31/10/2012. Lo studio delle funzioni permette di interpretare la variazione di due grandezze, l una rispetto l altra, quando

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1 FUNZIONI MATEMATICHE Introduzione Lo studio delle funzioni permette di interpretare la variazione di due grandezze, l una rispetto l altra, quando tra le due esiste un legame di tipo matematico. La teoria dell analisi delle funzioni è utilizzata in tutte le materie scientifiche Cos è una funzione FUNZIONE è una particolare corrispondenza tra gli elementi di due insiemi che ad ogni elemento del primo insieme fa corrispondere uno ed un solo elemento del secondo insieme. DEFINIZIONE DI FUNZIONE MATEMATICA è una relazione di tipo matematico (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, estrazione di radice, potenza, ecc..), che ad un qualunque valore x (variabile indipendente), fa corrispondere una ed una sola y (variabile dipendente). A f B NO! 1

2 Il primo insieme Il secondo insieme A f B A f B Il primo insieme, o insieme di partenza, è chiamato dominio della funzione Il dominio D (o Campo di Esistenza, o anche insieme di definizione) di una funzione è il più ampio sottoinsieme di R costituito da tutti e soli i valori della x per cui esistano finiti i corrispondenti valori di y = f(x). Il secondo insieme, o insieme di arrivo, è chiamato: della funzione codominio Il codominio C di una funzione è il sottoinsieme di R costituito da tutti gli elementi y corrispondenti dei punti x appartenenti al dominio della funzione. Le funzioni possono essere rappresentate in vari modi, ad esempio con: Diagrammi di Eulero Venn e frecce Tabelle Grafici diagrammi di Eulero Venn e frecce Gli insiemi di partenza e di arrivo sono rappresentati attraverso diagrammi di E-V La corrispondenza è rappresentata dal complesso delle frecce che partono da ogni elemento del primo insieme ed arrivano su di un elemento dell altro 2

3 Tabelle grafici Gli elementi degli insiemi di partenza in entrata e di arrivo sono elencati nelle colonne di una tabella La corrispondenza è rappresentata da ciò che lega gli elementi delle due colonne Capitali europee Roma 22 Parigi 15 Londra 13 Temperature max il 01/10/11 Ci sono molti tipi di grafici Nel caso di grafici di funzioni matematiche nel piano cartesiano grafici Classificare le funzioni Gli elementi degli insiemi di partenza sono tutti i numeri reali, rappresentati su di una retta orizzontale (asse delle x o asse delle ascisse) Gli elementi degli insiemi di arrivo sono tutti i numeri reali, rappresentati su di una retta orizzontale (asse delle y o asse delle ordinate) La corrispondenza è rappresentata da una linea nel piano cartesiano, che assume forme diverse in relazione alla formula matematica che definisce la funzione FUNZIONI empiriche trascendenti irrazionali matematiche algebriche razionali intere fratte 3

4 Funzioni empiriche Sono tutte le funzioni che non posso rappresentare con una formula matematica È una legge ottenuta mettendo a quantità concrete ottenute empiricamente, cioè attraverso osservazioni e misure Funzioni matematiche Sono tutte quelle funzioni che posso rappresentare con una formula matematica Per indicare una funzione matematica si può scrivere: f: A B che si legge: f è una funzione dall insieme A all insieme B f: x y che si legge: f fa corrispondere all elemento x l elemento y y = f(x) che si legge: y uguale a effe di x Le funzioni algebriche Una funzione si dice algebrica se il legame che esprime y in funzione di x si può ridurre a un equazione algebrica di grado qualsiasi nell incognita x. Il valore di y si ottiene con un numero finito di operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento di potenza, estrazionedi radice Esempi di funzioni algebriche sono: Le funzioni razionali intere Le funzioni razionali fratte Le funzioni irrazionali Funzioni razionali Sono tutte le funzioni in cui compaiono le operazioni di addizione/ sottrazione, moltiplicazione/divisione, elevamento a potenza ma non l estrazione di radice 4

5 Funzioni intere Sono tutte le funzioni espresse mediante polinomi Esempio: y = 3x 4-7x 2 -x+12 Funzioni fratte Sono le funzioni espresse mediante il quoziente di due polinomi cioè Le funzioni in cui x compare al denominatore Funzioni irrazionali Sono tutte le funzioni in cui la variabile indipendente compare sotto il segno di radice y x 2 Le funzioni trascendenti Le funzioni che non sono algebriche si dicono trascendenti. Esempi di funzioni trascendenti sono: Le funzioni goniometriche Le funzioni logaritmiche Le funzioni esponenziali 5

6 Funzioni trascendenti Sono tutte le funzioni che non sono algebriche Alcuni esempi: y = e x y = cos x y = log x CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI f. razionali intere y = x 3 + 3x 2-7 x 1 f. razionali fratte y = x 1 f. irrazionali y = 2x 3 3 TRASCENDENTI (funzione non algebrica): f. goniometriche y = senx f. logaritmiche y =log x (a>0; a=1) f. esponenziali y = a x DOMINIO E CODOMINIO DI UNA FUNZIONE L'insieme A, costituito da tutti i valori che può assumere la variabile indipendente x, si chiama DOMINIO della funzione o CAMPO DI ESISTENZA e dipende dal tipo di legame (espressione matematica) che c'è tra la x e la y. Mentre le immagini y corrispondenti alle x di A sono contenuti in un insieme B che si chiama CODOMINIO. DOMINIO Il DOMINIO di una funzione è costituito dall'insieme dei valori reali che può assumere la x affinché si possa determinare il corrispondentevalore della y. f CODOMINIO DOMINIO DI UNA FUNZIONE Se la funzione è RAZIONALE INTERA il dominio risulta: per ogni valore di x appartenente a R RAZIONALE FRATTA il dominio risulta: per ogni valore di x appartenente a R ad esclusione dei valori che annullano il denominatore Q(x) IRRAZZIONALE INTERA(FRATTA) con indice del radicale dispari allora il dominio è come quello delle RAZIONALI INTERE(FRATTE) IRRAZIONALE con indicedel radialepari il dominiorisulta: per ogni valore di x per cui il radicando è positivo o nullo TRASCENDENTE ESPONENZIALE allora il dominio è come quello delle funzioni RAZIONALI INTERE o FRATTE TRASCENDENTE LOGARITMICA il dominio risulta: per ogni valore di x per cui il allora si impone all argomento di essere positivo 6

7 DETERMINAZIONE DEL DOMINIO DETERMINAZIONE DEL DOMINIO Funzioni razionali intere Sono definite qualunque valore assume la x (perché le operazioni presenti nella funzione si possono eseguire qualunque è il valore della x, e quindi si può determinare sempre il corrispondente y). y= 4x 4-3x 2 +1 C.E. x R Funzioni razionali fratte Sono definite qualunque valore assume la x tranne che per i valori che annullano il denominatore (perché le operazioni presenti nella funzione si possono eseguire solo se il denominatore è diverso da zero, in caso contrario non esiste il corrispondente y). x 1 y C.E. x R-{1} 1) x 2 1 (1; 7