01. Modelli di Sistemi

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1 Controlli Automatici 01. Modelli di Sistemi Prof. Cesare Fantuzzi Ing. Cristian Secchi Ing. Federica Ferraguti ARSControl - DISMI - Università di Modena e Reggio Emilia {nome.cognome}@unimore.it

2 Sistemi e Modelli Dal sistema ad un modello Sistema insieme, isolato artificialmente dal contesto, costituito da più parti tra loro interagenti di cui si vuole indagare il comportamento Variabili di ingresso Sistema dinamico Variabili di uscita Variabili di ingresso: azioni compiute sul sistema da agenti esterni che ne influenzano il comportamento Variabili di uscita: grandezze del sistema in esame che, per qualche ragione, sono di interesse Rapporto causa-effetto tra le variabili Controlli Automatici Modelli di Sistemi 2

3 Sistemi e Modelli Dal sistema ad un modello Sistema statico/dinamico Modello matematico dei sistemi statici Equazioni algebriche - sistemi privi di memoria L uscita del sistema dipende solo dal valore assunto dall ingresso in quell istante Esempio: relazione tra tensione e corrente in un resistore Modello dei sistemi dinamici (a parametri concentrati) Equazioni differenziali - sistemi con memoria L uscita del sistema non dipende solo dal valore assunto dall ingresso in quell istante ma anche da quelli passati Esempio: relazione tra tensione e corrente in un condensatore Variabili di stato: variabili che descrivono la «situazione interna» del sistema (determinata dalla storia passata) necessarie per determinare l uscita Controlli Automatici Modelli di Sistemi 3

4 Sistemi e Modelli Dal sistema ad un modello Descritti dal modello matematico Ingresso Stato Uscita Rappresentazione interna Rappresentazione esterna Controlli Automatici Modelli di Sistemi 4

5 Sistemi e Modelli Rappresentazione di stato interna Equazioni che descrivono un sistema dinamico a tempo continuo Equazione di stato: Ingresso Stato Uscita Evoluzione dello stato in funzione dell ingresso e dello stato dx(t) dt = f(x t, u t, t) derivata dello stato all istante t vettore di stato vettore di ingresso Trasformazione dell uscita: Dipendenza dell uscita dall ingresso e dello stato y t = g(x t, u t, t) vettore di uscita Dato x(t 0 ) (valore dello stato all istante iniziale) e dato u t, t t 0, sotto certe proprietà di regolarità di f( ), allora l equazione di stato definisce l andamento di x(t) e y(t). Controlli Automatici Modelli di Sistemi 5

6 Rappresentazione di stato interna - Esempio Circuito RC Dalla legge delle tensioni v R t = v i t v C t i(t) Sapendo che C dv C t dt = i(t) v R t = Ri(t) v i (t) v R v c (t) Si ottiene x t = 1 RC u t x t y t = (u t x t ) Avendo posto u t = v i t x t = v C t y t = v R t Controlli Automatici Modelli di Sistemi 6

7 Rappresentazione di stato esterna (ingresso-uscita) - Esempio i(t) Circuito RC Dalla legge delle tensioni v R t = v i t v C t Sapendo che v C t = 1 C i t dt v R t = Ri(t) v i (t) v R v c (t) Si ottiene v R t = v i t 1 RC v R t dt Ovvero (derivando rispetto a t) dy(t) dt Avendo posto + 1 du(t) y t = RC dt u t = v i t y t = v R t Controlli Automatici Modelli di Sistemi 7

8 Classificazione dei sistemi Statici: modello matematico dei sistemi statici equazioni algebriche (sistemi privi di memoria) Dinamici: modello dei sistemi dinamici (a parametri concentrati) equazioni differenziali (sistemi con memoria) Monovariabili (SISO): un ingresso una uscita Multivariabili (MIMO): più ingressi più uscite Lineari: le variabili entrano linearmente Non lineari: le variabili entrano non linearmente Invarianti: le loro caratteristiche sono costanti Tempo varianti: le loro caratteristiche variano nel tempo A parametri concentrati: equazioni differenziali ordinarie Distribuiti: equazioni alle derivate parziali Controlli Automatici Modelli di Sistemi 8

9 Modello causale ed anticipativo Un modello si dice causale quando l uscita corrispondente ad una data sollecitazione si manifesta soltanto in istanti non anteriori a quello iniziale di applicazione della sollecitazione. Un modello non causale si dice anticipativo. Un modello anticipativo non può corrispondere ad alcun sistema fisico. Non è immaginabile un sistema che reagisce ad una sollecitazione ancor prima che questa sia applicata. Il modello y t = a dx(t) dt è non causale se consideriamo x come ingresso ed y come uscita (si pensi alla derivata come rapporto incrementale) è causale se consideriamo y come ingresso ed x come uscita Non si può costruire un derivatore ideale x t = 1 t a 0 y τ dτ + x0 Modelli non causali sono utilizzati per comodità di analisi e manipolazione Controlli Automatici Modelli di Sistemi 9

10 Modelli a parametri concentrati Le caratteristiche fisiche dei sistemi dinamici sono distribuite nel sistema fisico stesso: massa, elasticità, restistenza, Nella descrizione dei modelli dinamici, se possibile, è bene fare delle approssimazioni che permettano di concentrare in uno (o pochi) punti tali caratteristiche e quindi ottenere notevoli semplificazioni nelle loro espressioni matematiche. modelli a parametri concentrati Nella pratica, anche se è chiaro che tutte le caratteristiche dei sistemi fisici sono distribuite, si cerca ove possibile di avere modelli a parametri concentrati. Controlli Automatici Modelli di Sistemi 10

11 Modelli a parametri concentrati I modelli a parametri concentrati sono espressi da equazioni differenziali ordinarie (tempo continuo) o equazioni alle differenze (tempo discreto), che sono funzioni solo del tempo: d n y a n dt n + a d n 1 y n 1 dt n a dy 1 dt + a d m u 0y = b m dt m + b d m 1 u m 1 dt m b du 1 dt + b 0u a n y nt + a n 1 y n 1 T + + a 1 y T = b m u mt + b m 1 u m 1 T + + b 1 u T Se non è possibile considerare come concentrati alcuni dei parametri del modello, allora si deve ricorrere a equazioni alle differenze parziali. Infatti, la dinamica non dipende solo dal tempo ma anche, per esempio, dallo spazio: a n n y t n + a n 1 n 1 y t n a p p y x p + a p 1 p 1 y x p a 0y = b m d m u dt m + + b 0u Controlli Automatici Modelli di Sistemi 11

12 Risposta di un sistema - Risposta da stato zero In generale, l uscita y(t) di un sistema dinamico per t t 0 dipende: dall ingresso u τ applicato in [t 0, t] dallo stato iniziale x 0 che ha il sistema per t = t 0 RISPOSTA DA STATO ZERO Risposta forzata Si dice risposta da stato zero o risposta forzata la risposta y zs t di un sistema che è inizialmente in quiete (ingresso ed uscita nulli) e che viene sollecitato da un ingresso non nullo. Il sistema, senza l applicazione dell ingresso non nullo, rimarrebbe indefinitamente nella condizione di quiete. Controlli Automatici Modelli di Sistemi 12

13 Risposta di un sistema - Risposta da stato zero 2 Risposta all`impulso (caso ideale) f x(t) Pos, Vel Palla inizialmente in quiete (v 0 = 0) sollecitata da una forza impulsiva (piano con attrito non nullo) Tempo [sec] Controlli Automatici Modelli di Sistemi 13

14 Risposta di un sistema - Risposta con ingresso zero RISPOSTA CON INGRESSO ZERO Risposta libera Si dice risposta con ingresso zero o risposta libera la risposta y zl t di un sistema che è sollecitato da un ingresso nullo. Se il sistema è inizialmente in quiete (ingresso ed uscita nulli) vi permane per t > t 0, altrimenti vi è una evoluzione dell uscita i(t) Condensatore inizialmente 0.03 carico (q t 0 = q 0 0). La 0.02 variabile di uscita è la corrente i(t) nel circuito Tempo Controlli Automatici Modelli di Sistemi 14 [sec] x 10-5

15 RISPOSTA COMPLETA Risposta di un sistema - Risposta completa Si dice risposta completa la risposta di un sistema che si trova inizialmente in condizioni non di quiete ed è sollecitato con ingresso non nullo. In questo caso è necessario conoscere sia l ingresso applicato che lo stato iniziale in cui si trova il sistema. Esempio Data una massa m che nell intervallo t 0, t 1 cade in caduta libera, soggetta alla sola forza di gravità g, non è possibile in t = t 1 calcolarne la posizione e/o la velocità se non si conoscono la posizione e la velocità iniziali. a t = g m v t = g m t + v 0 = at + v 0 v 0, p 0 p t = g 2m t2 + v 0 t + p 0 = a 2 t2 + v 0 t + p 0 Controlli Automatici Modelli di Sistemi 15

16 Modelli lineari Una funzione f è lineare se gode delle seguenti proprietà: Additività f x 1 + x 2 = f x 1 + f x 2 x 1, x 2 C Omogeneità f αx = αf(x) α, x C Un modello dinamico è lineare se valgono le seguenti proprietà: La risposta con ingresso zero è lineare rispetto allo stato iniziale La risposta da stato zero è lineare rispetto all ingresso La risposta completa coincide con la somma della risposta con ingresso zero e della risposta da stato zero y t = y zl t + y zs t Spesso, l ipotesi di linearità di un sistema è una approssimazione che si applica considerando opportune limitazioni sugli ingresso e uscite del sistema stesso. In generale, infatti, i sistemi fisici NON sono lineari, e possono essere considerati tali solo entro opportuni intervalli di «funzionamento». Controlli Automatici Modelli di Sistemi 16

17 ESEMPIO 1 Si consideri la risposta completa di un sistema dinamico y t = sen t x in cui x 0 = x(t 0 ) è lo stato iniziale. t 0 Modelli lineari - Esempi t e 2 t τ u 2 τ dτ = y zl t + y zs t La risposta è somma della risposta con ingresso zero e da stato zero, però il sistema non è lineare poichè la risposta non è lineare né rispetto allo stato iniziale (x 0 2 ), né rispetto all ingresso (u 2 ). Controlli Automatici Modelli di Sistemi 17

18 ESEMPIO 2 Modelli lineari - Esempi Si consideri la risposta completa di un sistema dinamico t y t = sen t x 0 + e 2 t τ u 2 τ dτ = y zl t + y zs t in cui x 0 = x(t 0 ) è lo stato iniziale. t 0 Il sistema non è lineare poichè la risposta non è lineare rispetto all ingresso (u 2 ). ESEMPIO 3 Si consideri la risposta completa di un sistema dinamico t y t = sen t x 0 + e 2 t τ u τ dτ = y zl t + y zs t in cui x 0 = x(t 0 ) è lo stato iniziale. Il sistema è lineare poiché: La risposta è somma della risposta con ingresso zero e da stato zero La risposta è lineare rispetto allo stato iniziale (x 0 ) La risposta è lineare rispetto all ingresso (u) t 0 Controlli Automatici Modelli di Sistemi 18

19 Proprietà di sovrapposizione degli effetti Per i sistemi lineari vale una proprietà molto importante: la sovrapposizione degli effetti Linearità rispetto allo stato iniziale Questa caratteristica dei sistemi dinamici risulta evidente (ed utile) nello studio dei sistemi nello spazio degli stati. Viene qui citata solo per completezza, ma verrà utilizzata nel seguito, in quanto si è maggiormente interessati ad una rappresentazione dei sistemi non basata sul concetto di stato. Controlli Automatici Modelli di Sistemi 19

20 Proprietà di sovrapposizione degli effetti Linearità rispetto all ingresso Sia dato un sistema inizialmente in quiete. Si applichino (singolarmente) i q ingressi u i t i = 1,, q ottenendo le corrispondenti risposte forzate y zsi (t): u 1 t y zs1 (t) u 1 t y zs1 (t) u q t y zsq (t) La linearità rispetto all ingresso implica che se si applica al sistema l ingresso u t = α 1 u 1 t + α 2 u 2 t + + α q u q t = α i u i t α i R allora si ottiene l uscita u(t) i=1 q y t = α 1 y zs1 (t) + α 2 y zs2 (t) + + α q y zsq (t) = α i y zsi (t) α i R i=1 Controlli Automatici Modelli di Sistemi 20 q y(t)

21 Proprietà di sovrapposizione degli effetti Esempio f = f 1 + f 2 x = x 1 + x 2 Additività delle risposte Proprietà di additività della risposta libera e della risposta forzata. Controlli Automatici Modelli di Sistemi 21