Cristian Secchi Pag. 1

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Cristian Secchi Pag. 1"

Transcript

1 INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica STRUMENTI MATEMATICI PER L ANALISI DEI SISTEMI DISCRETI Ing. Tel Richiami di Controlli Automatici Il comportamento ingresso-uscita dei sistemi a tempo continuo può essere descritto da equazioni differenziali, che in generale hanno la forma: Molti sistemi di interesse possono essere descritti da equazioni differenziali lineari a parametri concentrati caratterizzate dalla seguente forma semplificata. I sistemi descritti da queste equazioni sono detti sistemi Lineari Tempo Invarianti (LTI). Se il sistema che si sta modellando è caratterizzato da un solo ingresso e una sola uscita, si parlerà di sistemi single input single output (SISO). ITSC Pag. 1

2 Richiami di Controlli Automatici Nel corso di Controlli Automatici sono stati trattati sistemi LTI SISO. E possibile passare da una rappresentazione nel dominio dei tempi a una nel dominio complesso e viceversa tramite le operazioni di Trasformata e Antitrasformata di Laplace. Il vantaggio principale nel passare al dominio complesso è che un equazione differenziale viene trasformata in un equazione algebrica più semplice da gestire. ITSC Richiami di Controlli Automatici Un sistema LTI-SISO può essere descritto nel dominio complesso tramite una Funzione di Trasferimento. La rappresentazione mediante funzione di trasferimento è molto comoda e ha consentito di sviluppare un analisi approfondita del comportamento del sistema, un analisi delle specifiche e svariate tecniche per il progetto di controllori. ITSC Pag. 2

3 Richiami di Controlli Automatici Lo schema di controllo finale è: r(t) e(t) u(t) G c (s) G p (s) y(t) - Sia il plant che il controllore sono rappresentati da funzioni di trasferimento e, quindi, sono sistemi a tempo continuo. Ma l azione di controllo deve essere implementata su un calcolatore che è un sistema a tempo discreto Occorre sviluppare un framework per la modellazione dei sistemi discreti in modo da poter costruire un azione di controllo che sia implementabile su di un sistema a microprocessore. ITSC Descrizione di Sistemi a tempo discreto SISTEMI TEMPO-CONTINUI Equazioni differenziali A/D SISTEMI TEMPO-DISCRETI Equazioni alle differenze Trasformata di Laplace D/A Trasformata Z ITSC Pag. 3

4 Equazioni alle differenze Si supponga di voler elaborare una sequenza di dati discreti e k =e(kt), con k=1,2,, per ottenere una sequenza u k =u(kt). Elaborazione In generale: Se la funzione f( ) è lineare e dipendente solo da un valore finito di valori passati idi u k ed e k, l elaborazione l può essere rappresentata da: equazione lineare alle differenze di ordine n ITSC Soluzione delle equazioni alle differenze Trovare la soluzione delle equazioni alle differenze è semplice. Basta conoscere le condizioni iniziali. Si consideri ad esempio: Condizioni iniziali: ITSC Pag. 4

5 Soluzione delle equazioni alle differenze Nel caso generale, si ipotizza che la sequenza soluzione sia nella forma: Sostituendo la soluzione candidata nell equazione si ottiene: Dividendo per cz k si ottiene Poiché l equazione è lineare, si ha che la combinazione lineare di due soluzioni è ancora una soluzione. Quindi è ancora una soluzione ITSC Soluzione delle equazioni alle differenze Le costanti c 1 e c 2 si determinano imponendo specifiche condizioni iniziali. da cui ITSC Pag. 5

6 Soluzione delle equazioni alle differenze L equazione che si ottiene dopo la sostituzione u k =z k è detta equazione caratteristica dell equazione alle differenze. Se una delle radici dell equazione caratteristica ha modulo maggiore di 1, allora la corrispondente equazione alle differenze è instabile (cioè la sua soluzione divergerà al crescere del tempo per qualsiasi condizione iniziale finita). Se tutte le radici dell equazione caratteristica hanno modulo minore di 1, allora la corrispondente equazione alle differenze è stabile (cioè la sua soluzione convergerà a 0 al crescere del tempo per qualsiasi condizione iniziale finita). stabile 1 instabile ITSC Equazione caratteristica L equazione caratteristica (associata all equazione) è data da L equazione alle differenze è instabile. Infatti la soluzione è divergente ITSC Pag. 6

7 La trasformata Z La trasformata Z è un metodo utilizzato per studiare i sistemi discreti. Essa rappresenta essenzialmente l'analogo della trasformata di Laplace per i sistemi continui. DEFINIZIONE: Sia data una sequenza di valori x k R, definita per k = 0, 1, 2, e nulla per k < 0. La Z-trasformata (unilatera) della sequenza x k è la funzione di variabile complessa z definita come: La Z-trasformata è definita in una regione del piano complesso z detta dominio di convergenza, cioè nell'insieme dei punti z per i quali la serie converge. ITSC La trasformata Zeta Nel caso in cui la sequenza di valori x k sia ottenuta campionando uniformemente con periodo T un segnale continuo descritto dalla funzione x(t), t 0, si avrà che x k = x(kt) (o più semplicemente x k = x(k), k = t/t = 0, 1, 2, ) e corrispondentemente si scriverà DIPENDE DAL PERIODO (T) DI CAMPIONAMENTO ITSC Pag. 7

8 La Z-trasformata Nei casi di interesse ingegneristico, X(z) ha una espressione razionale fratta p 1, p 2,, p n sono i poli di X(z) mentre z 1,z 2,,z m sono gli zeri di X(z) ITSC La Z-trasformata Raccogliendo z n sia al numeratore che al denominatore si ottiene una rappresentazione più utilizzata nelle applicazioni controllistiche in cui compaiono solo potenze di z -1 : Il termine z -k è interpretabile come un ritardo z - k ritardo di t = kt ITSC Pag. 8

9 La Z-trasformata Funzioni elementari Impulso discreto unitario. Sia data la funzione, detta anche funzione delta di Kronecker δ 0 (t): Gradino unitario. Sia data la funzione Serie convergente per z > 1 ITSC La Z-trasformata Funzioni elementari Rampa unitaria. Si consideri la funzione rampa unitaria: Poichè x(kt) = kt, k = 0, 1, 2,, la Z-trasformata è Serie convergente per z > 1 ITSC Pag. 9

10 La Z-trasformata Funzioni elementari Funzione potenza a k. Sia data la funzione: a costante reale o complessa Dalla definizione si ha Serie convergente per z > a ITSC La Z-trasformata Funzioni elementari Funzione esponenziale. Sia data la funzione: a costante reale o complessa Poichè x(kt) = e -akt, k = 0, 1, 2,, si ha Convergente per z > e -Re(a)T ITSC Pag. 10

11 La Z-trasformata Funzioni elementari Funzione sinusoidale. Sia data la funzione: Dalle formule di Eulero: Convergente per z > 1 ITSC La Z-trasformata Funzioni elementari Funzione cosinusoidale. Sia data la funzione: Analogamente a prima, con le formule di Eulero Convergente per z > 1 ITSC Pag. 11

12 La Z-trasformata Le trasformate delle funzioni di maggior interesse sono solitamente riportate in tabelle che vengono consultate per la determinazione di Z- trasformate di funzione generiche, in modo analogo a quanto avviene per le tabelle delle trasformate di Laplace. Tramite le tabelle si possono determinare le Z-trasformate di funzioni di maggior complessità, scomponendo tali funzioni in somme di funzioni più semplici e ricomponendo successivamente le corrispondenti Z-trasformate. Esempio: Determinare la Z-trasformata di ITSC Tabelle delle Z-Trasformate ITSC Pag. 12

13 Tabelle delle Z-Trasformate ITSC La Z-trasformata Dato un segnale x(t) e il periodo di campionamento T, si ottiene una unica X(z) A una X(z) possono corrispondere molte funzioni continue x(t) Questa ambiguità non sussiste se sono verificate le condizioni restrittive su T del teorema di Shannon , y1 y 0 1 x x x x x x t (s) ITSC Pag. 13

14 La Z-trasformata Teoremi e proprietà Linearità: La Z trasformata è un operatore lineare Moltiplicazione per a k : Siano X(z) la Z-trasformata di x(t) e a una costante. La Z-trasformata di a k x(k) è data da X(a -1 z): ITSC CS1 La Z-trasformata Teoremi e proprietà Teorema della traslazione nel tempo: Sia dato un segnale x(t), nullo per t<0, e sia X(z) = Z[x(t)]. Per n = 0, 1, 2, si ha che: ritardo anticipo In pratica spesso si scrive, con un certo abuso di notazione: ITSC Pag. 14

15 Diapositiva 28 CS1 Fare le dimostrazione del ritardo se c'è tempo. Ripassarla a pagina 26 del libro Cris; 21/12/2005

16 La Z-trasformata Teoremi e proprietà Teorema del valore iniziale: Se X(z) = Z[x(t)] ed esiste allora il valore iniziale x(0) di x(t) è dato da: Infatti si ha che: ITSC CS2 La Z-trasformata Teoremi e proprietà Teorema del valore finale: Sia X(z) = Z[x(t)] e siano tutti i poli di X(z) entro al cerchio unitario, con al più un polo semplice in z =1. Allora il valore finale di x(k), cioè il valore di x(k) per k è dato da: ITSC Pag. 15

17 Diapositiva 30 CS2 Se c'è tempo fare la dimostrazione (pagine 27-28) Cris; 21/12/2005

18 La Z-trasformata Teoremi e proprietà Esempio: Si consideri il segnale descritto da X(kT) = 0, , , , , , , , , , , , , , , , , ,. (T = 1 sec) ITSC La Z-trasformata Teoremi e proprietà Differenziazione complessa Da cui si deduce che: Questa relazione permette di calcolare Z-trasformate di funzioni a partire da Z-trasformate già note. ITSC Pag. 16

19 La Z-trasformata Teoremi e proprietà Esempio: Gradino unitario. La Z-trasformata del gradino unitario è Si può usare il teorema della differenziazione complessa per calcolare la Z-trasformata della rampa unitaria x(kt) = kt: ITSC La Z-trasformata Teoremi e proprietà Integrazione complessa: Si consideri la sequenza dove x(k)/k è finito per k=0 e sia Z[x(k)]=X(z). La Z-trasformata di x(k)/k è data da: ITSC Pag. 17

20 La Z-trasformata Teoremi e proprietà Teorema della convoluzione reale: Siano date due funzioni x 1 (t) e x 2 (t), con x 1 (t) = x 2 (t) = 0 per t< 0, e siano X 1 (z) e X 2 (z) le corrispondenti Z-trasformate. Allora: ITSC La antitrasformata Z X(z) x(k) La relazione tra X(z) e x(k) è biunivoca: è possibile ottenere la sequenza di dati x(k) a partire dalla X(z) e viceversa. L antitrasformata Z permette di passare da una Z-trasformata X(z) alla corrispondente sequenza x(k). Esistono diversi metodi per antitrasformare una funzione X(z) Metodo della lunga divisione Metodo computazionale Metodo della scomposizione in fratti semplici Metodo dell integrale di inversione ITSC Pag. 18

21 La antitrasformata Z x(k) x(t) La corrispondenza tra la sequenza campionata x k e il segnale originale x(t) NON è biunivoca. Se è soddisfatto il Teorema di Shannon sul campionamento, la funzione continua x(t) può essere determinata univocamente a partire dalla sequenza x k y0, y x x x x x x t (s) ITSC La antitrasformata Z Il metodo computazionale Si consideri ad esempio la seguente Z trasformata: Essa può essere riscritta come: Dove U(z) è la Z-trasformata t dell impulso l unitario i discreto e vale 1 ITSC Pag. 19

22 La antitrasformata Z Il metodo computazionale Considerando l operatore z -1 come un ritardo unitario possiamo riscrivere l espressione precedente sotto forma di equazione alle differenze: da cui Le condizioni iniziali, necessarie per risolvere l equazione alle differenze, sono: ITSC La antitrasformata Z Il metodo computazionale La soluzione dell equazione alle differenze ci dà i termini della sequenza x(kt) Si ottengono gli stessi risultati ti numerici i ottenuti ti con il metodo della lunga divisione. Il vantaggio di questo metodo è che l equazione alle differenze da risolvere per trovare la sequenze può essere facilmente scritta in forma ricorsiva in qualsiasi linguaggio di programmazione. ITSC Pag. 20

23 La antitrasformata Z fratti semplici E l analogo nel discreto della tecnica della scomposizione in fratti semplici utilizzate con le trasformate di Laplace. Infatti, poichè la Z-trasformata è un operatore lineare, è possibile scomporre l'espressione di una X(z) in termini elementari, dai quali si può ricavare l'antitrasformata tramite tabelle, e sommare i vari elementi così ottenuti. In gerale, sia data una Z-trasformata: Per prima cosa occorre calcolare i poli, le radici del polinomio A(z) e riscrivere X(z) come: ITSC La antitrasformata Z fratti semplici CASO 1: Tutti i poli di X(z) sono semplici In questo caso si pone: dove i coefficienti c i sono detti residui e sono dati da: ITSC Pag. 21

24 La antitrasformata Z fratti semplici Se in X(z) vi è almeno uno zero nell origine, si usa X(z)/z: Quando sono presenti poli complessi coniugati, i coefficienti c i sono anch'essi complessi. In questo caso si ricorre alle formule di Eulero per ottenere funzioni trigonometriche a coefficienti reali. L espressione della sequenza x(k) è in forma chiusa ed è data da: ITSC La antitrasformata Z fratti semplici CASO 2 Vi sono poli multipli in X(z) o in X(z)/z Siamo nella situazione in cui si ha: Possiamo scrivere Dove i residui si calcolano mediante la seguente formula: ITSC Pag. 22

25 La antitrasformata Z fratti semplici Esempio: Calcolare l'antitrasformata della funzione I due poli risultano z 1 = 1 e z 2 = 0.6. Inoltre, la X(z) puo` essere scritta come Si utilizza quindi la X(z)/z da cui Dalle tabelle si ha quindi che ITSC La antitrasformata Z fratti semplici Esempio: Antitrasformare la funzione Si ha che e quindi e ITSC Pag. 23

26 INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica STRUMENTI MATEMATICI PER L ANALISI DEI SISTEMI DISCRETI Ing. Tel Pag. 24

Cristian Secchi Pag. 1

Cristian Secchi Pag. 1 CONTROLLI DIGITALI Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica SISTEMI A TEMPO DISCRETO Ing. Tel. 0522 522235 e-mail: cristian.secchi@unimore.it http://www.dismi.unimo.it/members/csecchi Richiami di Controlli

Dettagli

Cristian Secchi Pag. 1

Cristian Secchi Pag. 1 INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica STRUMENTI MATEMATICI PER L ANALISI DEI SISTEMI DISCRETI Ing. Tel. 0522 522235 e-mail: secchi.cristian@unimore.it

Dettagli

STRUMENTI MATEMATICI PER L ANALISI DEI SISTEMI DISCRETI

STRUMENTI MATEMATICI PER L ANALISI DEI SISTEMI DISCRETI INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica STRUMENTI MATEMATICI PER L ANALISI L DEI SISTEMI DISCRETI Ing. Cristian Secchi Tel. 0522 522235 e-mail:

Dettagli

SISTEMI DIGITALI DI CONTROLLO

SISTEMI DIGITALI DI CONTROLLO Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 1/45 SISTEMI DIGITALI DI CONTROLLO Prof. Alessandro De Luca DIS, Università di Roma La Sapienza deluca@dis.uniroma1.it Lucidi tratti dal libro C. Bonivento,

Dettagli

Controlli Automatici T. Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento. Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010. Prof. L.

Controlli Automatici T. Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento. Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010. Prof. L. Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010 Parte 3, 1 Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento Prof. Lorenzo Marconi DEIS-Università di Bologna Tel. 051 2093788 Email: lmarconi@deis.unibo.it URL:

Dettagli

La trasformata Zeta. Marco Marcon

La trasformata Zeta. Marco Marcon La trasformata Zeta Marco Marcon ENS Trasformata zeta E l estensione nel caso discreto della trasformata di Laplace. Applicata all analisi dei sistemi LTI permette di scrivere in modo diretto la relazione

Dettagli

Trasformate di Laplace

Trasformate di Laplace TdL 1 TdL 2 Trasformate di Laplace La trasformata di Laplace e un OPERATORE funzionale Importanza dei modelli dinamici Risolvere equazioni differenziali (lineari a coefficienti costanti) Tempo t Dominio

Dettagli

2.5 Stabilità dei sistemi dinamici 20. - funzioni di trasferimento, nella variabile di Laplace s, razionali fratte del tipo:

2.5 Stabilità dei sistemi dinamici 20. - funzioni di trasferimento, nella variabile di Laplace s, razionali fratte del tipo: .5 Stabilità dei sistemi dinamici 9 Risulta: 3 ( s(s + 4).5 Stabilità dei sistemi dinamici Si è visto come un sistema fisico può essere descritto tramite equazioni differenziali o attraverso una funzione

Dettagli

SISTEMI A TEMPO DISCRETO

SISTEMI A TEMPO DISCRETO CONTROLLI DIGITALI Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica SISTEMI A TEMPO DISCRETO Ing. Tel. 0522 522235 e-mail: cristian.secchi@unimore.it http://www.dismi.unimo.it/members/csecchi Richiami di Controlli

Dettagli

Fondamenti di Automatica

Fondamenti di Automatica Fondamenti di Automatica Risposte canoniche e sistemi elementari Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. 1

Dettagli

Come visto precedentemente l equazione integro differenziale rappresentativa dell equilibrio elettrico di un circuito RLC è la seguente: 1 = (1)

Come visto precedentemente l equazione integro differenziale rappresentativa dell equilibrio elettrico di un circuito RLC è la seguente: 1 = (1) Transitori Analisi nel dominio del tempo Ricordiamo che si definisce transitorio il periodo di tempo che intercorre nel passaggio, di un sistema, da uno stato energetico ad un altro, non è comunque sempre

Dettagli

Elettronica e Telecomunicazioni Classe Quinta. La trasformata di Laplace

Elettronica e Telecomunicazioni Classe Quinta. La trasformata di Laplace Elettronica e Telecomunicazioni Classe Quinta La trasformata di Laplace ELETTRONICA E TELECOMUNICAZIONI CLASSE QUINTA A INFORMATICA INDICE Segnali canonici Trasformata di Laplace Teoremi sulla trasformata

Dettagli

Fondamenti di Automatica. Unità 2 Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI

Fondamenti di Automatica. Unità 2 Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI Fondamenti di Automatica Unità 2 Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI Soluzione delle equazioni di stato per sistemi dinamici LTI a tempo continuo

Dettagli

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6 EQUAZIONI DIFFERENZIALI.. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x log t (d) x = e t x log x (e) y = y 5y+6 (f) y = ty +t t +y (g) y = y (h) xy = y (i) y y y = 0 (j) x = x (k)

Dettagli

SPECIFICHE DI PROGETTO DI SISTEMI DI CONTROLLO

SPECIFICHE DI PROGETTO DI SISTEMI DI CONTROLLO INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica SPECIFICHE DI PROGETTO DI SISTEMI DI CONTROLLO Ing. Cristian Secchi Tel. 0522 522235 e-mail: secchi.cristian@unimore.it

Dettagli

Segnali e Sistemi. Dispensa integrativa per l insegnamento di Elementi di Controlli Automatici. Gianni Borghesan e Giovanni Marro

Segnali e Sistemi. Dispensa integrativa per l insegnamento di Elementi di Controlli Automatici. Gianni Borghesan e Giovanni Marro Segnali e Sistemi Dispensa integrativa per l insegnamento di Elementi di Controlli Automatici Gianni Borghesan e Giovanni Marro Indice Introduzione 2. Notazione............................. 2 2 Classificazione

Dettagli

6. Trasformate e Funzioni di Trasferimento

6. Trasformate e Funzioni di Trasferimento 6. Trasformate e Funzioni di Trasferimento 6.3 Richiami sulla Trasformata di Laplace Definizione La trasformata di Laplace di f(t) è la funzione di variabile complessa s C, (s = σ + jω), F (s) = e st f(t)dt

Dettagli

Prova scritta di Controlli Automatici - Compito A

Prova scritta di Controlli Automatici - Compito A Prova scritta di Controlli Automatici - Compito A 21 Marzo 27 Domande a Risposta Multipla Per ognuna delle seguenti domande a risposta multipla, indicare quali sono le affermazioni vere. 1. Si consideri

Dettagli

Catene di Misura. Corso di Misure Elettriche http://sms.unipv.it/misure/

Catene di Misura. Corso di Misure Elettriche http://sms.unipv.it/misure/ Catene di Misura Corso di Misure Elettriche http://sms.unipv.it/misure/ Piero Malcovati Dipartimento di Ingegneria Industriale e dell Informazione Università di Pavia piero.malcovati@unipv.it Piero Malcovati

Dettagli

Matematica generale CTF

Matematica generale CTF Equazioni differenziali 9 dicembre 2015 Si chiamano equazioni differenziali quelle equazioni le cui incognite non sono variabili reali ma funzioni di una o più variabili. Le equazioni differenziali possono

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................

Dettagli

Sistemi LSTD: rappresentazione esplicita

Sistemi LSTD: rappresentazione esplicita Trasformata Zeta Outline Sistemi LSTD: rappresentazione esplicita x(k+1) = Ax(k)+Bu(k), x R n, u R m, k Z y(k) = Cx(k)+Du(k), y R p x R n : vettore delle variabili di stato; u R m : vettore dei segnali

Dettagli

Elettronica II Proprietà e applicazioni della trasformata di Fourier; impedenza complessa; risposta in frequenza p. 2

Elettronica II Proprietà e applicazioni della trasformata di Fourier; impedenza complessa; risposta in frequenza p. 2 Elettronica II Proprietà e applicazioni della trasformata di Fourier; impedenza complessa; risposta in frequenza Valentino Liberali Dipartimento di Tecnologie dell Informazione Università di Milano, 26013

Dettagli

Strumenti matematici per l analisi dei sistemi tempo discreto LT-Cap. 2

Strumenti matematici per l analisi dei sistemi tempo discreto LT-Cap. 2 Controllo Digitale a.a. 2007-2008 Strumenti matematici per l analisi dei sistemi tempo discreto LT-Cap. 2 Ing. Federica Pascucci Equazioni alle differenze (ricorsive) f legame tra le sequenze {e k } ed

Dettagli

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di Esercizi svolti. Si consideri la funzione f() 4. a) Verificare che la funzione F() 4 + arcsin è una primitiva di f() sull intervallo (, ). b) Verificare che la funzione G() 4 + arcsin π è la primitiva

Dettagli

Richiami: funzione di trasferimento e risposta al gradino

Richiami: funzione di trasferimento e risposta al gradino Richiami: funzione di trasferimento e risposta al gradino 1 Funzione di trasferimento La funzione di trasferimento di un sistema lineare è il rapporto di due polinomi della variabile complessa s. Essa

Dettagli

Matematica generale CTF

Matematica generale CTF Successioni numeriche 19 agosto 2015 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Definizione

Dettagli

Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli. 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti.

Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli. 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Def. Si dice equazione differenziale lineare del secondo ordine

Dettagli

Istituto d Istruzione Secondaria Superiore M.BARTOLO. A cura del Prof S. Giannitto

Istituto d Istruzione Secondaria Superiore M.BARTOLO. A cura del Prof S. Giannitto Istituto d Istruzione Secondaria Superiore M.BATOLO PACHINO (S) APPUNTI DI SISTEMI AUTOMATICI 3 ANNO MODELLIZZAZIONE A cura del Prof S. Giannitto MODELLI MATEMATICI di SISTEMI ELEMENTAI LINEAI, L, C ivediamo

Dettagli

Le equazioni. Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete.

Le equazioni. Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete. Le equazioni Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete. Definizione e caratteristiche Chiamiamo equazione l uguaglianza tra due espressioni algebriche,

Dettagli

Equazioni alle differenze finite (cenni).

Equazioni alle differenze finite (cenni). AL 011. Equazioni alle differenze finite (cenni). Sia a n } n IN una successione di numeri reali. (Qui usiamo la convenzione IN = 0, 1,,...}). Diremo che è una successione ricorsiva o definita per ricorrenza

Dettagli

ESERCITAZIONE (7-11-13) Ing. Stefano Botelli

ESERCITAZIONE (7-11-13) Ing. Stefano Botelli FONDAMENTI di AUTOMATICA ESERCITAZIONE (7-11-13) Ing. Stefano Botelli NB in presenza di matrici 3x3 bisogna intuire che esiste un metodo risolutivo particolare perchè non verrà mai richiesto a lezione

Dettagli

Politecnico di Milano. Fondamenti di Automatica (CL Ing. Gestionale) a.a.2014-15 Prof. Silvia Strada Prima prova intermedia 28 Novembre 2014 SOLUZIONE

Politecnico di Milano. Fondamenti di Automatica (CL Ing. Gestionale) a.a.2014-15 Prof. Silvia Strada Prima prova intermedia 28 Novembre 2014 SOLUZIONE Politecnico di Milano Fondamenti di Automatica (CL Ing. Gestionale) a.a.014-15 Prof. Silvia Strada Prima prova intermedia 8 Novembre 014 SOLUZIONE ESERCIZIO 1 punti: 8 su 3 Si consideri il sistema dinamico

Dettagli

Consideriamo due polinomi

Consideriamo due polinomi Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al

Dettagli

LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO Può essere espressa sia nel dominio della s che nel dominio della j Definizione nel dominio della s. è riferita ai soli sistemi con un ingresso ed un uscita 2. ha per oggetto

Dettagli

Prova scritta di Controlli Automatici

Prova scritta di Controlli Automatici Prova scritta di Controlli Automatici Corso di Laurea in Ingegneria Meccatronica, AA 2011 2012 10 Settembre 2012 Domande a Risposta Multipla Per ognuna delle seguenti domande a risposta multipla, indicare

Dettagli

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1 Le funzioni continue A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. -3 A. Pisani, appunti di Matematica 1 Nota bene Questi appunti sono da intendere come guida allo studio e come riassunto di quanto illustrato

Dettagli

Capitolo. La funzione di trasferimento. 2.1 Funzione di trasferimento di un sistema. 2.2 L-trasformazione dei componenti R - L - C

Capitolo. La funzione di trasferimento. 2.1 Funzione di trasferimento di un sistema. 2.2 L-trasformazione dei componenti R - L - C Capitolo La funzione di trasferimento. Funzione di trasferimento di un sistema.. L-trasformazione dei componenti R - L - C. Determinazione delle f.d.t. di circuiti elettrici..3 Risposta al gradino . Funzione

Dettagli

Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica

Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esercitazione su massimi e minimi vincolati 9 dicembre 005 Esercizio 1. Considerare l insieme C = {(x,y) R : (x + y ) = x } e dire se è una curva

Dettagli

CAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI

CAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI CAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI Abbiamo studiato successioni e serie numeriche, ora vogliamo studiare successioni e serie di funzioni. Dato un insieme A R, chiamiamo successione di funzioni

Dettagli

SERIE NUMERICHE. prof. Antonio Greco 6-11-2013

SERIE NUMERICHE. prof. Antonio Greco 6-11-2013 SERIE NUMERICHE prof. Antonio Greco 6--203 Indice Motivazioni........... 3 Definizione........... 3 Errore tipico........... 3 Un osservazione utile...... 3 Condizione necessaria...... 4 Serie armonica.........

Dettagli

CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE

CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE Il limite di una funzione è uno dei concetti fondamentali dell'analisi matematica. Tramite questo concetto viene formalizzata la nozione di funzione continua e

Dettagli

u 1 u k che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u k

u 1 u k che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u k Capitolo 4 Serie numeriche 4. Serie convergenti, divergenti, indeterminate Data una successione di numeri reali si chiama serie ad essa relativa il simbolo u +... + u +... u, u 2,..., u,..., (4.) oppure

Dettagli

ESTRAZIONE DI RADICE

ESTRAZIONE DI RADICE ESTRAZIONE DI RADICE La radice è l operazione inversa dell elevamento a potenza. L esponente della potenza è l indice della radice che può essere: quadrata (); cubica (); quarta (4); ecc. La base della

Dettagli

Analisi Matematica di circuiti elettrici

Analisi Matematica di circuiti elettrici Analisi Matematica di circuiti elettrici Eserciziario A cura del Prof. Marco Chirizzi 2011/2012 Cap.5 Numeri complessi 5.1 Definizione di numero complesso Si definisce numero complesso un numero scritto

Dettagli

INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI

INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI INTRODUZIONE AGLI ALGORITMI Prima di riuscire a scrivere un programma, abbiamo bisogno di conoscere un metodo risolutivo, cioè un metodo che a partire dai dati di ingresso fornisce i risultati attesi.

Dettagli

Anno 3. Funzioni: dominio, codominio e campo di esistenza

Anno 3. Funzioni: dominio, codominio e campo di esistenza Anno 3 Funzioni: dominio, codominio e campo di esistenza 1 Introduzione In questa lezione parleremo delle funzioni. Ne daremo una definizione e impareremo a studiarne il dominio in relazione alle diverse

Dettagli

Il simbolo. è è = = = In simboli: Sia un numero naturale diverso da zero, il radicale. Il radicale. esiste. esiste 0 Il radicale

Il simbolo. è è = = = In simboli: Sia un numero naturale diverso da zero, il radicale. Il radicale. esiste. esiste 0 Il radicale Radicali 1. Radice n-esima Terminologia Il simbolo è detto radicale. Il numero è detto radicando. Il numero è detto indice del radicale. Il numero è detto coefficiente del radicale. Definizione Sia un

Dettagli

Nome: Nr. Mat. Firma:

Nome: Nr. Mat. Firma: Fondamenti di Controlli Automatici - A.A. 7/8 4 Dicembre 7 - Esercizi Compito A Nr. Nome: Nr. Mat. Firma: a) Determinare la trasformata di Laplace X i (s) dei seguenti segnali temporali x i (t): x (t)

Dettagli

COMPITO DI SEGNALI E SISTEMI 18 Dicembre 2004

COMPITO DI SEGNALI E SISTEMI 18 Dicembre 2004 COMPIO DI SEGNALI E SISEMI 8 Dicembre 4 Esercizio Si consideri il modello di stato a tempo discreto descritto dalle seguenti equazioni: x(k + = Ax(k + Bu(k = x(k + u(k, v(k = Cx(k = [ ] x(k, k Z + i Si

Dettagli

31/10/2012. Lo studio delle funzioni permette di interpretare la variazione di due grandezze, l una rispetto l altra, quando

31/10/2012. Lo studio delle funzioni permette di interpretare la variazione di due grandezze, l una rispetto l altra, quando FUNZIONI MATEMATICHE Introduzione Lo studio delle funzioni permette di interpretare la variazione di due grandezze, l una rispetto l altra, quando tra le due esiste un legame di tipo matematico. La teoria

Dettagli

Transitori del primo ordine

Transitori del primo ordine Università di Ferrara Corso di Elettrotecnica Transitori del primo ordine Si consideri il circuito in figura, composto da un generatore ideale di tensione, una resistenza ed una capacità. I tre bipoli

Dettagli

( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali

( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali Equazioni irrazionali Definizione: si definisce equazione irrazionale un equazione in cui compaiono uno o più radicali contenenti l incognita. Esempio 7 Ricordiamo quanto visto sulle condizioni di esistenza

Dettagli

1 Serie di Taylor di una funzione

1 Serie di Taylor di una funzione Analisi Matematica 2 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 7 SERIE E POLINOMI DI TAYLOR Serie di Taylor di una funzione. Definizione di serie di Taylor Sia f(x) una funzione definita

Dettagli

Fondamenti di Automatica

Fondamenti di Automatica Fondamenti di Automatica Analisi dei sistemi dinamici Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. 1 Analisi dei

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA BANCARIA FINANZIARIA ED ASSICURATIVA (Classe 7) Corso di Matematica per l Economia (Prof. F. Eugeni) TEST DI INGRESSO Teramo, ottobre 00 SEZIONE

Dettagli

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26 Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo

Dettagli

1. Distribuzioni campionarie

1. Distribuzioni campionarie Università degli Studi di Basilicata Facoltà di Economia Corso di Laurea in Economia Aziendale - a.a. 2012/2013 lezioni di statistica del 3 e 6 giugno 2013 - di Massimo Cristallo - 1. Distribuzioni campionarie

Dettagli

Derivate Limiti e funzioni continue

Derivate Limiti e funzioni continue Derivate Limiti e funzioni continue Se il valore di una funzione f() si avvicina al valore l quando si avvicina ad 0 diciamo che f() ha come ite l per tendente ad 0. Noi per rappresentare questo fatto

Dettagli

analisi di sistemi retroazionati (2)

analisi di sistemi retroazionati (2) : analisi di sistemi retroazionati (2) Marco Lovera Dipartimento di Elettronica e Informazione Politecnico di Milano lovera@elet.polimi.it Indice Piccolo guadagno Stabilita ingresso-uscita Guadagno L 2

Dettagli

Funzioni di trasferimento. Lezione 14 2

Funzioni di trasferimento. Lezione 14 2 Lezione 14 1 Funzioni di trasferimento Lezione 14 2 Introduzione Lezione 14 3 Cosa c è nell Unità 4 In questa sezione si affronteranno: Introduzione Uso dei decibel e delle scale logaritmiche Diagrammi

Dettagli

I appello - 24 Marzo 2006

I appello - 24 Marzo 2006 Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. Energetica e Gestionale A.A.2005/2006 I appello - 24 Marzo 2006 Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. I.) Studiare la convergenza puntuale,

Dettagli

Numeri Complessi R 2. P = (x P,y P ) x P. z = (x,y) y P (0,0)

Numeri Complessi R 2. P = (x P,y P ) x P. z = (x,y) y P (0,0) Numeri Complessi Un numero complesso z può essere definito come una coppia ordinata (x,y) di numeri reali x e y. L insieme dei numeri complessi è denotato con C e può essere identificato con il piano cartesiano

Dettagli

Serie numeriche e serie di potenze

Serie numeriche e serie di potenze Serie numeriche e serie di potenze Sommare un numero finito di numeri reali è senza dubbio un operazione che non può riservare molte sorprese Cosa succede però se ne sommiamo un numero infinito? Prima

Dettagli

Processo di risoluzione di un problema ingegneristico. Processo di risoluzione di un problema ingegneristico

Processo di risoluzione di un problema ingegneristico. Processo di risoluzione di un problema ingegneristico Processo di risoluzione di un problema ingegneristico 1. Capire l essenza del problema. 2. Raccogliere le informazioni disponibili. Alcune potrebbero essere disponibili in un secondo momento. 3. Determinare

Dettagli

La funzione di trasferimento

La funzione di trasferimento Sommario La funzione di trasferimento La funzione di trasferimento Poli e zeri della funzione di trasferimento I sistemi del primo ordine Esempi La risposta a sollecitazioni La funzione di trasferimento

Dettagli

Complementi di Analisi per Informatica *** Capitolo 2. Numeri Complessi. e Circuiti Elettrici. a Corrente Alternata. Sergio Benenti 7 settembre 2013

Complementi di Analisi per Informatica *** Capitolo 2. Numeri Complessi. e Circuiti Elettrici. a Corrente Alternata. Sergio Benenti 7 settembre 2013 Complementi di Analisi per nformatica *** Capitolo 2 Numeri Complessi e Circuiti Elettrici a Corrente Alternata Sergio Benenti 7 settembre 2013? ndice 2 Circuiti elettrici a corrente alternata 1 21 Circuito

Dettagli

Analisi Mat. 1 - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 23-3-06

Analisi Mat. 1 - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 23-3-06 Analisi Mat. - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 3-3-6 Sia p il polinomio di quarto grado definito da pz = z 4. Sia S il settore circolare formato dai numeri complessi che hanno modulo minore o

Dettagli

Fasi di creazione di un programma

Fasi di creazione di un programma Fasi di creazione di un programma 1. Studio Preliminare 2. Analisi del Sistema 6. Manutenzione e Test 3. Progettazione 5. Implementazione 4. Sviluppo 41 Sviluppo di programmi Per la costruzione di un programma

Dettagli

MATLAB. Caratteristiche. Dati. Esempio di programma MATLAB. a = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; b = [1 2 3] ; c = a*b; c

MATLAB. Caratteristiche. Dati. Esempio di programma MATLAB. a = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; b = [1 2 3] ; c = a*b; c Caratteristiche MATLAB Linguaggio di programmazione orientato all elaborazione di matrici (MATLAB=MATrix LABoratory) Le variabili sono matrici (una variabile scalare equivale ad una matrice di dimensione

Dettagli

Quando troncare uno sviluppo in serie di Taylor

Quando troncare uno sviluppo in serie di Taylor Quando troncare uno sviluppo in serie di Taylor Marco Robutti October 13, 2014 Lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione è uno strumento matematico davvero molto utile, e viene spesso utilizzato in

Dettagli

Schemi delle Lezioni di Matematica Generale. Pierpaolo Montana

Schemi delle Lezioni di Matematica Generale. Pierpaolo Montana Schemi delle Lezioni di Matematica Generale Pierpaolo Montana A volte i fenomeni economici che ci interessano non variano con continuitá oppure non possono essere osservati con continuitá, ma solo a intervalli

Dettagli

I NUMERI DECIMALI. che cosa sono, come si rappresentano

I NUMERI DECIMALI. che cosa sono, come si rappresentano I NUMERI DECIMALI che cosa sono, come si rappresentano NUMERI NATURALI per contare bastano i numeri naturali N i numeri naturali cominciano con il numero uno e vanno avanti con la regola del +1 fino all

Dettagli

Fondamenti di Automatica

Fondamenti di Automatica Fondamenti di Automatica Analisi armonica e metodi grafici Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 053 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. Analisi

Dettagli

Fondamenti di Automatica

Fondamenti di Automatica Fondamenti di Automatica Funzioni di trasferimento Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. 1 Funzioni di trasferimento

Dettagli

STUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE STUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE Quando si studia una funzione! " #$%&' (funzione reale di variabile reale) è fondamentale conoscere il segno, in altre parole sapere per quali valori di &( #$%&'$è positiva,

Dettagli

Rappresentazione nello spazio degli stati

Rappresentazione nello spazio degli stati Chapter 1 Rappresentazione nello spazio degli stati La modellazione di un sistema lineare di ordine n, fornisce un insieme di equazioni differenziali che una volta trasformate nel dominio discreto, possono

Dettagli

Fondamenti di Automatica

Fondamenti di Automatica Fondamenti di Automatica Funzioni di trasferimento: stabilità, errore a regime e luogo delle radici Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail:

Dettagli

~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~ http://ripetizionando.wordpress.com STUDIO DI FUNZIONE

~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~ http://ripetizionando.wordpress.com STUDIO DI FUNZIONE STUDIO DI FUNZIONE Passaggi fondamentali Per effettuare uno studio di funzione completo, che non lascia quindi margine a una quasi sicuramente errata inventiva, sono necessari i seguenti 7 passaggi: 1.

Dettagli

La funzione di risposta armonica

La funzione di risposta armonica 0.0. 3.1 1 La funzione di risposta armonica Se ad un sistema lineare stazionario asintoticamente stabile si applica in ingresso un segnale sinusoidale x(t) = sen ωt di pulsazione ω: x(t) = sin ωt (s) =

Dettagli

Nome: Nr. Mat. Firma:

Nome: Nr. Mat. Firma: Controlli Automatici - A.A. 1/11 Ingegneria Gestionale 13 Settembre 11 - Esercizi Nome: Nr. Mat. Firma: Rispondere alle seguenti domande. a) Calcolare la trasformata di Laplace X(s) dei seguenti segnali

Dettagli

Corso di Calcolo Numerico

Corso di Calcolo Numerico Corso di Calcolo Numerico Dott.ssa M.C. De Bonis Università degli Studi della Basilicata, Potenza Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Sistemi di Numerazione Sistema decimale La

Dettagli

Analisi dei sistemi di controllo a segnali campionati

Analisi dei sistemi di controllo a segnali campionati Analisi dei sistemi di controllo a segnali campionati Sistemi di controllo (già analizzati) Tempo continuo (trasformata di Laplace / analisi in frequenza) C(s) controllore analogico impianto attuatori

Dettagli

risulta (x) = 1 se x < 0.

risulta (x) = 1 se x < 0. Questo file si pone come obiettivo quello di mostrarvi come lo studio di una funzione reale di una variabile reale, nella cui espressione compare un qualche valore assoluto, possa essere svolto senza necessariamente

Dettagli

Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche. Analisi dei segnali A.A. 2008-09.

Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche. Analisi dei segnali A.A. 2008-09. Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Analisi dei segnali A.A. 2008-09 Alberto Perotti DELEN-DAUIN Segnali continui e discreti Un segnale tempo-continuo è

Dettagli

ALGEBRA DELLE PROPOSIZIONI

ALGEBRA DELLE PROPOSIZIONI Università di Salerno Fondamenti di Informatica Corso di Laurea Ingegneria Corso B Docente: Ing. Giovanni Secondulfo Anno Accademico 2010-2011 ALGEBRA DELLE PROPOSIZIONI Fondamenti di Informatica Algebra

Dettagli

Logica Numerica Approfondimento 1. Minimo Comune Multiplo e Massimo Comun Divisore. Il concetto di multiplo e di divisore. Il Minimo Comune Multiplo

Logica Numerica Approfondimento 1. Minimo Comune Multiplo e Massimo Comun Divisore. Il concetto di multiplo e di divisore. Il Minimo Comune Multiplo Logica Numerica Approfondimento E. Barbuto Minimo Comune Multiplo e Massimo Comun Divisore Il concetto di multiplo e di divisore Considerato un numero intero n, se esso viene moltiplicato per un numero

Dettagli

Esempi di funzione. Scheda Tre

Esempi di funzione. Scheda Tre Scheda Tre Funzioni Consideriamo una legge f che associa ad un elemento di un insieme X al più un elemento di un insieme Y; diciamo che f è una funzione, X è l insieme di partenza e X l insieme di arrivo.

Dettagli

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre

Dettagli

Dimensione di uno Spazio vettoriale

Dimensione di uno Spazio vettoriale Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione

Dettagli

Funzioni. Parte prima. Daniele Serra

Funzioni. Parte prima. Daniele Serra Funzioni Parte prima Daniele Serra Nota: questi appunti non sostituiscono in alcun modo le lezioni del prof. Favilli, né alcun libro di testo. Sono piuttosto da intendersi a integrazione di entrambi. 1

Dettagli

Relazioni statistiche: regressione e correlazione

Relazioni statistiche: regressione e correlazione Relazioni statistiche: regressione e correlazione È detto studio della connessione lo studio si occupa della ricerca di relazioni fra due variabili statistiche o fra una mutabile e una variabile statistica

Dettagli

4 3 4 = 4 x 10 2 + 3 x 10 1 + 4 x 10 0 aaa 10 2 10 1 10 0

4 3 4 = 4 x 10 2 + 3 x 10 1 + 4 x 10 0 aaa 10 2 10 1 10 0 Rappresentazione dei numeri I numeri che siamo abituati ad utilizzare sono espressi utilizzando il sistema di numerazione decimale, che si chiama così perché utilizza 0 cifre (0,,2,3,4,5,6,7,8,9). Si dice

Dettagli

METODI MATEMATICI PER LA FISICA

METODI MATEMATICI PER LA FISICA Si svolgano cortesemente i seguenti esercizi ESERCIZIO (6 PUNTI) METODI MATEMATICI PER LA FISICA PROVA SCRITTA - 2 GENNAIO 25 Una volta identificato, nel piano complesso α, il dominio di convergenza della

Dettagli

Una definizione di stabilità più completa di quella precedentemente introdotta fa riferimento ad una sollecitazione impulsiva.

Una definizione di stabilità più completa di quella precedentemente introdotta fa riferimento ad una sollecitazione impulsiva. 2. Stabilità Uno dei requisiti più importanti richiesti ad un sistema di controllo è la stabilità, ossia la capacita del. sistema di raggiungere un stato di equilibrio dopo la fase di regolazione. Per

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Francesco Bottacin Padova, 24 febbraio 2012 Capitolo 1 Algebra Lineare 1.1 Spazi e sottospazi vettoriali Esercizio 1.1. Sia U il sottospazio di R 4 generato dai

Dettagli

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni.

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni. MATEMATICA. Sistemi lineari in due equazioni due incognite. Date due equazioni lineari nelle due incognite x, y come ad esempio { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un

Dettagli

Corrispondenze e funzioni

Corrispondenze e funzioni Corrispondenze e funzioni L attività fondamentale della mente umana consiste nello stabilire corrispondenze e relazioni tra oggetti; è anche per questo motivo che il concetto di corrispondenza è uno dei

Dettagli

Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08. Alberto Perotti, Roberto Garello

Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08. Alberto Perotti, Roberto Garello Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08 Alberto Perotti, Roberto Garello DELEN-DAUIN Processi casuali Sono modelli probabilistici

Dettagli