B, C e D sono matrici costanti di dimensioni opportune. Sistemi Lineari -- 30

16 Sistemi tempo-invarianti - Esempi A R 1 E u R 2 y x C B F Sistemi Lineari Sistemi tempo-invarianti - Esempi x 1 x2 m u k b y Sistemi Lineari -- 32

17 Soluzione della funzione di stato Problema: Data l equazione che descrive l evoluzione dello stato di un sistema dinamico, trovare il movimento dello stato x(t) associato a un certo stato iniziale x(t 0 ) Occorre risolvere un equazione differenziale che può essere non lineare e che dipende esplicitamente dal tempo. Non esiste una soluzione generale al problema. Sistemi Lineari Soluzione della funzione di stato E possibile risolvere il problema per certe classi di sistemi, come per esempio quella dei sistemi lineari. Anche se esiste la soluzione per sistemi lineari tempo-varianti, ci concentreremo su una classe più ristretta di sistemi, quella dei sistemi lineari tempo-invarianti L equazione che considereremo sarà quindi: Sistemi Lineari -- 34

18 Soluzione della funzione di stato per sistemi LTI Consideriamo prima il caso di un sistema LTI autonomo (cioè con funzione di ingresso nulla): Sappiamo che: dove Φ(t) è la matrice di transizione dello stato che modella il movimento libero del sistema Sistemi Lineari Soluzione della funzione di stato per sistemi LTI Dalle precedenti relazioni segue che: La soluzione dell equazione, analogamente al caso scalare, è: Ma cosa significa fare l esponenziale di una matrice? Sistemi Lineari -- 36

19 Soluzione della funzione di stato per sistemi LTI L esponenziale è definibile mediante la sua espansione in serie: Analogamente, è possibile definire l esponenziale di una matrice come: Sistemi Lineari Soluzione della funzione di stato per sistemi LTI Consideriamo ora il caso più generale: La soluzione dell equazione è data dalla cosiddetta formula di Lagrange : Sistemi Lineari -- 38

20 Soluzione della funzione di stato per sistemi LTI Per verificare il risultato si utilizza la seguente formula di derivazione: Derivando la formula di Lagrange e applicando tale formula si ottiene: Sistemi Lineari Soluzione della funzione di stato per sistemi LTI Rimane una questione in sospeso: come calcolare e At? E impensabile dover usare direttamente la definizione che implicherebbe una somma di una serie matriciale. E possibile ottenere delle formule più compatte per il calcolo dell esponenziale. Prima di ottenere tali formule, però, occorre introdurre strumenti ulteriori per l analisi dei sistemi LTI. Sistemi Lineari -- 40

21 TEORIA DEI SISTEMI Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale Indirizzo Gestione Industriale TEORIA DEI SISTEMI SISTEMI LINEARI Ing. Cristian Secchi Tel