Lezione 20: Stima dello stato di un sistema dinamico
|
|
- Carla Parente
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 ELABORAZIONE dei SEGNALI nei SISTEMI di CONTROLLO Lezione 20: Stima dello stato di un sistema dinamico Motivazioni Formulazione del problema Osservazione dello stato Osservabilità Osservatore asintotico Sintesi dell osservatore mediante assegnazione degli autovalori L osservatore ottimo (Filtro di Kalman) Filtro di Kalman stazionario 20-1
2 Motivazioni Il problema della stima dello stato di un sistema dinamico ha numerose applicazioni nella scienza e nell ingegneria: Determinazione delle orbite dei pianeti Tracciamento (determinazione della traiettoria) nei sistemi di controllo del traffico aereo Navigazione (tracciamento della traiettoria delle piattaforma sulla quale è collocato il sensore) Sistemi di controllo (piloti automatici; controllo di assetto; puntamento di sensori; processi chimici, nucleari e industriali etc.) Sistemi di generazione e distribuzione di energia Rivelazione e diagnosi di guasti Elaborazione dei segnali 20-2
3 Elaborazione delle immagini Telecomunicazioni Ingegneria biomedica Ricerca operativa Geofisica Deconvoluzione sismica (esplorazioni petrolifere) Misurazione di portata di fluidi Sistemi econometrici (modelli micro- e macro-economici) Sistemi demografici
4 Formulazione del problema Si consideri il sistema LTI TD { x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t) + Dw(t) con y(t) = Cx(t) + v(t) x(t) R n : stato u(t) R m : ingresso deterministico (noto) w(t) R l : disturbo di processo y(t) R p : uscita osservata v(t) R p : disturbo di misura A, B, C, D : matrici di stato (note) l obiettivo è di determinare una stima, ˆx(t), dello stato x(t) sulla base dei dati osservati y t = {y(t), y(t 1),... } e u t 1 = {u(t 1), u(t 2),... }. Il problema è reso difficile dalla presenza di due sorgenti di incertezza: incertezza sullo stato iniziale x(0) disturbi w(t) e v(t) 20-4
5 Osservazione dello stato In primo luogo ci si chiede quali sono le condizioni strutturali sul sistema (matrici A e C) affinché sia possibile determinare x(t) in condizioni ideali (con un numero arbitrario di osservazioni ed in assenza di rumore). A tale proposito si ipotizza: { x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t) w(t) 0, v(t) 0 = y(t) = Cx(t) In questo caso, per determinare x(t) (t 0) è sufficiente conoscere x(0). Questo giustifica la seguente definizione. Definizione - Il sistema dicesi osservabile se è possibile, in assenza di rumore, determinare univocamente lo stato iniziale x(0) da osservazioni {y(k), u(k)} k 0. Terminologia: Il suddetto problema della determinazione di x(0) prende il nome di osservazione dello stato. L osservabilità del sistema equivale alla possibilità di risolvere senza ambiguità tale problema. 20-5
6 Osservabilità (1/2) Risolvendo le equazioni di stato, in assenza di rumore, si ottengono le seguenti equazioni lineari (da risolvere rispetto a x(0)): C y(0) CA y(1) CBu(0) CA 2 x(0) = y(2) CABu(0) CBu(1).. CA N 1 } {{ } Θ N Nota y(n 1) } CA N 2 Bu(0) CA N 3 Bu(1) {{ CBu(N 2) } Y N Assumendo Y N Im Θ N, il sistema Θ N x(0) = Y N ha soluzione. Tale soluzione è unica se e solo se ker Θ N = {0}, ovvero rank Θ N = dim x = n. rank Θ N = rank Θ n, N n ( Θ = Θ n : matrice di osservabilità) 20-6
7 Osservabilità (2/2) Teorema - Il sistema è osservabile se e solo se la matrice di osservabilità ha rango pieno, cioè rank Θ = rank Si dice anche che la coppia (A, C) è osservabile. C CA. CA n 1 = n Se (A, C) è osservabile, si può determinare lo stato iniziale x(0), anche se Y N Im Θ N, risolvendo il problema ai minimi quadrati: x(0) = argmin x Y N Θ N x 2 = x(0) = ( Θ NΘ N ) 1Θ N Y N 20-7
8 Osservatore asintotico (1/2) Osservatore del sistema dinamico S: sistema dinamico che, avendo in ingresso l ingresso u(t) e l uscita y(t) del sistema S, fornisce in uscita, ad ogni istante t, una stima ˆx(t) dello stato x(t) del sistema S. Definizione - L osservatore dicesi asintotico se, detto x(t) = x(t) ˆx(t) l errore di stima sullo stato, tale errore converge a zero per t qualunque siano le condizioni iniziali, cioè lim t x(t) = 0, x(0) Rn 20-8
9 Osservatore asintotico (2/2) Per l osservatore viene comunemente adottata la seguente struttura in catena chiusa (alla Luenberger): ˆx(t + 1) = Aˆx(t) + Bu(t) + K (y(t) Cˆx(t)) = (A KC)ˆx(t) + Bu(t) + Ky(t) che consiste di una copia del sistema a cui si aggiunge un termine correttivo proporzionale all errore di stima dell uscita. La matrice K R n p prende il nome di guadagno dell osservatore: deve essere progettata opportunamente in modo da garantire che l osservatore sia asintotico. Per l osservatore alla Luenberger si ha la seguente dinamica dell errore di stima: x(t + 1) = (A KC) x(t) = x(t) = (A KC) t x(0) Pertanto vale il seguente risultato. Teorema - L osservatore alla Luenberger è asintotico se e solo se la matrice di guadagno K è progettata in modo tale che A KC abbia tutti gli autovalori in z <
10 Sintesi dell osservatore mediante assegnazione degli autovalori Teorema - Il sistema, cioè la coppia (A, C), è osservabile se e solo se comunque si fissino gli autovalori λ 1, λ 2,..., λ n si riesce a progettare il guadagno K in modo tale che sp(a KC) = {λ 1, λ 2,..., λ n } o, equivalentemente, comunque si fissi il polinomio α(z) = (z λ 1 )(z λ 2 ) (z λ n ) esiste K tale che A KC ha polinomio caratteristico uguale ad α(z). In altri termini, per un sistema osservabile è possibile progettare un osservatore asintotico assegnando arbitrariamente la dinamica di convergenza (esponenziale) a zero dell errore di stima dello stato. Una possibile scelta, ad esempio, è quella di assegnare autovalori nulli (osservatore deadbeat). Tale scelta comporta, in assenza di disturbi, l annullamento esatto dell errore di stima dopo n passi, cioè x(t) = 0, t n e x(0) R n 20-10
11 L osservatore ottimo (Filtro di Kalman) 1/2 Si consideri adesso la presenza dei disturbi: { x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t) + Dw(t) w(t) wn(0, Q) e v(t) wn(0, R) y(t) = Cx(t) + v(t) lo stato iniziale x(0) ha media ˆx(0) e covarianza P(0) w(t) e v(t) sono fra loro incorrelati e sono incorrelati con lo stato iniziale x(0) La dinamica dell errore di stima dell osservatore alla Luenberger in presenza di disturbi diventa: x(t + 1) = (A KC) x(t) + Dw(t) Kv(t) Si noti che eventuali valori elevati delle componenti del guadagno K amplificano, tramite il termine Kv(t), il rumore di misura nell errore di stima
12 L osservatore ottimo (Filtro di Kalman) 2/2 Sia P(t) = E [ x(t) x (t)] l EQM dello stato all istante t. Allora: x(t+1) = (A KC) x(t)+dw(t) Kv(t) P(t+1) = (A KC)P(t)(A KC) +DQD +KRK Problema (Osservatore MEQM) - Ci si chiede se, note le varianze Q e R dei disturbi, esiste una scelta ottima del guadagno K che minimizzi l EQM. Soluzione (Filtro di Kalman) - La scelta ottima del guadagno K all istante t è: K(t) = AP(t)C ( R + CP(t)C ) 1 (1) e il corrispondente MEQM di x(t + 1) è: P(t + 1) = AP(t)A AP(t)C ( R + CP(t)C ) 1 CP(t)A + DQD (2) Le formule (1)-(2), inizializzate con P(0), permettono di calcolare ricorsivamente, ad ogni istante t, il guadagno dell osservatore ottimo, in senso MEQM. Tale stimatore dello stato, grazie al suo inventore R.E. Kalman, prende il nome di Filtro di Kalman
13 Filtro di Kalman stazionario 1/2 Il filtro di Kalman risulta TV anche se il sistema è TI ed i disturbi sono processi stazionari. Ci si chiede pertanto se e sotto quali condizioni la matrice P(t), e quindi il guadagno K(t), tendono, per t, a valori costanti P e, rispettivamente, K = AP C (R + CP C ) 1 che forniscono un osservatore TI: ˆx(t + 1) = Aˆx(t) + Bu(t) + K (y(t) Cˆx(t)) (3) Ci si chiede inoltre se l osservatore (3) a cui converge il filtro di Kalman, detto filtro di Kalman stazionario, risulta asintotico. La matrice P deve necessariamente essere soluzione dell equazione: P = AP A AP C ( R + CP C ) 1 CP A + DQD (4) detta Equazione Algebrica di Riccati (ARE) 20-13
14 Filtro di Kalman stazionario 2/2 Riguardo all esistenza, alla determinazione e all ottimalità del filtro di Kalman stazionario, vale il seguente risultato. Teorema - Si assuma che: Q > 0; R > 0; la coppia (A, C) è osservabile; la coppia (A, D) è raggiungibile. Allora vale quanto segue. 1. Esiste finito P = lim t P(t) qualunque sia P(0) = P (0) P è l unica soluzione simmetrica definita positiva della ARE. 3. Posto K = APC (R+CPC ) 1, la matrice A KC ha tutti gli autovalori in z < 1 cioè il filtro di Kalman stazionario è un osservatore asintotico. 4. Fra tutti gli osservatori asintotici, il filtro di Kalman stazionario è quello che fornisce l EQM minimo E [ x(t) x (t)] = P
Fondamenti di Automatica. Unità 3 Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici
Fondamenti di Automatica Unità 3 Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici Equilibrio di sistemi dinamici Linearizzazione di sistemi dinamici Stabilità interna
DettagliControlli Automatici I
Ingegneria Elettrica Politecnico di Torino Luca Carlone Controlli Automatici I LEZIONE V Sommario LEZIONE V Proprietà strutturali Controllabilità e raggiungibilità Raggiungibilità nei sistemi lineari Forma
DettagliSoluzione degli esercizi del Capitolo 13
Soluzione degli esercizi del Capitolo 3 Soluzione dell Esercizio 3. Il polinomio caratteristico desiderato è ϕ (s) = (s + 4) (s + ) = s 2 + 4s + 4 Uguagliando i coefficienti quelli del polinomio caratteristico
DettagliRaggiungibilità, Controllabilità, Osservabilità e Determinabilità
Raggiungibilità, Controllabilità, Osservabilità e Determinabilità Si determini se i sistemi lineari tempo invarianti ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), Σ c : y(t) = Cx(t) + Du(t). x(k + ) = Ax(k) + Bu(k), Σ d : y(k)
DettagliTECNICHE DI CONTROLLO
TECNICHE DI CONTROLLO Richiami di Teoria dei Sistemi Dott. Ing. SIMANI SILVIO con supporto del Dott. Ing. BONFE MARCELLO Sistemi e Modelli Concetto di Sistema Sistema: insieme, artificialmente isolato
DettagliCorso di Identificazione dei Modelli e Analisi dei Dati
Corso di Identificazione dei Modelli e Analisi dei Dati Prof. Sergio Bittanti Esercitazione di Laboratorio A.A. 2010-11 Sistemi dinamici lineari a tempo discreto 1. Si consideri il sistema dinamico a tempo
Dettagliẋ 1 = 2x 1 + (sen 2 (x 1 ) + 1)x 2 + 2u (1) y = x 1
Alcuni esercizi risolti su: - calcolo dell equilibrio di un sistema lineare e valutazione delle proprietà di stabilità dell equilibrio attraverso linearizzazione - calcolo del movimento dello stato e dell
Dettagli4 Analisi nel dominio del tempo delle rappresentazioni in
Indice del libro Alessandro Giua, Carla Seatzu Analisi dei sistemi dinamici, Springer-Verlag Italia, II edizione, 2009 Pagina web: http://www.diee.unica.it/giua/asd/ Prefazione.....................................................
DettagliIntroduzione ai sistemi dinamici
Introduzione ai sistemi dinamici Prof. G. Ferrari Trecate, Prof. D.M. Raimondo Dipartimento di Ingegneria Industriale e dell Informazione (DIII) Università degli Studi di Pavia Fondamenti di Automatica
DettagliReti nel dominio del tempo. Lezione 7 1
Reti nel dominio del tempo Lezione 7 1 Poli (o frequenze naturali) di una rete Lezione 7 2 Definizione 1/2 Il comportamento qualitativo di una rete dinamica dipende dalle sue frequenze naturali o poli
DettagliANALISI E SIMULAZIONE DI SISTEMI DINAMICI. Lezione XI: Stabilità interna
ANALISI E SIMULAZIONE DI SISTEMI DINAMICI Lezione XI: Stabilità interna Stabilità interna e esterna Stabilità alla Lyapunov Stabilità asintotica I sistemi lineari Esempi 11-1 Tipi di Stabilità Idea intuitiva
DettagliEsame di FONDAMENTI DI AUTOMATICA (9 crediti) SOLUZIONE
Esame di FONDAMENTI DI AUTOMATICA (9 crediti) Prova scritta 16 luglio 2014 SOLUZIONE ESERCIZIO 1. Dato il sistema con: si determinino gli autovalori della forma minima. Per determinare la forma minima
DettagliMODELLI A TEMPO CONTINUO IN EQUAZIONI DI STATO. Sistema lineare stazionario a tempo continuo in equazioni di stato. = Cx(t) + Du(t) x(0) = x 0
MODELLI A TEMPO CONTINUO IN EQUAZIONI DI STATO Sistema lineare stazionario a tempo continuo in equazioni di stato ẋ(t) y(t) = Ax(t) + Bu(t) = Cx(t) + Du(t) x() = x Risposta completa (risposta libera e
Dettagli1 Alcuni risultati sulle variabili Gaussiane multivariate
Il modello lineare-gaussiano e il filtro di Kalman Prof. P.Dai Pra 1 Alcuni risultati sulle variabili Gaussiane multivariate In questo paragrafo verranno enunciate e dimostrate alcune proprietà del valor
DettagliConsideriamo un sistema dinamico tempo-invariante descritto da:
IL PROBLEMA DELLA STABILITA Il problema della stabilità può essere affrontato in vari modi. Quella adottata qui, per la sua riconosciuta generalità ed efficacia, è l impostazione classica dovuta a M. A.
DettagliIntroduzione a MATLAB
Introduzione a MATLAB Principali comandi MATLAB utili per il corso di Fondamenti di Automatica 01AYS Politecnico di Torino Sistemi dinamici LTI 1. Simulazione a tempo continuo Definizione del sistema Per
Dettagli1 Il polinomio minimo.
Abstract Il polinomio minimo, così come il polinomio caratterisico, è un importante invariante per le matrici quadrate. La forma canonica di Jordan è un approssimazione della diagonalizzazione, e viene
DettagliTEORIA DEI SISTEMI OSSERVABILITA E RICOSTRUIBILITA
TEORIA DEI SISTEMI Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale Indirizzo Gestione Industriale TEORIA DEI SISTEMI OSSERVABILITA E RICOSTRUIBILITA Ing. Cristian
Dettagli3. Sistemi Lineari a Tempo Discreto
. Sistemi Lineari a Tempo Discreto .5 y(t), y(kt) 4 y(t), y(kt).5.5.5.5.5 4 5 4 5 Campionamento di un segnale continuo Fig. (a) Segnale discreto Fig. (b) Esprimono relazioni fra variabili campionate ad
DettagliCONTROLLI AUTOMATICI I 03AKWcc Ing. Elettrica - Consorzio Nettuno Torino
Tipologia Esercizio (modellistica) CONTOLLI AUTOMATICI I 03AKWcc Esercizio. (tema d'esame del //007) Nel sistema in figura, la tensione e u (t) è l ingresso e la tensione v (t) della resistenza è l uscita.
Dettaglis + 6 s 3, b) i valori di K per i quali il sistema a ciclo chiuso risulta asintoticamente stabile;
1 Esercizi svolti Esercizio 1. Con riferimento al sistema di figura, calcolare: ut) + K s s + 6 s 3 yt) a) la funzione di trasferimento a ciclo chiuso tra ut) e yt); b) i valori di K per i quali il sistema
DettagliMassimi e minimi relativi in R n
Massimi e minimi relativi in R n Si consideri una funzione f : A R, con A R n, e sia x A un punto interno ad A. Definizione: si dice che x è un punto di massimo relativo per f se B(x, r) A tale che f(y)
DettagliModel reduction. Gramiano di controllabilità. (materiale. di approfondimento) dove R è la matrice di raggiungibilità della coppia (A,B)
Model reduction (materiale di approfondimento) Gramiano di controllabilità Gramiano di controllabilità per sistemi a tempo discreto Teorema: W c (k) è non singolare per qualche k< rank R=n, dove R è la
DettagliModelli cinematici. per gli studenti del corso di Stima e identificazione. Luigi Chisci, 20 Maggio 2011
Modelli cinematici per gli studenti del corso di Stima e identificazione Luigi Chisci, Maggio Nei problemi di stima del moto (eg tracing e navigazione) si fa uso di un modello di stato del moto nella forma:
DettagliCapitolo 7. Progetto nello spazio degli stati
Capitolo 7 Progetto nello spazio degli stati Se Maometto non va alla montagna, la montagna non è raggiungibile. K., 27 Sommario. In questo capitolo viene discussa la proprietà strutturale di raggiungibilità
Dettagli6.2 Controllo ottimo di sistemi tempo-discreti
Capitolo 6 CONTROLLO OTTIMO 6.1 Introduzione 6.2 Controllo ottimo di sistemi tempo-discreti Si consideri il sistema tempo-discreto x(k +1) = f (k,x(k),u(k)) (6.1) con k Z, x(k) IR n e u(k) IR m. Dato l
DettagliEsercizi di Fondamenti di Sistemi Dinamici
Giuseppe Fusco Esercizi di Fondamenti di Sistemi Dinamici ARACNE Copyright MMVIII ARACNE editrice S.r.l. www.aracneeditrice.it info@aracneeditrice.it via Raffaele Garofalo, 133 a/b 00173 Roma (06 93781065
DettagliEsercizi sui sistemi di equazioni lineari.
Esercizi sui sistemi di equazioni lineari Risolvere il sistema di equazioni lineari x y + z 6 x + y z x y z Si tratta di un sistema di tre equazioni lineari nelle tre incognite x, y e z Poichè m n, la
DettagliCapitolo 6. Sistemi lineari di equazioni differenziali. 1
Capitolo 6 Sistemi lineari di equazioni differenziali L integrale generale In questo capitolo utilizzeremo la forma canonica di Jordan per studiare alcuni tipi di equazioni differenziali Un sistema lineare
DettagliTEORIA DEI SISTEMI ANALISI DEI SISTEMI LTI
TEORIA DEI SISTEMI Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale Indirizzo Gestione Industriale TEORIA DEI SISTEMI ANALISI DEI SISTEMI LTI Ing. Cristian
DettagliLa retta nel piano. Supponiamo che la retta r sia assegnata attraverso un suo punto P 0 (x 0, y 0 ) e un vettore v (l, m) che ne indichi la direzione.
La retta nel piano Equazioni vettoriale e parametriche di una retta Supponiamo che la retta r sia assegnata attraverso un suo punto P 0 (x 0, y 0 ) e un vettore v (l, m) che ne indichi la direzione. Condizione
DettagliTEN Radici quadrate modulo p e modulo p k. Radici quadrate modulo p, con p > 2.
TEN 2008. Radici quadrate modulo p e modulo p k. Radici quadrate modulo p, con p > 2. Lemma 1. Sia n Z. Sia p > 2 un numero primo. (a) n è un quadrato modulo p se e solo se n p 1 2 1 mod p; (b) Sia n 0
DettagliSistemi differenziali 2 2: esercizi svolti. 1 Sistemi lineari Stabilità nei sistemi lineari
Sistemi differenziali : esercizi svolti 1 Sistemi lineari Stabilità nei sistemi lineari 14 1 Sistemi differenziali : esercizi svolti 1 Sistemi lineari Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano
DettagliI numeri complessi. Andrea Corli 31 agosto Motivazione 1. 2 Definizioni 1. 3 Forma trigonometrica di un numero complesso 3
I numeri complessi Andrea Corli 3 agosto 009 Indice Motivazione Definizioni 3 Forma trigonometrica di un numero complesso 3 4 Radici di un numero complesso 4 5 Equazioni di secondo grado e il teorema fondamentale
DettagliLEZIONE 23. ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f
LEZIONE 23 23.1. Riduzione delle coniche a forma canonica. Fissiamo nel piano un sistema di riferimento Oxy e consideriamo un polinomio di grado 2 in x, y a meno di costanti moltiplicative non nulle, diciamo
DettagliIDENTIFICAZIONE dei MODELLI e ANALISI dei DATI. Lezione 40: Filtro di Kalman - introduzione. Struttura ricorsiva della soluzione.
IDENTIFICAZIONE dei MODELLI e ANALISI dei DATI Lezione 40: Filtro di Kalman - introduzione Cenni storici Filtro di Kalman e filtro di Wiener Formulazione del problema Struttura ricorsiva della soluzione
DettagliUNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA
UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA Corso di PS-Probabilità P.Baldi Tutorato 9, 19 maggio 11 Corso di Laurea in Matematica Esercizio 1 a) Volendo modellizzare l evoluzione della disoccupazione in un certo ambito
DettagliCalcolo del movimento di sistemi dinamici LTI
Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI Analisi modale per sistemi dinamici LTI TC Modi naturali di un sistema dinamico Analisi modale Esercizio 1 Costante di tempo Esercizio 2 2 Analisi modale per
DettagliElementi di Algebra Lineare. Spazio Vettoriale (lineare)
Elementi di Algebra Lineare Spazio Vettoriale (lineare) Uno spazio vettoriale su un corpo F è una quadrupla (X, F, +, ) costituita da: un insieme di elementi X, detti vettori, un corpo F, i cui elementi
DettagliCapitolo 3: Ottimizzazione non vincolata parte III. E. Amaldi DEI, Politecnico di Milano
Capitolo 3: Ottimizzazione non vincolata parte III E. Amaldi DEI, Politecnico di Milano 3.4 Metodi di ricerca unidimensionale In genere si cerca una soluzione approssimata α k di min g(α) = f(x k +αd k
DettagliREGRESSIONE E CORRELAZIONE
REGRESSIONE E CORRELAZIONE Nella Statistica, per studio della connessione si intende la ricerca di eventuali relazioni, di dipendenza ed interdipendenza, intercorrenti tra due variabili statistiche 1.
DettagliControlli Automatici e Teoria dei Sistemi Esempi di sistemi dinamici
Controlli Automatici e Teoria dei Sistemi Esempi di sistemi dinamici Prof. Roberto Guidorzi Dipartimento di Elettronica, Informatica e Sistemistica Università di Bologna Viale del Risorgimento 2, 40136
DettagliRETTE E PIANI. ove h R. Determinare i valori di h per cui (1) r h e α sono incidenti ed, in tal caso, determinare l angolo ϑ h da essi formato;
RETTE E PIANI Esercizi Esercizio 1. Nello spazio con riferimento cartesiano ortogonale Oxyz si considerino la retta r h ed il piano α rispettivamente di equazioni x = 1 + t r h : y = 1 t α : x + y + z
DettagliCONCETTO DI STABILITÀ NEI SISTEMI DI CONTROLLO. Sistema in condizioni di equilibrio a t = 0. d(t) = 0. u(t) = 0. y(t) = 0. Sistema
CONCETTO DI STABILITÀ NEI SISTEMI DI CONTROLLO Sistema in condizioni di equilibrio a t = 0. d(t) = 0 u(t) = 0 Sistema y(t) = 0 Tipi di perturbazione. Perturbazione di durata limitata: u(t) = 0, t > T u
DettagliTEORIA DEI SISTEMI SISTEMI LINEARI
TEORIA DEI SISTEMI Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale Indirizzo Gestione Industriale TEORIA DEI SISTEMI SISTEMI LINEARI Ing. Cristian Secchi Tel.
DettagliTempo a disposizione: 150 minuti. 1 È dato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalle relazioni
Università degli Studi di Catania Anno Accademico 2014-2015 Corso di Laurea in Informatica Prova in itinere di Matematica Discreta (12 CFU) 17 Aprile 2015 Prova completa Tempo a disposizione: 150 minuti
DettagliApplicazioni lineari e diagonalizzazione. Esercizi svolti
. Applicazioni lineari Esercizi svolti. Si consideri l applicazione f : K -> K definita da f(x,y) = x + y e si stabilisca se è lineare. Non è lineare. Possibile verifica: f(,) = 4; f(,4) = 6; quindi f(,4)
DettagliLEZIONI IN LABORATORIO Corso di MARKETING L. Baldi Università degli Studi di Milano. Strumenti statistici in Excell
LEZIONI IN LABORATORIO Corso di MARKETING L. Baldi Università degli Studi di Milano Strumenti statistici in Excell Pacchetto Analisi di dati Strumenti di analisi: Analisi varianza: ad un fattore Analisi
DettagliSISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI
SISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI Appunti presi dalle lezioni del prof. Nedo Checcaglini Liceo Scientifico di Castiglion Fiorentino (Classe 4B) January 17, 005 1 SISTEMI LINEARI Se a ik, b i R,
DettagliAnalisi della correlazione canonica
Analisi della correlazione canonica Su un collettivo di unità statistiche si osservano due gruppi di k ed m variabili L analisi della correlazione canonica ha per obiettivo lo studio delle relazioni di
DettagliMetodi per la risoluzione di sistemi lineari
Metodi per la risoluzione di sistemi lineari Sistemi di equazioni lineari. Rango di matrici Come è noto (vedi [] sez.0.8), ad ogni matrice quadrata A è associato un numero reale det(a) detto determinante
DettagliEsercizi sul luogo delle radici
FA Esercizi 6, 1 Esercizi sul luogo delle radici Analisi di prestazioni a ciclo chiuso, progetto di regolatori facendo uso del luogo delle radici. Analisi di prestazioni FA Esercizi 6, 2 Consideriamo il
DettagliLo studio dell evoluzione libera nei sistemi dinamici
Lo studio dell evoluzione libera nei sistemi dinamici December, Un sistema lineare, dinamico, a dimensione finita e continuo (ovvero in cui il tempo t appartiene all insieme dei reali) può essere descritto
DettagliEquazioni esponenziali e logaritmi
Copyright c 2008 Pasquale Terrecuso Tutti i diritti sono riservati. Equazioni esponenziali e logaritmi 2 equazioni esponenziali..................................................... 3 casi particolari............................................................
DettagliProgrammazione Lineare
Programmazione Lineare Andrea Scozzari a.a. 2012-2013 March 14, 2013 Andrea Scozzari (a.a. 2012-2013) Programmazione Lineare March 14, 2013 1 / 18 Metodo del Simplesso Dato un problema di PL in forma standard
DettagliIl teorema di Rouché-Capelli
Luciano Battaia Questi appunti (1), ad uso degli studenti del corso di Matematica (A-La) del corso di laurea in Commercio Estero dell Università Ca Foscari di Venezia, campus di Treviso, contengono un
DettagliANALISI DI SERIE TEMPORALI CAOTICHE (1)
ANALISI DI SERIE TEMPORALI CAOTICHE (1) Problematiche Ricostruzione dello stato Dimensione di embedding C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver. 28/12/2009 1/15 Per studiare e comprendere appieno
Dettagli2.6 Calcolo degli equilibri di Nash
92 2 Giochi non Cooperativi Per queste estensioni di giochi non finiti si possono provare risultati analoghi a quelli visti per i giochi finiti. Rimandiamo alla bibliografia per uno studio più approfondito
DettagliFondamenti di Automatica
Fondamenti di Automatica Esempi applicativi Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. 1 Esempi applicativi TESTINA
DettagliSistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi
Sistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi Terminologia Operazioni elementari sulle righe. Equivalenza per righe. Riduzione a scala per righe. Rango di una matrice. Forma canonica per righe. Eliminazione
DettagliCenni sulla Serie di Fourier
Cenni sulla Serie di Fourier Note per le lezioni del corso di Controlli Automatici Prof.ssa Maria Elena Valcher 1 Serie di Fourier Osserviamo preliminarmente che la somma di segnali periodici non è necessariamente
DettagliPagine di Algebra lineare. di premessa al testo Pagine di Geometria di Sara Dragotti. Parte terza: SISTEMI LINEARI
Pagine di Algebra lineare di premessa al testo Pagine di Geometria di Sara Dragotti Parte terza: SISTEMI LINEARI 1. Definizioni Dato un campo K ed m 1 polinomi su K in n indeterminate di grado non superiore
DettagliAppendice 1. Spazi vettoriali
Appendice. Spazi vettoriali Indice Spazi vettoriali 2 2 Dipendenza lineare 2 3 Basi 3 4 Prodotto scalare 3 5 Applicazioni lineari 4 6 Applicazione lineare trasposta 5 7 Tensori 5 8 Decomposizione spettrale
DettagliESTRAZIONE DI DATI 3D DA IMMAGINI DIGITALI. (Visione 3D)
ESTRAZIONE DI DATI 3D DA IMMAGINI DIGITALI () Visione Stereo Scopo della visione stereo è ricostruire la struttura di una scena 3D statica a partire da n >= 2 viste diverse - il caso n=2 è l argomento
DettagliESTRAZIONE DI DATI 3D DA IMMAGINI DIGITALI. (Visione 3D)
ESTRAZIONE DI DATI 3D DA IMMAGINI DIGITALI () Calibrazione intrinseca Spesso risulta utile calibrare la sola componente intrinseca di un sistema di visione (matrice K), e non si dispone di oggetti di forma
DettagliStabilità e retroazione
0.0. 4.1 1 iagramma Stabilità e retroazione Stabilità dei sistemi dinamici lineari: Un sistema G(s) è asintoticamente stabile se tutti i suoi poli sono a parte reale negativa. Un sistema G(s) è stabile
DettagliCorso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni
Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test : soluzioni k Esercizio Data la matrice A = k dipendente dal parametro k, si consideri il k sistema lineare omogeneo AX =, con X = x x. Determinare
DettagliMatematica Discreta e Algebra Lineare (per Informatica)
Matematica Discreta e Algebra Lineare (per Informatica) Docente: Alessandro Berarducci Anno accademico 2016-2017, versione 14 Marzo 2017 Tipiche domande d esame La seguente lista di domande non intende
DettagliMetodi e Modelli per l Ottimizzazione Combinatoria Ripasso sulla Programmazione Lineare e il metodo del Simplesso (parte I)
Metodi e Modelli per l Ottimizzazione Combinatoria Ripasso sulla Programmazione Lineare e il metodo del Simplesso (parte I) Luigi De Giovanni Giacomo Zambelli 1 Problemi di programmazione lineare Un problema
DettagliAppunti su Indipendenza Lineare di Vettori
Appunti su Indipendenza Lineare di Vettori Claudia Fassino a.a. Queste dispense, relative a una parte del corso di Matematica Computazionale (Laurea in Informatica), rappresentano solo un aiuto per lo
DettagliControllo LQG/LTR di un Aereo. Corso di Controllo Multivariabile Prof. Francesco Amato
Controllo LQG/LTR di un Aereo Corso di Controllo Multivariabile Prof. Francesco Amato Cenni di Dinamica del Volo: Variabili del Moto Cenni di Dinamica del Volo: Assi di Riferimento Superfici di Controllo
DettagliMetodi & Modelli per le Scelte Economiche
Metodi & Modelli per le Scelte Economiche [domande di teoria utilizzate in passato per la prova scritta le soluzioni NON vengono fornite, occorrerà quindi verificare la esattezza delle diverse possibili
DettagliCristian Secchi Pag. 1
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica STRUMENTI MATEMATICI PER L ANALISI DEI SISTEMI DISCRETI Ing. Tel. 0522 522235 e-mail: secchi.cristian@unimore.it
DettagliAutovalori e autovettori, matrici simmetriche e forme quadratiche (cenni) (prof. M. Salvetti)
Autovalori e autovettori, matrici simmetriche e forme quadratiche (cenni) (prof. M. Salvetti) April 14, 2011 (alcune note non complete sugli argomenti trattati: eventuali completamenti saranno aggiunti)
DettagliANTITRASFORMATA DI LAPLACE MODI DI UN SISTEMA
CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria Gestionale http://www.automazione.ingre.unimore.it/pages/corsi/controlliautomaticigestionale.htm ANTITRASFORMATA DI LAPLACE MODI DI UN SISTEMA Ing. Federica Grossi Tel.
DettagliEsercizi di Fisica Matematica 3, anno , parte di meccanica hamiltoniana e quantistica
Esercizi di Fisica Matematica 3, anno 014-015, parte di meccanica hamiltoniana e quantistica Dario Bambusi 09.06.015 Abstract Gli esercizi dei compiti saranno varianti dei seguenti esercizi. Nei compiti
Dettagli1 a PROVA PARZIALE DI FONDAMENTI DI AUTOMATICA A.A. 2004/ novembre Soluzione
a PROVA PARZIAE DI FONDAMENTI DI AUTOMATIA A.A. 24/25 9 novembre 24 Esercizio on riferimento alla funzione di trasferimento G(s) = 7s2 + 36s + 48 (s + 3)(s + 4) 2 Domanda.. Indicare i valori del guadagno,
DettagliIl metodo delle osservazioni indirette
Il metodo delle osservazioni indirette Teoria della stima ai minimi quadrati Il criterio di massima verosimiglianza Sia data una grandezza η e si abbiano n osservazioni indipendenti l i (i=1,...,n) di
DettagliFondamenti di Automatica
Fondamenti di Automatica Analisi dei sistemi dinamici Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. 1 Analisi dei
DettagliCompito di Meccanica Razionale M-Z
Compito di Meccanica Razionale M-Z 11 giugno 213 1. Tre piastre piane omogenee di massa m aventi la forma di triangoli rettangoli con cateti 4l e 3l sono saldate lungo il cateto più lungo come in figura
DettagliRisoluzione di sistemi lineari sparsi e di grandi dimensioni
Risoluzione di sistemi lineari sparsi e di grandi dimensioni Un sistema lineare Ax = b con A R n n, b R n, è sparso quando il numero di elementi della matrice A diversi da zero è αn, con n α. Una caratteristica
DettagliMetodi iterativi per sistemi lineari
Metodi iterativi per sistemi lineari Mirano a costruire la soluzione x di un sistema lineare come limite di una successione di vettori Per matrici piene di ordine n il costo computazionale è dell ordine
Dettagli0.1 Spazi Euclidei in generale
0.1. SPAZI EUCLIDEI IN GENERALE 1 0.1 Spazi Euclidei in generale Sia V uno spazio vettoriale definito su R. Diremo, estendendo una definizione data in precedenza, che V è uno spazio vettoriale euclideo
DettagliProdotto interno (prodotto scalare definito positivo)
Contenuto Prodotto scalare. Lunghezza, ortogonalità. Sistemi e basi ortonormali. Somma diretta: V = U U. Proiezioni. Teorema di Pitagora, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Angoli. Federico Lastaria. Analisi
DettagliForme bilineari simmetriche
Forme bilineari simmetriche Qui il campo dei coefficienti è sempre R Definizione 1 Sia V uno spazio vettoriale Una forma bilineare su V è una funzione b: V V R tale che v 1, v 2, v 3 V b(v 1 + v 2, v 3
DettagliCompiti di geometria & algebra lineare. Anno: 2004
Compiti di geometria & algebra lineare Anno: 24 Anno: 24 2 Primo compitino di Geometria e Algebra 7 novembre 23 totale tempo a disposizione : 3 minuti Esercizio. [8pt.] Si risolva nel campo complesso l
Dettagli1 Equazioni Differenziali
Equazioni Differenziali Un equazione differenziale è un equazione che esprime un legame tra una variabile indipendente x (o t, quando ci riferiamo al tempo) una variabile dipendente y o incognita che sta
DettagliI. Foglio di esercizi su vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. , v 2 = α v 1 + β v 2 + γ v 3. α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0. + γ.
ESERCIZI SVOLTI DI ALGEBRA LINEARE (Sono svolti alcune degli esercizi proposti nei fogli di esercizi su vettori linearmente dipendenti e vettori linearmente indipendenti e su sistemi lineari ) I. Foglio
DettagliEsercizi di ripasso: geometria e algebra lineare.
Esercizi di ripasso: geometria e algebra lineare. Esercizio. Sia r la retta passante per i punti A(2,, 3) e B(,, 2) in R 3. a. Scrivere l equazione cartesiana del piano Π passante per A e perpendicolare
DettagliAnalisi Matematica e Geometria 1
Michele Campiti Prove scritte di Analisi Matematica e Geometria 1 Ingegneria Industriale aa 2015 2016 y f 1 g 0 La funzione seno e la funzione esponenziale Raccolta delle tracce di Analisi Matematica e
Dettaglivariabili. se i limiti esistono e si chiamano rispettivamente derivata parziale rispetto ad x e rispetto ad y.
Funzioni di più variabili Derivate parziali Qui saranno considerate soltanto funzioni di due variabili, ma non c è nessuna difficoltà ad estendere le nuove nozioni a funzioni di n ( > variabili ( Definizione:
DettagliDIAGONALIZZAZIONE. M(f) =
DIAGONALIZZAZIONE Esercizi Esercizio 1. Sia f End(R 3 ) associato alla matrice M(f) = 0 1 2 0. 2 (1) Determinare gli autovalori di f e le relative molteplicità. (2) Determinare gli autospazi di f e trovare,
Dettagli4 0 = 4 2 = 4 4 = 4 6 = 0.
Elementi di Algebra e Logica 2008. Esercizi 4. Gruppi, anelli e campi. 1. Determinare la tabella additiva e la tabella moltiplicativa di Z 6. (a) Verificare dalla tabella moltiplicativa di Z 6 che esistono
DettagliSistemi sovradeterminati
Sistemi sovradeterminati Sia A una matrice m n ove m > n sia b R m trovare una soluzione del sistema sovradeterminato Ax = b significa cercare di esprimere un vettore di R m come combinazione lineare di
DettagliA. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Matematica Numerica 3a Edizione. Springer, Milano Errata Corrige 16 aprile 2013
A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Matematica umerica 3a Edizione. Springer, Milano 2008 1 Errata Corrige 16 aprile 2013 pag. 29: suggerimento per lo svolgimento dell Es. 4. Osservare che I + B = 2I (I
DettagliCapitolo IV SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI
Capitolo IV SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI È ben noto che in VO 3 si possono considerare strutture più ricche di quella di spazio vettoriale; si pensi in particolare all operazioni di prodotto scalare di vettori.
DettagliPiccolo teorema di Fermat
Piccolo teorema di Fermat Proposizione Siano x, y Z, p N, p primo. Allora (x + y) p x p + y p (mod p). Piccolo teorema di Fermat Proposizione Siano x, y Z, p N, p primo. Allora (x + y) p x p + y p (mod
DettagliRaggiungibilità e osservabilità
Raggiungibilità e osservabilità January 5, 2 La raggiungibilità e l osservabilità sono due proprietà che caratterizzano lo spazio di stato associato ad un sistema. Raggiungibilità Uno stato x è raggiungibile
DettagliForma canonica di Jordan
Capitolo INTRODUZIONE Forma canonica di Jordan Siano λ i, per i =,, h, gli autovalori distinti della matrice A e siano r i i corrispondenti gradi di molteplicità all interno del polinomio caratteristico:
DettagliComplementi di Algebra e Fondamenti di Geometria
Complementi di Algebra e Fondamenti di Geometria Capitolo 3 Forma canonica di Jordan M. Ciampa Ingegneria Elettrica, a.a. 29/2 Capitolo 3 Forma canonica di Jordan Nel Capitolo si è discusso il problema
Dettagli