Controlli Automatici I

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1 Ingegneria Elettrica Politecnico di Torino Luca Carlone Controlli Automatici I LEZIONE V

2 Sommario LEZIONE V Proprietà strutturali Controllabilità e raggiungibilità Raggiungibilità nei sistemi lineari Forma canonica di raggiugibilità Il problema del controllo Controllo mediante assegnazione degli autovalori Esercizi ed esempi numerici

3 Proprietà strutturali Con il nome di proprietà strutturali si denotano quelle proprietà del modello che dipendono esclusivamente dalla struttura del modello e non dalla rappresentazione considerata Le principali proprietà strutturali sono: Stabilità Osservabilità Controllabilità e Raggiungibilità

4 Proprietà strutturali STABILITA (vedere LEZIONE III) Stabilità interna: relativa al comportamento interno e riferita all evoluzione dello stato Relativa a RAPPRESENTAZIONE INGRESSO-STATO-USCITA Stabilità esterna: riferita al comportamento ingresso-uscita Relativa a RAPPRESENTAZIONE INGRESSO-USCITA E FUNZIONI DI TRASFERIMENTO u(t) Sistema x(t) y(t)

5 Proprietà strutturali OSSERVABILITA (vedere LEZIONE VI) Lo studio di osservabilità considera l influenza che la grandezza in uscita subisce da parte dell evoluzione interna del sistema L osservabilità è legata alla possibilità di ricostruire lo stato iniziale di un sistema a partire dalla conoscenza dell andamento delle grandezze terminali in un certo intervallo temporale u(t) Sistema x(t) y(t)

6 Proprietà strutturali CONTROLLABILITA E RAGGIUNGIBILITA I risultati relativi alla raggiungibilità e alla controllabilità mettono in luce la possibilità che ha l operatore di agire sul sistema tramite u(t) Controllabilità e raggiungibilità sono concetti legati alla possibilità di trasferire lo stato di un sistema ad uno stato desiderato scegliendo opportunamente la funzione di ingresso u(t) e, quindi, alla possibilità di controllare il sistema u(t) Sistema x(t) y(t)

7 Controllabilità e raggiungibilità CONTROLLABILITA Il problema della controllabilità consiste nel determinare l insieme degli stati iniziali che possono essere condotti ad un determinato stato finale mediante un controllo opportuno Definizione di stato controllabile: uno stato x 0 all istante t 0 (cioè x(t 0 )=x 0 ) è controllabile allo stato x 1 nell intervallo [t 0,t 1 ] (con t 0 <t 1 ) se esiste una funzione di ingresso ammissibile u( ) Ωtale che: Indicheremo con X C (t 0,t 1,x(t 1 )) l insieme degli stati controllabili. Esso rappresenta l insieme degli stati che possono essere trasferiti allo stato x 1 tramite la scelta di un opportuno ingresso u( ) nell intervallo [t 0,t 1 ]

8 Controllabilità e raggiungibilità RAGGIUNGIBILITA Il problema della raggiungibilità consiste nel determinare l insieme degli stati raggiungibili da un determinato stato iniziale Definizione di stato raggiungibile: si consideri un sistema dinamico che sia nello stato x 0 all istante t 0 (cioè x(t 0 )=x 0 ). Uno stato x 1 è raggiungibile dallo stato x 0 nell intervallo [t 0,t 1 ] (con t 0 <t 1 ) se esiste una funzione di ingresso ammissibile u( ) Ωtale che: Indicheremo con X R (t 0,t 1,x(t 0 )) l insieme degli stati raggiungibili dall evento (t 0,x 0 ) all istante t 1. Esso rappresenta l insieme degli stati nei quali possiamo trasferire lo stato x 0 tramite la scelta di un opportuno ingresso u( ) nell intervallo [t 0,t 1 ]

9 Controllabilità e raggiungibilità I concetti di raggiungibilità e controllabilità sono complementari: il concetto di raggiungibilità è legato agli stati che è possibile raggiungere, scegliendo un opportuna funzione di ingresso, a partire da un certo stato iniziale, mentre il concetto di controllabilità è legato agli stati a partire dai quali è possibile raggiungere, tramite un opportuna funzione di ingresso, un certo stato finale prefissato In un sistema lineare tempo invariante, il sottospazio di controllabilità X C coincide con il sottospazio di raggiungibilità X R

10 Controllabilità e raggiungibilità Un sistema lineare tempo invariante si dice completamente raggiungibile se il sottospazio di raggiungibilità coincide con l intero spazio degli stati, cioè se: X R = X Il fatto che un sistema sia completamente raggiungibile significa che è possibile, mediante un opportuna funzione di ingresso, trasferire il sistema dall origine in un qualsiasi stato Di conseguenza il concetto di raggiungibilità riveste un ruolo centrale nel controllo in quanto definisce la possibilità ed i limiti del controllo nell agire sul comportamento del sistema

11 Raggiungibilità nei sistemi lineari Si consideri un generico sistema lineare tempo invariante: x& ( t) = Ax( t) + Bu( t) y( t) = Cx( t) + Du( t) Nello studio della raggiungibilità è di centrale importanza la cosiddetta matrice di raggiungibilità (controllabilità): ( 2 n 1... ) C = B AB A B A B In particolare il sistema risulta completamente raggiungibile (controllabile) se e solo se il rango della matrice C è pari ad n: rank( C) = n ( SISO det( C) 0)

12 Raggiungibilità nei sistemi lineari Nel caso in cui il sistema non fosse completamente raggiungibile è possibile distinguere: X R : sottospazio raggiungibile X NR : sottospazio non raggiungibile u x(0) parte raggiungibile parte non raggiungibile x R x NR x

13 Forma canonica di raggiungibilità Per i sistemi non completamente raggiungibili, è possibile determinare una trasformazione di similarità, descritta da un opportuna matrice T invertibile tale da decomporre lo stato x nelle sue parti non raggiungibile x nr e raggiungibile x r : x z = = T x, dim ( xnr ) = n n, dim( xr ) = n x r R R nr Applicando la trasformazione di similarità T al sistema dinamico considerato si ottiene la Forma canonica di Kalman di raggiungibilità

14 Forma canonica di raggiungibilità Forma canonica di Kalman di raggiungibilità z& y ( t) = Az( t) + Bu( t) ( t) = Cz( t) + Du( t) dim ( z) = n A A 21 B A= r, B = r, C = C C 0 A 0 r nr nr R R R R R R ( A ) = ( n n ) ( n n ) ( A ) = n n ( A ) = n ( n n ) dim dim dim nr r 21 ( ) ( ) ( ) ( ) R R R dim B = n 1 dim C = 1 n n dim C = 1 n r nr r

15 Forma canonica di raggiungibilità Forma canonica di Kalman di raggiungibilità La funzione di trasferimento di un sistema non completamente raggiungibile e rappresentato in forma canonica di Kalman di raggiungibilità è data da: Questo significa che il comportamento ingresso uscita di un sistema dinamico dipende dalla sola parte completamente raggiungibile In particolare solo gli n R autovalori della parte completamente raggiungibile compaiono come poli della funzione di trasferimento. n - n R ( ) 1 si A B D M ( s) = C + r r r poli sono stati cancellati da altrettanti zeri

16 Il problema del controllo È possibile enunciare il problema affrontato nell ambito dei controlli automatici nel seguente modo: Dato un sistema dinamico ed un modello matematico che ne descriva gli aspetti di interesse, determinare la sequenza di comandi da fornire al sistema in modo che l uscita del sistema segua un andamento desiderato

17 Il problema del controllo In generale, dato un sistema, la legge di controllo può essere: In catena aperta: è determinata solo in base al modello del sistema e ai valori dello stato iniziale e dello stato finale In retroazione: la legge di controllo tiene conto, istante per istante, dell evoluzione del sistema, cioè del suo stato. In riferimento al controllo in retroazione, è possibile distinguere tra: Retroazione dinamica: il segnale di controllo viene calcolato in base allo stato del sistema da un dispositivo avente una dinamica propria Retroazione statica: il segnale di controllo viene calcolato in base allo stato del sistema in modo statico Per quanto riguarda gli obiettivi del controllo si possono distinguere due problematiche principali: Problemi di regolazione: si suppone che per effetto di disturbi o altre cause il sistema si trovi in una condizione iniziale diversa da zero e si intenda riportare il sistema allo stato zero con velocità assegnata Problemi di tracking: Si richiede che l uscita del sistema approssimi, secondo certi criteri, un andamento desiderato

18 Controllo mediante assegnazione degli autovalori È un controllo in retroazione di tipo statico che risolve un problema di regolazione per sistemi lineari tempo invarianti Si consideri un generico sistema lineare tempo invariante: x& ( t) = Ax( t) + Bu( t) y( t) = Cx( t) + Du( t) Si vuole progettare una legge di controllo che permetta di assegnare alla sistema n autovalori prefissati, al fine di controllarne il comportamento NOTA 1: il segno della parte reale degli autovalori determina le proprietà di stabilità NOTA 2: il modulo della parte reale degli autovalori determina la velocità di risposta del sistema

19 Controllo mediante assegnazione degli autovalori La legge di controllo considerata è nella forma: Con [ ] K = k1 k2... kn u( t) = K x( t) NOTA: si assume lo stato del sistema x(t) sia direttamente accessibile Dunque il problema dell assegnazione degli autovalori si riduce al calcolo dei guadagni K tali per cui gli autovalori del sistema assumano i valori desiderati: & ( ) x( t) = Ax( t) + Bu( t) y( t) = Cx( t) + Du( t) &x ( t) = A BK x( t) y( t) = Cx( t) + Du( t) Ovvero consiste nell imporre che gli autovalori di (A-BK) corrispondano a dei valori desiderati (assegnati)

20 Controllo mediante assegnazione degli autovalori Il problema dell assegnazione di n autovalori mediante retroazione dallo stato ammette soluzione se e solo se il sistema è completamente raggiungibile Nel caso in cui il sistema non fosse completamente raggiungibile esistono: n R autovalori λ(a) associati al sottospazio di raggiungibilità (modificabili dall ingresso u) n n R autovalori λ(a) associati al sottospazio di non raggiungibilità (non modificabili dall ingresso u) In tal caso è possibile assegnare al sistema il comportamento desiderato se e solo se gli n n R autovalori associati al sottospazio non raggiungibile sono tra gli autovalori da assegnare

21 Controllo mediante assegnazione degli autovalori ASSEGNAZIONE DEGLI AUTOVALORI PER SISTEMI COMPLETAMENTE RAGGIUNGIBILI 1. Calcolare la matrice di controllabilità C 2. Determinare il rango della matrice C (verificare che sia uguale al numero di variabili di stato) 3. Calcolare il polinomio caratteristico della matrice (A-BK) 4. Imporre il principio d identità dei polinomi tra il polinomio caratteristico di (A-BK) ed il polinomio p( λ ) = n ( λ λ ) i= 1 i (ottenuto a partire dagli autovalori da assegnare ) e determinare i guadagni K λ i

22 Esempi ed esercizi numerici