Raggiungibilità, Controllabilità, Osservabilità e Determinabilità

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1 Raggiungibilità, Controllabilità, Osservabilità e Determinabilità Si determini se i sistemi lineari tempo invarianti ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), Σ c : y(t) = Cx(t) + Du(t). x(k + ) = Ax(k) + Bu(k), Σ d : y(k) = Cx(k) + Du(k). sono raggiungibili, controllabili, stabilizzabili, osservabili o rilevabili date le seguenti matrici A, B, C e D.. a) A =, B =, C = [ ], D =. b) Commentare gli effetti della scelta di una matrice degli ingressi al posto della matrice B definita al punto a). B =, Q = , che ha rango pari a 3. Dunque il sistema è osservabile, e di conseguenza determinabile, sia a tempo continuo che a tempo discreto. Per quanto riguarda le proprietá di raggiungibilità e controllabilità del sistema un analisi preliminare permette di notare che lo stato x del sistema evolve in maniera indipendente dagli altri stati e dall ingresso u(t). Di conseguenza il sistema non può essere raggiungibile, come si verifica calcolando la matrice di Raggiungibilità 3 P = 4 che ha rango pari a. Una base per il sottospazio degli stati raggiungibili dei sistemi Σ c e Σ d, X r, è data da span{(,, ) T, (,, ) T }. Inoltre i sistemi Σ c e Σ d non sono controllabili. Infatti, per quanto riguarda Σ d si nota che rank(a 3 ) = 3 e di conseguenza non può essere soddisfatta la condizione Im(A 3 ) Im(P ). La stessa conclusione poteva essere ottenuta notando che la matrice dinamica A è non singolare. In questo caso dunque il sottospazio controllabile X c coincide con il sottospazio raggiungibile X r Infine il PBH test di raggiungibilità per gli autovalori di A, λ =, λ = e λ 3 =, fallisce per λ = e dal momento che rank(p ) = possiamo evitare di calcolare il test per gli altri due autovalori. Dunque si conclude che Σ c e Σ d sono entrambi stabilizzabili. b) Sostituendo la matrice degli ingressi B le proprietá di osservabilità e determinabilità, che dipendono solo dalle matrici A e C, non vengono modificate. Calcoliamo la matrice di,

2 Raggiungibilità per la nuova matrice degli ingressi e otteniamo P = 4, che ha rango pari ad. Dunque i sistemi Σ c e Σ d sono ancora non raggiungibili e non controllabili. Una base per il sottospazio degli stati raggiungibili e controllabili è data da span{(,, ) T }. Notiamo che il PBH test di raggiungibilità è soddisfatto per l autovalore λ = in quanto rank 5 = 3. Dal momento che un solo modo è raggiungibile, e si tratta proprio di quello associato all autovalore λ =, possiamo concludere direttamente che con la nuova matrice degli ingressi Σ c è stabilizzabile, mentre Σ d non è stabilizzabile in quanto λ 3 >.. a) A =, B =, C = [ ], D =. b) Stabilire se i seguenti stati del sistema Σ d sono raggiungibili ed eventualmente determinare il numero minimo di passi necessari a raggiungerli e una possibile legge di controllo: x = [,, ] T, x = [,, 3] T e x 3 = [,, ] T. Q =, 3 che ha rango pari a 3. Dunque i sistemi Σ c e Σ d sono osservabili, e di conseguenza determinabili e rilevabili. La matrice di Raggiungibilità è data da P = , 6 che ha rango pari a 3. Dunque i sistemi Σ c e Σ d sono raggiungibili, e di conseguenza controllabili e stabilizzabili. b) Gli stati x, x e x 3 del sistema Σ d sono ovviamente raggiungibili al piú in 3 passi. Per determinare il numero di passi necessari a raggiungerli occorre calcolare la matrice di raggiungibilità in h passi, con h =,. Per h = la matrice coincide con la matrice B ed è immediato verificare che rank([b x ]) =, rank([b x ]) = 3 e rank([b x 3 ]) = 3, ovvero lo stato x puó essere raggiunto in un passo. Per determinare la legge di controllo dobbiamo risolvere il sistema lineare [ ] w =, w da cui si ottiene u() = [, ] T. Calcolando la matrice di raggiungibilità in passi si nota che rank([b AB]) = 3, dunque ogni stato puó essere raggiunto in al piú passi. Risolviamo i due

3 sistemi lineari 3 w 3 w w 3 = 3 w 4 risp., e otteniamo le leggi di controllo u() = [, ] T, u() = [, ] T per x e u() = [, ] T, u() = [, 3] T per x a) A = [ ] [ ], B =, C = [ ], D =. b) Determinare, se esiste, una legge di controllo che trasferisca lo stato del sistema Σ c da x = [, ] T a x f in t =.5s, con: x f = [ 3 e, e] T e x f = [, ] T. [ ] Q = che ha rango pari a. Dunque i sistemi Σ c e Σ d sono osservabili, e di conseguenza determinabili e rilevabili. La matrice di Raggiungibilità è data da [ ] P = che ha rango pari a. Dunque i sistemi Σ c e Σ d sono raggiungibili, e di conseguenza controllabili e stabilizzabili. b) Dal momento che il sistema è completamente raggiungibile e controllabile esiste sicuramente una legge di controllo che trasferisce lo stato del sistema da x a x f in un intervallo arbitrario di tempo. Il primo passo è determinare la matrice Gramiana di raggiungibilità G ( ) = [ t e t te t te t e t ] dt = [ 8 (e ) ] 4, (e ) ottenuta integrando iterativamente per parti i singoli elementi della matrice simmetrica. Il secondo passo consiste nel trovare la soluzione del sistema lineare G( )β = x fi e A x. Si nota immediatamente che per la prima coppia di stati x, x f si ha x f e A x = e di conseguenza la soluzione è un controllo identicamente nullo sull intervallo [, ]. Infatti si vede che x f è esattamente l evoluzione libera del sistema Σ c al tempo t =.5s. 4 4 Supponiamo ora di voler portare lo stato del sistema da x all origine in.5s. La soluzione del corrispondente sistema lineare é data da β = 4(3e 5) 4(e 5) β =, e(3 e) e(3 e) e dunque il controllo é u(τ) = ( τ)e τ β + e τ β, per ogni τ [, ]. 4. [ ] A =, B =, C =, D =. Svolgimento: Si nota facilmente che il sistema è in forma canonica di raggiungibilità e di conseguenza è raggiungibile e controllabile. Per quanto riguarda l osservabilità si può calcolare la matrice di osservabilità che ha rango pari a 3, dunque il sistema è anche osservabile e determinabile. 3

4 5. a) A =, B =, C = [ ], D =. b) Determinare, se esiste una legge di controllo in retroazione dallo stato del sistema Σ c tale che il sistema a ciclo chiuso abbia tutti gli autovalori in C = {λ C : λ }. Q = 4 che ha rango pari a, ovvero il sottospazio osservabile ha dimensione. La stessa conclusione poteva essere ottenuta osservando le matrici del sistema e notando che la matrice dinamica è composta da due blocchi, di cui uno è raggiungibile e l altro è osservabile. I sistemi Σ c e Σ d dunque non sono osservabili e nemmeno determinabili, dal momento che la matrice A è non singolare. Una base per il sottospazio degli stati inosservabili, X i, é data da Ker(Q) = span{(,, ) T, (,, ) T }. Inoltre i sistemi Σ c e Σ d non sono raggiungibili e controllabili, in quanto la matrice di raggiungibilitá P = ha rango pari a. Una base per il sottospazio degli stati raggiungibili, X r (equivalentemente X c ), é data da span{(,, ) T, (,, ) T }. b) Notiamo che il PBH test di raggiungibilità fallisce per l autovalore λ 3 =, e quindi, dal momento che λ 3 C, è possibile determinare una legge u = F x tale che σ(a + BF ) C. In particolare assegniamo i due autovalori che è possibile spostare in λ = λ =, ottenendo σ(a + BF ) = {,, }. Poniamo F = [f, f, f 3 ] e consideriamo il polinomio desiderato p des (λ) = λ 3 + 4λ + 5λ +. Uguagliando i termini di ordine corrispondente del polinomio caratteristico di (A + BF ) e del polinomio desiderato otteniamo la soluzione F = [ 4, 4, ]. 6. a) A =, B =, C = [ ], D =. b) Determinare, se possibile, una legge di controllo u = F x tale che il sistema a ciclo chiuso abbia tutti gli autovalori in λ =. Q = 5, che ha rango pari a 3. Dunque il sistema è osservabile, e di conseguenza determinabile, sia a tempo continuo che a tempo discreto. La matrice di Raggiungibilità è data da P = 7 3, 6 4

5 che ha rango pari a 3. Dunque i sistemi Σ c e Σ d sono raggiungibili, e di conseguenza controllabili e stabilizzabili. b) Dal momento che il sistema è completamente raggiungibile è possibile determinare una legge di controllo con le proprietá desiderate. Calcoliamo l ultima riga dell inversa della matrice di raggiungibilità, π = [,, ], e il polinomio desiderato valutato per la matrice A, p(a) = A 3 + 3A + 3A + I. La soluzione dunque è data da F = π p(a) = [ 9, 4, 7]. 7. a) A =, B =, C = [ ], D =. b) Utilizzando la formula di Mitter determinare, se esiste, una legge di controllo u = F x tale che il sistema Σ c a ciclo chiuso sia asintoticamente stabile. Q =, 6 che ha rango pari a 3. Dunque il sistema è osservabile, e di conseguenza determinabile, sia a tempo continuo che a tempo discreto. La matrice di Raggiungibilità è data da P =, che ha rango pari a. Dunque i sistemi Σ c e Σ d non sono raggiungibili e controllabili, dal momento che la matrice dinamica A è non singolare. Una base per il sottospazio degli stati raggiungibili, X r (equivalentemente X c ), é data da span{(,, ) T, (,, ) T }. b) Il PBH test di raggiungibilità fallisce per l autovalore λ 3 =, dunque il sistema è stabilizzabile mediante una legge in retroazione dallo stato. Calcoliamo come prima cosa un autovettore sinistro relativo all autovalore che vogliamo spostare ovvero λ =. Otteniamo ad esempio v = [6, 3, ] T. Per spostare l autovalore in γ =, occorre determinare f a tale che v T Bf a = γ λ =. Una soluzione è data da f a = 9 da cui si ottiene una legge in retroazione u = [ 4 3, 3, 4 9 ]x. 8. a) A =, B =, C = [ ], D =. b) Determinare, se esiste, un osservatore per il sistema Σ d tale che la stima converga in tempo finito al valore reale. Q =, che ha rango pari a. Dunque i sistemi Σ c e Σ d non sono osservabili. Una base per il sottospazio degli stati inosservabili, X i, è data da span{(,, ) T }. La matrice di Raggiungibilità è data da P =, 5

6 che ha rango pari a. Dunque i sistemi Σ c e Σ d non sono raggiungibili. Una base per il sottospazio degli stati raggiungibili, X r è data da span{(,, ) T }. Dal momento che la matrice dinamica A è singolare, dobbiamo verificare se il sistema Σ d è controllabile, ma la risposta è negativa in quanto rank(a 3 ) = e dunque Im(A 3 ) non può essere contenuto in Im(P ). b) Utilizziamo un osservatore lineare della forma ˆx(k +) = Aˆx(k)+Bu(k) L(y(k) C ˆx(k)). Per ottenere convergenza in tempo finito è necessario selezionare il vettore L in modo tale che la matrice A + LC abbia tutti gli autovalori in λ =. Notiamo che il PBH test di osservabilità fallisce per l autovalore λ 3 =, di conseguenza è possibile determinare un vettore L che soddisfa le richieste, spostando in zero i due autovalori in λ = λ =. Uguagliando i termini di ordine corrispondente del polinomio caratteristico di (A + LC) e del polinomio desiderato, p des (λ) = λ 3, otteniamo il sistema lineare l =, l l =, una cui soluzione è ad esempio L = [,, ] T. 6