Ingegneria Elettrica Politecnico di Torino. Luca Carlone. ControlliAutomaticiI LEZIONE I

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1 Ingegneria Elettrica Politecnico di Torino Luca Carlone ControlliAutomaticiI LEZIONE I

2 Sommario LEZIONE I Introduzione al concetto di sistema Notazione e tassonomia Rappresentazione in variabili di stato Equazioni di stato per reti elettriche Esempi ed esercizi numerici

3 Introduzione allo studio dei sistemi Un sistema è un oggetto, fenomeno o processo di cui si vuole studiare il comportamento Alcuni esempi di sistema: Reti elettriche Sistemi meccanici Dispositivi elettromeccanici Sistemi economici Sistemi biologici

4 Introduzione allo studio dei sistemi Sistema Sistema Reale Modello matematico Predizione Validazione Controllo

5 Notazione e tassonomia u(t) Sistema x(t) y(t) u: ingressi del sistema y: uscite del sistema x: stati del sistema Grandezze terminali Grandezze interne al sistema

6 Notazione e tassonomia Ingressi del sistema: Sono le variabili che, agendo dall esterno sul sistema, ne influenzano l evoluzione Uscite del sistema: Corrispondono alle grandezze di cui si vuole conoscere l andamento nel tempo Sono le variabili del sistema che possono essere misurate Stati del sistema: Caratterizzano l evoluzione interna del sistema

7 Notazione e tassonomia u(t) Sistema x(t) y(t) MIMO: Multiple- Input-Multiple- Output SISO: Single- Input-Single- Output

8 Notazione e tassonomia Un sistema può essere: Causale: l uscita non dipende da valori futuri degli ingressi Anticausale: l uscita dipende da valori futuri degli ingressi Continuo: l evoluzione del sistema avviene in un insieme di tempi T continuo Discreto: l evoluzione del sistema avviene in un insieme di tempi T discreto Tempo-invariante: i parametri del sistema sono costanti Tempo variante: i parametri del sistema variano nel tempo.

9 Rappresentazione in variabili di stato u(t) Sistema x(t) y(t) Per descrivere la struttura interna del sistema si utilizzano relazioni matematiche tra grandezze terminali, grandezze interne e le loro variazioni nel tempo (derivate): xɺ ( t) = f ( x( t), u( t), t) y( t) = g( x( t), u( t), t)

10 Rappresentazione in variabili di stato Considerando un sistema lineare possiamo riscrivere le equazioni utilizzando la notazione matriciale: xɺ ( t) = A( t) x( t) + B( t) u( t) y ( t ) = C ( t ) x ( t ) + D ( u ) u ( t ) Nell ipotesi di avere un sistema lineare tempoinvariante: xɺ ( t) = Ax( t) + Bu( t) y( t) = Cx( t) + Du( t)

11 Rappresentazione in variabili di stato n m..... A =... B.. n = C =... n m q.. D =.. n q n: dimensione del vettore delle variabili di stato x(t) (numero di variabili di stato) m: dimensione del vettore u(t) (numero di ingressi) q: dimensione del vettore y(t) (numero di variabili in uscita al sistema)

12 Equazioni di stato per reti elettriche Esempio di sistema elettrico:

13 Equazioni di stato per reti elettriche Indicazioni per otterene rappresentazione ingresso-stato-uscita: 1. Identificare ingressi e uscite 2. Stabilire quali sono gli stati del sistema 3. Impostare equazioni 4. Utilizzare le equazioni costitutive dei componenti per formulare il modello ingresso-stato-uscita

14 Equazioni di stato per reti elettriche 1. Identificare ingressi e uscite In applicazioni reali sono definiti a priori dalla tipologia del sistema, dai sensori, dagli attuatori e dagli eventuali disturbi Negli esercizi del corso sono solitamente specificati nella traccia In genere gli ingressi delle reti elettriche sono: Correnti imposte da generatori di corrente Tensioni imposte da generatori di tensione

15 Equazioni di stato per reti elettriche Esempio: Ingresso Uscita

16 Equazioni di stato per reti elettriche 2. Stabilire quali sono gli stati del sistema Solitamente per reti elettriche corrispondono a: Correnti negli induttori Tensioni sui condensatori Le resistenze, essendo prive di dinamica (secondo la legge di Ohm) non introducono stati nei sistema

17 Equazioni di stato per reti elettriche Esempio: Stati del sistema

18 Equazioni di stato per reti elettriche 3. Impostare equazioni È necessario definire un numero di equazioni uguale al numero di stati del sistema Gli strumenti principali per definire le suddette equazioni sono: Legge di Kirchhoff per le tensioni alle maglie Legge di Kirchhoff per il bilancio delle correnti ai nodi Altre semplici relazioni elettriche: Nodi cortocircuitati condividono la stessa tensione rispetto ad un riferimento comune La corrente che scorre nei componenti di uno stesso ramo del circuito è la medesima

19 Equazioni di stato per reti elettriche Esempio: Eq. Kirchhoff per correnti i L Eq. Kirchhoff per tensioni

20 Equazioni di stato per reti elettriche 4. Utilizzare le equazioni costitutive dei componenti per formulare il modello ingresso-stato-uscita V R Le principali equazioni costitutive per reti elettriche sono: = R i R dv C ic = C dt di L VL = L dt

21 Esempi ed esercizi numerici