SEGNALI E SISTEMI (a.a ) Proff. L. Finesso, M. Pavon e S. Pinzoni Prova scritta 15 dicembre 2003 Testo e Soluzione

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1 Esercizio 1 [punti 4] SEGNALI E SISTEMI (a.a ) Proff. L. Finesso, M. Pavon e S. Pinzoni Prova scritta 15 dicembre 003 Testo e Soluzione Per ciascuno dei seguenti segnali dire se è periodico e, in caso affermativo, trovarne il periodo fondamentale e i coefficienti di Fourier: a. x 1 (t) = e j3t e j π 3 sen πt, t R, b. x (t) = e j3t e j π 3 sen t, t R. Svolgimento. a. Il segnale x 1 (t) è combinazione lineare dei segnali elementari x 11 (t) = e j3t e x 1 (t) = sen πt, di pulsazione 11 = 3 ed 1 = π (e periodo T 11 = π e T 3 1 = ), rispettivamente. Poiché tali pulsazioni (o, equivalentemente, i corrispondenti periodi) non sono in rapporto razionale, concludiamo che x 1 (t) non è un segnale periodico. b. Le componenti elementari del segnale x (t) sono x 1 (t) = e j3t di pulsazione 1 = 3 (e periodo T 1 = π 3 ), e x (t) = sen t di pulsazione = 1 (e periodo T = π). Poiché il rapporto tra le pulsazioni (o, equivalentemente, tra i corrispondenti periodi) è razionale, x (t) è un segnale periodico. In particolare, T = mcm(t 1, T ) = π ne è il periodo e = MCD( 1, ) = 1 la corrispondente pulsazione. Ora, usando la relazione di Eulero e scrivendo riconosciamo le armoniche ed i coefficienti di Fourier x (t) = e j3t + e j π 3 j e jt e j π 3 j ejt φ 3 (t) = e j3t, φ 1 (t) = e jt, φ 1 (t) = e jt a 3 = 1, a 1 = e j π 3 j Esercizio [punti 4] = 1 4 ( 3 + j), a 1 = e j π 3 j = 1 4 ( 3 + j), a k = 0, k 3, ±1 Determinare E e P per i seguenti segnali: a. x 1 (t) = e t u(t 1), t R, b. x (n) = sen( π n), n Z. 4 Svolgimento. a. Si calcola direttamente E (x 1 ) = x 1 (t) dt = e 4t dt = e 4t = e < 1 T e quindi P (x 1 ) = lim x 1 (t) dt = 0. T T T b. Il segnale x (n) è periodico (di periodo N = 8) e non identicamente nullo: ha perciò energia E (x ) =, mentre la sua potenza coincide con quella media sul periodo, cioè P (x ) = 1 x (n) = 1 7 sen ( π N 8 n) = 1 ( n= ) = 1 N Ricordiamo che questo è un fatto generale: infatti P (x) = 1 per ogni segnale a tempo discreto del tipo x(n) = sen θn (o, analogamente, x(n) = cos θn), qualunque sia l angolo θ (e quindi sia che x(n) risulti o non risulti periodico).

2 Esercizio 3 [punti 5] Un sistema LTI di risposta impulsiva h(t) = sen 4t πt è sollecitato dall ingresso x(t) = u(t + 1) u(t 1). Si determinino i periodi di campionamento T che permettono la ricostruzione esatta del segnale di uscita y(t), a partire dai campioni {y(kt ); k Z}, mediante un filtro passa-basso ideale. Svolgimento. Il sistema è un filtro passa-basso ideale con risposta in frequenza H = F[h]: ( ) { 1, se 4 H(j) = rect = 8 0, altrimenti ( t Inoltre, l ingresso x(t) = u(t + 1) u(t 1) = rect ha spettro X = F[x]: ) X(j) = sen cosicché la trasformata dell uscita y(t) = h(t) x(t) è Y = F[y] = HX: { sen, se 4 Y (j) = H(j)X(j) = 0, altrimenti Ora, poiché il segnale y(t) ha banda rigorosamente limitata, con Y (j) = 0 per > 4 = M, in base al teorema del campionamento y(t) è esattamente ricostruibile dai suoi campioni se la pulsazione di campionamento S > M = 8 o, equivalentemente, il periodo T = π s < π M = π. 4 Nota: Alcuni studenti, ricordando che u(t) hanno calcolato la trasformata X(j) come X(j) = (e j e j ) F 1 j + πδ() ( ) 1 j + πδ() = sen tenendo conto della proprietà di traslazione nel tempo della trasformata di Fourier, della relazione di Eulero per la funzione seno e della proprietà rivelatrice della δ di Dirac. Esercizio 4 [punti 4] Si calcoli la convoluzione a tempo discreto y(n) = h(n) x(n), dove h(n) = u(n) e { 1, se 0 n 5 x(n) = 0, altrimenti Svolgimento. Calcolando direttamente, si ottiene: n y(n) = h(n k) x(k) = x(k) = k= k= 0, se n < 0 n 1 = n + 1, se 0 n 5 k=0 5 k=0 1 = 6, se 5 < n

3 Esercizio 5 [punti 4] Si determini il segnale {x(n); n Z} la cui trasformata di Fourier è { j, se 0 < θ π X(e jθ ) = j, se π < θ 0 Svolgimento. Il calcolo diretto porge: x(n) = 1 π X(e jθ )e jθn dθ = j ( 0 e jθn dθ π π π π e quindi x(0) = 0 e, per n 0, x(n) = 1 ( e jθn 0 ) e jθn π cos πn = = 1 ( 1)n = πn πn πn π 0 π 0 ) e jθn dθ { Nota: Alcuni studenti hanno riconosciuto nella trasformata X(e jθ ), periodica di periodo π, la combinazione lineare di due onde quadre traslate in anticipo e ritardo, rispettivamente, di π, cioè X(e jθ ) = j ˆX(e j(θ+ π ) ) j ˆX(e j(θ π ) ) dove 0, se π < θ π ˆX(e jθ ) = 1, se π < θ π 0, se π < θ π Ricordando che l antitrasformata ˆx(n) = sen πn ed applicando la proprietà di traslazione in πn frequenza della trasformata a tempo discreto, si ottiene allora Esercizio 6 [punti 5] x(n) = j ( e j π n e j π n) ˆx(n) = (sen π n) πn Per l equazione differenziale = y (t) + 4y(t) = sen t u(t) { si trovi la soluzione y(t), t > 0, corrispondente alla condizione iniziale y(0 ) = 1. Svolgimento. Applicando la trasformata di Laplace unilatera ad ambo i membri dell equazione, otteniamo sy (s) y(0 ) + 4Y (s) = s + 4 e quindi, sostituendo la condizione iniziale, Y (s) = 1 s (s + 4)(s + 4) = A s Bs + C s + 4 Il coefficiente A si calcola, ad esempio, come A = (s + 4)Y (s) = 0.9 s= 4 mentre ( Bs + C = (s + 4) Y (s) A ) = 0.1(s 4) s + 4 Antitrasformando, si ottiene infine la soluzione, per t > 0: y(t) = Ae 4t + B cos t + 1 C sen t = 0.1 (9e 4t cos t + sen t) (In particolare, antitrasformando Y l (s) = y(0 ) s + 4, si ricava la risposta libera y l(t) = e 4t, mentre, per differenza, la risposta forzata risulta y f (t) = 0.1(e 4t + cos t sen t).

4 Esercizio 7 [punti 4] Solo per questo esercizio NON è necessario giustificare le risposte. Per ciascuno dei seguenti sistemi: 1. y(n) = max{ x(n), x(n 1) }, n Z,. y(t) = 3. y(t) = t t e 3(t τ) x(τ) dτ, t R, t τ x(τ) dτ, t R verificare se valgono le proprietà di: a. causalità, b. linearità, c. tempo invarianza, d. BIBO-stabilità. Svolgimento. Il sistema 1. risulta causale, non lineare, tempo invariante e BIBO-stabile. Il sistema. è causale, lineare, tempo invariante e BIBO-stabile, con risposta impulsiva h(t) = e 3t u(t). Infine, il sistema 3. non è causale, è lineare, non tempo-invariante, né BIBO-stabile. Esercizio 8 [punti ] [Difficile, da fare per ultimo!] Si risolva nuovamente l esercizio 5 utilizzando, oltre alle proprietà delle serie di Fourier, i seguenti fatti: gli x(n) possono esser visti come coefficienti di Fourier del segnale periodico X(e jθ ) rispetto ad una opportuna famiglia di esponenziali in relazione armonica; i coefficienti di Fourier dell onda quadra di periodo T, che è uguale a 1 tra T 1 e T 1 e zero altrove sul periodo, sono dove 0 = π T. a 0 = T 1 T, a k = sen(k 0T 1 ), k 0 Svolgimento. Ricordiamo innanzitutto che la trasformata discreta X(e jθ ) è una funzione di θ, periodica di periodo Θ = π. Come tale, può essere rappresentata da una serie di Fourier, con coefficienti b k = 1 X(e jθ )e jθk dθ, k Z Θ Θ Dal confronto con la relazione di Fourier inversa x(n) = 1 X(e jθ )e jθn dθ, n Z π π che lega il segnale a tempo discreto x(n) alla sua trasformata X(e jθ ), si conclude allora che x(n) = b n per ogni n Z. Questa osservazione costituisce il fondamento della dualità tra trasformata di Fourier F d per segnali aperiodici a tempo discreto e serie di Fourier F s per segnali periodici a tempo continuo. Tale dualità si può esprimere con la formula Fd 1 = RF s o RF s F d = I dove R rappresenta l inversione d ordine (dei coefficienti) e I la relazione d identità. Ora, per calcolare x(n) secondo la modalità proposta dall esercizio, notiamo che X(e jθ ) = j + j ˆX(e j(θ+ π ) )

5 dove ˆX(e jθ ) rappresenta l onda quadra di periodo Θ = π, che è uguale a 1 tra Θ 1 e Θ 1, con Θ 1 = π, e zero altrove sul periodo. I coefficienti di Fourier di quest onda quadra si trovano sostituendo nell espressione sopra ricordata i valori del periodo e del supporto, ottenendo: a 0 = Θ 1 Θ = 1, a k = sen(k π Θ Θ 1) = sen(k π), k 0 A questo punto, i coefficienti di Fourier di X(e jθ ) si ottengono dalle proprietà di linearità e traslazione in θ, come b 0 = j + ja 0 = 0, b k = je j π k a k = ejπk 1 πk = {, πk se k è dispari 0, se k 0 è pari Infine, x(n) = b n = { è il segnale a tempo discreto x = RF s [X] = Fd 1 [X], già calcolato direttamente nell esercizio 5.