Operazioni sulla Retta Algebrica e riflessione sulla loro definizione nell insieme dei Naturali

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1 Operazioni sulla Retta Algebrica e riflessione sulla loro definizione nell insieme dei Naturali Attraverso i comandi dell interfaccia della Retta Algebrica di AlNuSet è possibile accedere a tre modelli geometrici relativi alle operazioni algebriche di addizione/sottrazione, moltiplicazione/divisione, potenza intera/potenza razionale. Un importante uso didattico di questi modelli riguarda lo sviluppo di nuove attività per esplorare la chiusura o meno delle operazioni in un insieme numerico. Osserviamo che la Retta Algebrica di AlNuSet può essere istanziata in vari domini numerici scegliendo tra Interi Naturali, Interi Relativi, Numeri Razionali e Full Domain. Dopo aver scelto di operare nel dominio degli Interi Naturali, si selezioni il modello dell addizione. Questa operazione è chiusa in questo insieme perché, scelti due numeri qualsiasi sulla retta come addendi del modello, si verifica immediatamente che il risultato dell operazione è sempre contenuto in questo insieme numerico. Riportiamo l esempio di due applicazioni del modello dell addizione.

2 Se il modello viene istanziato con l operazione inversa, la sottrazione, si nota che quando il sottraendo è maggiore del minuendo, il risultato dell operazione non è contenuto negli Interi Naturali, e questo significa che la sottrazione non è chiusa in questo insieme di numeri. Se si estende l insieme numerico agli Interi Relativi, si può verificare facilmente che la sottrazione è chiusa in questo insieme (si veda a tale riguardo il successivo capitolo sui numeri Interi Relativi). Selezionando il modello geometrico della moltiplicazione si verifica immediatamente che questa operazione è chiusa nei Numeri Naturali perché, scelti due numeri qualsiasi sulla retta come fattori, si verifica immediatamente che il risultato dell operazione è sempre contenuto in questo insieme numerico. Se il modello viene istanziato per la divisione, si nota facilmente che quando il dividendo non è multiplo del divisore, il risultato dell operazione non è contenuto nei naturali. Estendendo l insieme numerico ai Numeri Razionali, si può verificare facilmente che la divisione è chiusa in questo insieme (si veda a tale riguardo il successivo capitolo sui Numeri Razionali).

3 Selezionando il modello geometrico della potenza si verifica che l elevamento ad una potenza intera positiva è chiusa nei Numeri Naturali mentre l elevamento ad una potenza razionale non è chiusa in tale dominio mentre lo è se si sceglie di operare in Full Domain. Notiamo che i modelli geometrici delle operazioni possono essere usati non solo per effettuare operazione tra numeri rappresentati sulla retta, ma anche tra quantità variabili e tra espressioni rappresentate sulla retta. Rappresentazione della variabile x sulla Retta Algebrica per comprendere ciò che x rappresenta nei vari domini numerici Prima di analizzare le varie fenomenologie del simbolo x che possono prendere vita in AlNuSet, vediamo cos è concretamente x sulla Retta Algebrica di AlNuSet.

4 Le immagini della figura sotto riportata mostrano la Retta Algebrica di AlNuSet sulla quale è stata inserita la lettera x. In questo ambiente la lettera x, una volta editata, diventa qualcosa di molto concreto, un punto mobile sulla retta che può essere trascinato con il mouse. Se il punto non viene spostato, x assume un valore ben definito sulla retta. Trascinandolo con il mouse, varia il valore che x assume sulla retta. Nei vari domini numerici x può assumere tutti i valori in essi definiti e rappresentati sulla retta. 2 Se si seleziona Full Domain e vengono costruiti o editati numeri come 2 2 oppure, questi 3 vengono rappresentati sulla retta, come nella prima immagine della figura sotto riportata. Muovendo il punto x con il mouse è possibile spostarlo su uno di questi valori e su qualunque altro valore razionale o irrazionale rappresentato sulla retta. Se ora si seleziona il dominio dei numeri razionali emerge un importante evento. Il punto corrispondente al valore 2 2 scompare dalla retta (si veda seconda immagine della figura sotto riportata). Di conseguenza x non può più essere spostato su questo valore. Analogamente, se si seleziona il dominio dei numeri interi il numero 3 2 scompare dalla retta e x non può essere più spostato su questo valore (si veda terza immagine della figura sotto riportata). Notiamo che in quest ultimo caso il punto mobile x, se trascinato, si muove in modo discreto sui punti della retta che corrispondono ai numeri interi. 4 Se invece sulla retta si inseriscono 4 2 e, i due punti corrispondenti vengono a coincidere nello 2 stesso punto di 2, risultano rappresentati sulla retta in tutti i domini numerici e il punto mobile x può essere trascinato su di essi (si veda quarta immagine della figura sotto riportata).

5 Le fenomenologie descritte possono essere sfruttate sul piano didattico per discutere problematiche riguardanti ciò che x indica nei vari domini numerici, l appartenenza o meno di numeri ad un insieme numerico, la chiusura o meno delle operazioni nei vari insiemi numerici. Questo è un tipo di esperienza che la Retta Algebrica di AlNuSet consente di fare per esplorare cosa rappresenta x in algebra. L interazione col sistema consente di fare esperienza di x come simbolo per indicare in modo indeterminato tutti gli elementi di un insieme numerico, o un particolare elemento di tale insieme. Con il trascinamento del punto mobile, x si impadronisce dei nostri occhi e li costringe verso gli oggetti numerici che rappresenta e che il punto mobile indica in modo concreto. Dopo aver scelto di operare nei numeri naturali e aver inserito sulla Retta Algebrica i punti mobili x e y, si editino le espressioni x y e x y (prima immagine della figura sotto riportata). Con il trascinamento dei punti mobili x e y, è facile verificare che l espressione x y è sempre rappresentata sulla retta, qualunque siano i valori che x e y assumono durante il loro trascinamento, mentre quando x è minore di y, il punto dell espressione x y scompare dalla retta (seconda immagine della figura sotto riportata). Questa osservazione può costituire il punto di partenza di una attività didattica volta a riflettere sul dominio in cui è definita un espressione, a investigare e a chiarire le condizioni in base alle quali la sottrazione è chiusa in N e a comprendere che se si estende il dominio numerico in cui si opera agli Interi Relativi, l operazione di sottrazione risulta invece chiusa (terza immagine della figura sotto riportata). In modo analogo si può operare anche

6 con le espressioni x x y,, 2 2 x, x o con qualsiasi altra espressione algebrica per approfondire la y riflessione sul dominio in cui è definita un espressione e per investigare la chiusura o meno delle operazioni di moltiplicazione, divisione, potenza intera e potenza razionale nei vari insiemi numerici.