Fondamenti di Automatica

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1 Fondamenti di Automatica

2 Introduzione e modellistica dei sistemi Introduzione allo studio dei sistemi Modellistica dei sistemi dinamici elettrici Modellistica dei sistemi dinamici meccanici Modellistica dei sistemi dinamici elettromeccanici Modellistica dei sistemi dinamici termici 2

3 Introduzione e modellistica dei sistemi

4 Introduzione allo studio dei sistemi Nozione di sistema Distinzione fra sistemi statici e sistemi dinamici Definizione di sistema dinamico Criteri di classificazione dei sistemi dinamici Casi particolari di sistemi dinamici a dimensione finita Esempi di classificazione di sistemi dinamici 4

5 Introduzione allo studio dei sistemi

6 Nozione di sistema (1/2) Per sistema si intende un ente (fisico o astratto) dato dall interconnessione di più parti elementari, per cui vale il principio di azione e reazione u () i S y () i u( i) y () i : ingresso (azione, causa) : uscita (reazione, effetto) La variabile d interesse del sistema è l uscita y, il cui andamento è influenzato dall ingresso u 6

7 Nozione di sistema (2/2) Il comportamento di un sistema è descrivibile da un insieme S di relazioni matematiche (detto modello matematico) che legano fra loro l ingresso u e l uscita y Problematiche d interesse nello studio dei sistemi: noti Su, ( i) trovare y( i) noti S, y ( i) trovare u( i) des noti u( i), y ( i) trovare S Previsione Controllo Identificazione Notazione: u(), i y() i ut (), yt () : funzioni di ingresso e di uscita : valori dell ingresso e dell uscita all istante t 7

9 Sistema statico Per sistema statico si intende un sistema in cui il legame ingresso-uscita è istantaneo o statico: ( ) y () t = g u(), t t cioè il valore dell uscita y all istante t dipende solo dal valore dell ingresso u allo stesso istante t Esempio: resistore ideale i R R v R ut () = i () t R ( ) y () t = v () t = Ri () t = g ut (), t R R 9

10 Sistema dinamico (1/3) Per sistema dinamico si intende un sistema in cui il legame ingresso-uscita è di tipo dinamico: ( ) ( ) y () t = g u, t, t cioè il valore dell uscita y all istante t dipende da tutti i valori dell ingresso u fino all istante t Esempio: condensatore ideale, avente i C C v C ut () = i () t = Cdv () t dt C 1 yt () = v () t = i ( σ) dσ = C t ( ( ) ) 1 = u( σ) dσ = g u, t, t C C t C C 10

11 Sistema dinamico (2/3) Per riassumere tutta la storia passata del sistema fino all istante τ, si può introdurre lo stato x (τ ) che racchiude in sé tutta la memoria del passato: ( ) ( ) ( ) y () t = g x τ, u τ, t, t τ Rappresentazione grafica di un sistema dinamico: u () i S x () i y () i 11

12 Sistema dinamico (3/3) Esempio: condensatore ideale, avente v C ( )=0 i C 1 C v C τ x() τ = ic ( σ) dσ = v C () τ ut () = i () t = Cdv () t dt C yt () = v () t = 1 i ( σ) dσ C x ( τ ) t C C C C 1 t 1 τ 1 yt () = i ( σ) dσ = i ( σ) dσ + i ( σ) dσ = C C C C C C 1 t τ τ ( ( ) ( ) ) = x() τ + u( σ) dσ = g x τ, u τ, t, t τ C t 12

14 Definizione di sistema dinamico (1/3) Definizione assiomatica di sistema dinamico: ST (, U, Ω, XY,, Γ, ϕ, η) è un ente definito dai seguenti insiemi T : insieme ordinato dei tempi U : insieme dei valori assunti dall ingresso u Ω : insieme delle funzioni d ingresso { u(): i T U} X : insieme dei valori assunti dallo stato x Y : insieme dei valori assunti dall uscita y Γ : insieme delle funzioni d uscita y (): i T Y { } per cui sono definite le seguenti funzioni ϕ, η che ne determinano la rappresentazione di stato (o rappresentazione ingresso-stato-uscita): 14

15 Definizione di sistema dinamico (2/3) Funzione di transizione dello stato ϕ L evoluzione temporale dello stato (detta anche movimento dello stato) è descritta dall equazione: ( ) x( t) = ϕ t, τ, x( τ), u( i) t : istante finale τ : istante iniziale, con τ t x () τ : valore iniziale dello stato del sistema u( i) : funzione d ingresso definita nell intervallo [τ,t ] La funzione di transizione ϕ soddisfa le proprietà di consistenza, irreversibilità, composizione, causalità 15

16 Definizione di sistema dinamico (3/3) Funzione di uscita η L evoluzione temporale dell uscita (detta anche movimento dell uscita o risposta) è descritta da: y ( t) = η ( t, x( t), u( t) ) oppure da: y ( t), ( ) = η ( t x t ) Sistema improprio (non fisicamente realizzabile) Sistema proprio (fisicamente realizzabile) La funzione di uscita η è una funzione istantanea (cioè statica) dello stato e dell eventuale ingresso 16

18 Classificazione dei sistemi dinamici (1/5) Insieme dei tempi T : T sistema dinamico a tempo continuo T sistema dinamico a tempo discreto (si usa k come variabile temporale nel caso discreto, per meglio distinguerla dalla t del caso continuo) 18

19 Classificazione dei sistemi dinamici (2/5) Insiemi dei valori di ingresso U e di uscita Y : Insiemi discreti sistema dinamico a ingressi e uscite quantizzate U p, Y p =q =1 : q sistema monovariabile o SISO (Single Input - Single Output) p >1 e/o q >1: sistema multivariabile o MIMO (Multiple Input - Multiple Output) 19

20 Classificazione dei sistemi dinamici (3/5) Insieme dei valori dello stato X : Insieme discreto sistema dinamico a stati finiti n X, n finito sistema a dimensione finita (sistema a parametri concentrati) (nel caso a tempo continuo, il sistema dinamico è descritto da un sistema di equazioni differenziali alle derivate ordinarie) n X, n infinito sistema a dimensione infinita (sistema a parametri distribuiti) (nel caso a tempo continuo, il sistema dinamico è descritto da un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali) 20

21 Classificazione dei sistemi dinamici (4/5) Proprietà di linearità delle funzioni ϕ ed η : Il sistema dinamico è lineare se U, Ω, X, Y, Γ sono spazi vettoriali ϕ è lineare in x e in u ( ) xt () = ϕ t, τ, x(), τ u() i = = ϕ ( t, τ) x() τ + ϕ ( t, τ) u() i = x () t + x () t f f η è lineare in x e in u yt () = η t, xt (), ut () = C() t x() t + D() t u() t ( ) Altrimenti il sistema dinamico è non lineare 21

22 Classificazione dei sistemi dinamici (5/5) Proprietà di stazionarietà (o invarianza nel tempo) delle funzioni ϕ ed η : Il sistema dinamico è stazionario (oppure tempo-invariante) se ϕ ed η non dipendono esplicitamente dal tempo, cioè se ( ) ( Δτ ϕ t, τ, x, u( i) ) = ϕ t +Δ τ, τ +Δτ, x, u ( i) Δτ essendo u ( σ) = u( σ Δτ), σ [ τ+δ τ, t +Δτ], Δτ 0 y () t = η ( x(), t u() t ) Altrimenti il sistema dinamico è non stazionario (oppure tempo-variante) 22

24 Sistema dinamico a tempo continuo Per un sistema dinamico, a dimensione finita, a tempo continuo: il movimento xt () è soluzione di un sistema di n equazioni differenziali ordinarie del I ordine dx () t ( ) xt () = = f t, xt (), ut () dt il movimento y () t è dato da ( ) y () t = g t, x(), t u() t Equazione di stato Equazione di uscita 24

25 Sistema dinamico, a tempo continuo, lineare Per un sistema dinamico, a dimensione finita, a tempo continuo, lineare: l evoluzione temporale dello stato è descritta da n equazioni differenziali lineari in xt () ed ut () ( xt) = At () xt () + Bt () ut () Equazione di stato n n At ( ) : matrice di stato n p B( t) : matrice degli ingressi l evoluzione temporale dell uscita è descritta da y () t = C() t x() t + D() t u() t C t D ( t ) ( ) q n : matrice delle uscite q p Equazione di uscita : matrice del legame diretto ingresso-uscita 25

26 Sistema dinamico, a tempo continuo, LTI Per un sistema dinamico, a dimensione finita, a tempo continuo, lineare tempo-invariante (LTI): l evoluzione temporale dello stato è descritta da n equazioni differenziali lineari in x (t ) ed u (t ) a coefficienti costanti ( x t) = Ax() t + B u() t Equazione di stato l evoluzione temporale dell uscita è descritta da q equazioni lineari in xt (), ut () a coefficienti costanti y () t = C x() t + Du() t Equazione di uscita con A, B, C, D : matrici costanti 26

27 Sistema dinamico a tempo discreto Per un sistema dinamico, a dimensione finita, a tempo discreto: l evoluzione temporale dello stato è descritta da un sistema di n equazioni alle differenze finite ( ) x( k + 1) = f k, x( k), u( k) Equazione di stato l evoluzione temporale dell uscita è descritta da ( ) y ( k ) = g k, x( k), u( k) Equazione di uscita 27

28 Sistema dinamico, a tempo discreto, lineare Per un sistema dinamico, a dimensione finita, a tempo discreto, lineare: l evoluzione temporale dello stato è descritta da n equazioni alle differenze finite lineari in xk ( ), uk ( ) xk ( + 1) = Ak ( ) xk ( ) + Bkuk ( ) ( ) n n Ak ( ) : matrice di stato n p B( k) : matrice degli ingressi l evoluzione temporale dell uscita è descritta da y() k = C() k x() k + D()() k u k C k D ( k ) ( ) q n : matrice delle uscite q p Equazione di stato Equazione di uscita : matrice del legame diretto ingresso-uscita 28

29 Sistema dinamico, a tempo discreto, LTI Per un sistema dinamico, a dimensione finita, a tempo discreto, lineare tempo-invariante (LTI): l evoluzione temporale dello stato è descritta da n equazioni alle differenze finite lineari in xk ( ), uk ( ) a coefficienti costanti xk ( + 1) = Axk ( ) + Buk ( ) l evoluzione temporale dell uscita è descritta da q equazioni lineari in xk ( ), uk ( ) a coefficienti costanti y( k) = Cx( k) + Du( k) con A, B, C, D : matrici costanti Equazione di stato Equazione di uscita 29

31 Esempio #1 di classificazione (1/2) Dato il sistema descritto dalle seguenti equazioni 2 x () t = x () t + x () t x () t = 3 x () t + x () t u() t yt () = x() t ut () 2 analizzare le proprietà del modello matematico 31

32 Esempio #1 di classificazione (2/2) Il sistema è: Dinamico (il legame ingresso-uscita non è istantaneo) A tempo continuo (le equazioni di stato sono equazioni differenziali) SISO (p = #ingressi = dim(u ) = 1, q = #uscite = dim(y ) = 1) A dimensione finita (n = #variabili di stato = dim(x ) = 2 < ) 2 Non lineare (per i termini non lineari x (), t x () t u() t ) 1 1 Tempo-invariante (equazioni di stato e di uscita a coefficienti costanti) 32

33 Esempio #2 di classificazione (1/2) Dato il sistema descritto dalle seguenti equazioni x ( k + 1) = x ( k) + 2 u ( k) x ( k + 1) = k x ( k) + u ( k) y ( k) = x ( k) + 3 u ( k) 1 1 analizzare le proprietà del modello matematico 33

34 Esempio #2 di classificazione (2/2) Il sistema è: Dinamico (il legame ingresso-uscita non è istantaneo) A tempo discreto (le equazioni di stato sono equazioni alle differenze) MIMO (p = #ingressi = dim(u ) = 2, q = #uscite = dim(y ) = 1) A dimensione finita (n = #variabili di stato = dim(x ) = 2 < ) Lineare (eq. di stato e di uscita lineari in x, x, u, u ) Tempo-variante (per il termine kx 1 avente un coefficiente non costante) 34