I NUMERI DECIMALI. che cosa sono, come si rappresentano

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1 I NUMERI DECIMALI che cosa sono, come si rappresentano

2 NUMERI NATURALI per contare bastano i numeri naturali N i numeri naturali cominciano con il numero uno e vanno avanti con la regola del +1 fino all infinito i numeri naturali si possono rappresentare sulla retta dei numeri

3 LA RETTA DEI NUMERI La retta dei numeri è un oggetto matematico che viene introdotto molto presto nella scuola primaria per rappresentare l ordine dei numeri naturali e per fornire un supporto nel calcolo di addizioni e sottrazioni con numeri entro il 20. Viene anche esplicitamente richiamato nelle Nuove Indicazioni per il curriculum come strumento per rappresentare sia i numeri interi (positivi e negativi) sia i numeri decimali.

4 LA RETTA DEI NUMERI I punti della retta possono essere messi in corrispondenza con diversi insiemi numerici Ma come si costruisce la retta dei numeri? si traccia una retta e si suddivide in tacche equidistanti che si fanno corrispondere ai numeri naturali la distanza delle tacche dipende dall unità di misura scelta ogni numero rappresenta quindi una misura per poter rappresentare la misura 1 occorre partire dallo 0

5 NON SOLO NUMERI NATURALI NUMERI NEGATIVI NUMERI NATURALI FRAZIONI

6 NUMERI INTERI per fare dei bilanci occorrono i numeri positivi e negativi Z. lo 0 separa i numeri interi positivi da quelli negativi i numeri interi sono un ampliamento dei numeri naturali necessario per poter trovare un risultato per sottrazioni come 3-5 =? queste sottrazioni non si possono risolvere nell insieme dei naturali Gli insiemi N e Z sono detti insiemi discreti perché all interno del loro ordinamento ogni elemento ha un suo successivo.

7 NUMERI RAZIONALI Per misurare occorrono i numeri razionali Q cioè numeri rappresentabili con frazioni di un unità di misura. Q è un insieme denso cioè all interno del suo ordinamento non è possibile stabilire qual è il successivo di un qualsiasi suo elemento. con i numeri razionali non si può ricoprire tutta la retta Q infatti è un insieme denso ma non continuo

8 NUMERI IRRAZIONALI Per arrivare alla continuità occorre introdurre i numeri irrazionali, come radice di 2, che vanno a riempire i buchi tra due numeri razionali distinti sono compresi infiniti numeri irrazionali

9 I NUMERI REALI l insieme dei numeri reali R, formato da numeri razionali Q (le frazioni che danno origine a numeri decimali finiti o periodici) numeri irrazionali J (es. radice quadrata di 2, numeri decimali non periodici es. pi greco) è un insieme continuo.

10 LA RETTA CONTINUA Se prendiamo la retta possiamo stabilire una corrispondenza biunivoca fra i suoi punti e i numeri reali, per cui ad ogni numero reale corrisponde un punto della retta e viceversa. La retta dei numeri è quindi la rappresentazione grafica dei numeri reali.

11 LA RETTA NEI GRAFICI CARTESIANI i due assi X e Y sono due rette numeriche che rappresentano ognuna l insieme dei numeri reali su ogni asse viene rappresentata una grandezza, con la sua unità di misura ad ogni punto dell asse X corrisponde un punto sull asse Y si conducono le parallele agli assi a partire da X e Y e queste si incontrano in un punto del piano cartesiano questi punti rappresentano la relazione tra x e y e sono una coppia di numeri reali (le coordinate)

12 PERCHÈ INSEGNARE LA RETTA? modello dei naturali molto forte perché legato a pratiche del contare diventa un ostacolo per la comprensione dei numeri decimali l uso della retta può aiutare ad integrare i due mondi offrendo dei pivot cognitivi che aiutano superare l ostacolo, sbloccano una situazione avere un idea discreta della retta può diventare un ostacolo per comprendere concetti matematici basilari negli ordini scolastici successivi è un sapere che ha un futuro perchè verrà riutilizzato

13 TORNIAMO AI NUMERI RAZIONALI... Ho una fettuccia lunga 2 metri da dividere in 3 parti uguali. Come rappresento con un numero questa lunghezza? Costruisco l'insieme dei razionali come ampliamento dei naturali. I numeri razionali sono il rapporto tra due numeri interi: le frazioni 3/5, 4/3, 8/2 sono numeri razionali. Il denominatore deve essere diverso da 0.

14 COME SI RAPPRESENTANO I NUMERI RAZIONALI I razionali si possono rappresentare in due modi con le frazioni e con i numeri decimali. Due frazioni diverse possono rappresentare lo stesso numero razionale: 2/4 e 8/16 sono lo stesso numero, sono frazioni equivalenti (proprietà invariantiva della divisione, riduzione di una frazione ai minimi termini). I decimali possono essere di due tipi: illimitati periodici o limitati.

15 LE FRAZIONI GENERATRICI frazioni generatrici di numeri decimali limitati: 5/ / /25... (il denominatore ha come fattori 2 o 5 o entrambi) frazioni generatrici di numeri decimali illimitati periodici: 2/3 (il denominatore non ha come fattori nè 2 nè 5 = periodico semplice) 7/22 (il denominatore contiene come fattori 2 o 5 e altri fattori = periodico misto)

16 DAL DECIMALE ALLA FRAZIONE come si passa dal decimale alla frazione generatrice? numero decimale limitato 6,7 = 67/10 (numero senza virgola/1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali) numero periodico semplice 3,(15) = (315-3)/99 numero periodico misto 6,2(7) = (627-62)/90

17 NUMERI DECIMALI......FRAZIONI DECIMALI A scuola quando si parla di numeri decimali si intendono solo i decimali finiti positivi D+ cioè quelli che si possono rappresentare con una frazione decimale: 15/10 = 1,5. Le frazioni decimali sono le frazioni che hanno per denominatore una potenza di dieci (o si possono trasformare in una frazione che abbia per denominatore una potenza di dieci) Ragionare/operare su D+ è come ragionare/operare su Q+? Sembra di sì... ma ricordiamo che in Q+ ci sono anche frazioni come 2/3 = 0, (numeri decimali illimitati periodici)...

18 DECIMALI O FRAZIONI? La rappresentatività di D+ deve essere motivata con la maggiore facilità per i calcoli (in particolare + e -) e per i confronti, rispetto all uso delle frazioni. In ogni caso i due mondi, frazioni e decimali non vanno separati e i calcoli vanno lasciati fare dove é più facile farli.