STRUTTURE ALGEBRICHE

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "STRUTTURE ALGEBRICHE"

Transcript

1 STRUTTURE ALGEBRICHE Operazioni in un insieme Sia A un insieme non vuoto; una funzione f : A A A si dice operazione binaria (o semplicemente operazione), oppure legge di composizione interna. Per definizione di funzione, un operazione associa a ogni coppia ordinata (a, b) A A un elemento di A, se indichiamo con tale operazione, invece di ((a, b)) scriveremo a b, cioè: : A A A (a, b) a b Un operazione si dice: associativa se (a b) c = a (b c) a, b, c A commutativa se a b = b a a, b A ESEMPI: 1. L addizione + e la moltiplicazione sono operazioni nell insieme dei numeri interi associative e commutative. 2. La composizione di applicazioni, nell insieme delle applicazioni da un insieme A in se stesso, è associativa. 3. La composizione di applicazioni, nell insieme delle applicazioni da N in se stesso, non è commutativa. Per esempio siano f : N N e g : N N cosí definite: f(n) = n 2, g(n) = n + 1; allora (f g)(n) = (n + 1) 2 = n 2 + 2n + 1 (g f)(n) = n La sottrazione nell insieme dei numeri interi non è né associativa né commutativa, infatti per esempio (5 3) 1 = 1 5 (3 1) = 3 e 5 1 = = 4. Un insieme A nel quale siano definite una o piú operazioni si dice struttura algebrica. Gruppi Un insieme G con una operazione : G G G si dice gruppo se: (1) è associativa; (2) c è un elemento neutro e per, cioè e G tale che g e = e g = g, g G; (3) ogni elemento ha un inverso (opposto se l operazione è l addizione), cioè g G g G tale che g g = g g = e Un gruppo si dice commutativo (o abeliano) se l operazione è commutativa. 1

2 Un insieme in cui valgono solo (1) e (2) e non (3) si dice semiruppo o monoide.. Sia i gruppi, sia i semigruppi vengono spesso denotati con la terna costituita da insieme, operazione e elemento neutro: (G, *, e). PROPRIETÀ: 1. Vale la legge di cancellazione (o regola di semplificazione), cioè: a b = a c = b = c Infatti poiché a tale che a a = e, moltiplicando per a si ottiene a (a b) = a (a c) e per la proprietà associativa si ha (a a) b = (a a) c, cioè b = e b = e c = c. 2. L elemento neutro è unico. Infatti se u e e sono due elementi neutri, ossia se per entrambi a si haa e = e a = a, a u = u a = a, si ottiene e = e u = u (ponendo a = e e considerando u come elemento neutro nella prima uguaglianza e viceversa nella seconda). 3. L inverso è unico. Infatti se a a = a a = e e a b = b a = e, si ha b = b e = b (a a ) = (b a) a = e a = a. 4. L inverso dell inverso di a è a. Infatti a è l unico elemento tale che a a = a a = e, quindi (a ) = a. Queste regole ci dicono che in un gruppo ogni equazione di primo grado a x = b oppure x a = b ha soluzione Se il gruppo non è commutativo a x = b e x a = b possono avere soluzioni diverse. Infatti moltiplicando per l inverso a di a si ottiene nel primo caso x = a b, nel secondo x = b a. Da tutto ciò risulta che nella tabellina del gruppo su ogni riga e colonna devono comparire tutti gli elementi del gruppo e una volta sola. Si vede quindi facilmente che (a meno di scambiare il nome degli elementi) per i gruppi di 2 o 3 elementi c e una sola tabellina possibile, mentre per quelli di 4 elementi ce ne sono due. ESEMPI: 1. L insieme dei numeri naturali N con l addizione + non è un gruppo, infatti + è associativa e commutativa, 0 è l elemento neutro, ma n > 0 non c è l opposto. Analogamente N con la moltiplicazione non è un gruppo perchè è associativa e commutativa, 1 è l elemento neutro, ma n 1 non c è l inverso. 2. L insieme dei numeri interi Z con l addizione + è un gruppo commutativo, infatti + è associativa e commutativa, 0 è l elemento neutro e a Z a tale che a + ( a) = ( a) + a = 0. Invece Z con la moltiplicazione non è un gruppo perchè è associativa e commutativa, 1 è l elemento neutro, ma gli unici elementi che hanno inverso sono 1 e L insieme { 1, 1} Z con la moltiplicazione è un gruppo commutativo, infatti è associativa e commutativa, 1 è l elemento neutro e ogni elemento è l inverso di se stesso. 2

3 4. L insieme Q = Q\{0} con la moltiplicazione è un gruppo commutativo, infatti è associativa e commutativa, 1 è l elemento neutro e a b Q b a tale che a b b a = Sia A = {1, 2, 3}. L insieme S 3 delle applicazioni bigettive di A in A con la composizione di applicazioni è un gruppo con 6 elementi, detto gruppo delle permutazioni di 3 elementi: i : A A σ : A A σ 2 : A A τ 1 : A A τ 2 : A A τ 3 : A A Infatti è associativa, l elemento neutro è f 1, l inversa di f 4 è f 6 e f 1, f 2, f 3, f 5 sono ognuna l inversa di se stessa. S 3 non è commutativo perché f 2 f 3 f 3 f 2, infatti f 2 (f 3 (1)) = f 2 (2) = 3, mentre f 3 (f 2 (1)) = f 3 (1) = Una permutazione f può anche essere denotata, per esempio f(1) f(2) f(3) σ = Se G con l operazione, L con l operazione sono due gruppi, il prodotto cartesiano G L con l operazione definita da (a, b) (c, d) = (a c, b d) è un gruppo con elemento neutro (e G, e L ). Infatti si vede facilmente che è associativa e che ogni elemento (a, b) ha inverso (a, b) = (a, b ) dove si denota l inverso nel rispettivo gruppo. In particolare se L = G il gruppo G G si denota G 2. Analogamente si definiscono G 3 e piú in generale G n. Un gruppo G si dice ciclico se esiste un suo elemento g tale che x G n Z tale che x = g n, dove con g n si intende g g... g n volte se n 0 oppure g g... g n volte se n < 0. Tale g si dice generatore di G. Per esempio Z è ciclico generato da 1, infatti ogni numero intero n è somma di n copie di 1 o di 1 a seconda del segno di n. Z 2 non è ciclico, infatti comunque scegliamo un elemento (a, b) esso non può generare tutti gli elementi di Z 2 perché per esempio l elemento (a, b) n(a, b) n Z, a meno che a = 0 oppure b = 0, ma allora non si ottengono gli elementi con entrambe le componenti non nulle. Se un gruppo G ha un numero finito di elementi, si dice che G è un gruppo finito e il numero di elementi si dice ordine di G e si denota G. Sottogruppi Un sottoinsieme H del gruppo G si dirà un sottogruppo di G se H è un gruppo rispetto all operazione (che chiameremo ancora * ) indotta su H da quella di G. Ciò significa che e H, a b H a, b H, a H a H o equivalentemente a b H a, b H. Si può provare che: Teorema di Lagrange. Se G è un gruppo finito e H è un suo sottogruppo, allora l ordine di G è un multiplo dell ordine di H. 3

4 ESEMPI: 1. L insieme dei numeri pari P = {2n n Z } è un sottogruppo di Z. Infatti 2n 2m = 2(n m) P, mentre l insieme dei numeri dispari D = {2n + 1 n Z } non è un sottogruppo di Z. Infatti 2n + 1 (2m + 1) = 2(n m) / D. 2. Z è un sottogruppo di Q. 3. L insieme {1, 1} è un sottogruppo del gruppo moltiplicativo Q. 4. L insieme {i, σ, σ 2 } è un sottogruppo ciclico di S 3, e anche gli insiemi {i 1 }, {i 2 }, {i 3 }, mentre non sono sottogruppi gli insiemi {τ 1 2 } (perché non contiene l elemento neutro i) e {i 1 2 } (perché τ 1 τ 2 = σ / {i 1 2 }). Scrivere per esercizio le tabelline di questi sottogruppi. ESERCIZI: 1. Dire quali dei seguenti sottoinsiemi di Z 2 sono sottogruppi: H 1 = {(x, y) x + y = 1} H 2 = {(x, y) x + y = 0} H 3 = {(x, y) xy = 0} H 4 = {(t, t) t Z} H 5 = {(t, t 2 ) t Z}. 2. ( Sia S 4 il ) gruppo delle permutazioni di 4 elementi e siano i l applicazione identica, σ =. Provare che {i, σ} non è un sottogruppo di S e determinare il piú piccolo sottogruppo H tale che σ H, calcolarne l ordine e scriverne la tabella moltiplicativa. 3. Sia S 4 il gruppo delle permutazioni di 4 elementi e siano i l applicazione identica, τ 1 = = = Provare che L = {i } è un sottogruppo di S 4 e scriverne la tabellina. 4. Siano g un gruppo e H e K due suoi sottogruppi. Provare che H K è un sottogruppo, mentre H K lo è solo se uno dei due sottogruppi è contenuto nell altro. Omomorfismi di gruppi Se G,, e e L,, u sono due gruppi diciamo che una applicazione f : G L è un omomorfismo di gruppi se rispetta le operazioni, cioè se f(a 1 a 2 ) = f(a 1 ) f(a 2 ), G. a 1, a 2 Se inoltre f è bigettiva, f si dice isomorfismo, G e L si dicono isomorfi e si scrive G L. Si vede facilmente che: a) f(e) = u, infatti a G si ha f(e) f(a) = f(e a) = f(a) = u f(a), da cui per la legge di cancellazione in L si ottiene f(e) = u. 4

5 b) f(a ) = f(a), a G. Infatti f(a) f(a ) = f(a a ) = f(e) = u e analogamente f(a ) f(a) = u e dunque la tesi. ESEMPI: 1. L applicazione f : G L definita da f(a) = u, a G è un omomorfismo di gruppi, mentre se si fissa un elemento b 0 u di L e si definisce h(a) = b 0, a G, questo non è un omomorfismo perchè h(e) u. 2. L applicazione identica i G : G G è un isomorfismo di gruppi. 3. f : Z Z definita da f(a) = 3a è un isomorfismo di gruppi. Infatti f(a + b) = 3(a + b) = 3a + 3b = f(a) + f(b). Si vede facilmente che f è bigettivo. 4. f : Z Z definita da f(a) = 3a + 1 non è un omomorfismo di gruppi perché f(0) = f : Z Z definita da f(a) = a 2 non è un omomorfismo di gruppi perché f(1 + 1) = f(2) = 4 f(1) + f(1) = Sia G il gruppo moltiplicativo {e = (1, 1), g 1 = (1, 1), g 2 = ( 1, 1), g 3 = ( 1, 1)}. Allora G è isomorfo al sottoguppo di S 4 visto nell esercizio 3 precedente: L = { i = 1 = = Basta infatti porre f(e) = i, f(g j ) = τ j j = 1, 2, = } Data f : G L abbiamo già definito l immagine di f come l insieme: Imf = f(g) = {y L x G, f(x) = y}. Se f è un omomorfismo, Imf è un sottogruppo di G (infatti comunque si scelgano due elementi y 1 = f(x 1 ), y 2 = f(x 2 ) in Imf si ha y 1 y 2 = f(x 1 ) f(x 2 ) = f(x 1 x 2 ) Imf). Ricordiamo che f è surgettiva se e solo se Imf = L. Se f : G L è un omomorfismo, definiamo nucleo di f, l insieme degli elementi controimmagine di u: Kerf = f 1 (u) = {x G f(x) = u}. È chiaro che e Kerf, inoltre Kerf è un sottogruppo di G perché se a, b Kerf allora f(a b ) = f(a) f(b) = u u = u e quindi a b Kerf. Teorema Un omomorfismo f : G Lè iniettivo se e solo se Kerf = {e}. Dimostrazione Se f è iniettiva allora Kerf = {e}, altrimenti due elementi distinti avrebbero immagine u. Viceversa se Kerf = {e} e se f(x 1 ) = f(x 2 ), allora u = f(x 1 ) f(x 2 ) = f(x 1 x 2) e quindi x 1 x 2 Kerf = {e}, da cui x 1 x 2 = e, quindi x 1 = x 2 e dunque f è iniettiva 5

6 Proposizione Se f : G L è un omomorfismo e se y 0 L e x 0 G sono tali che f(x 0 ) = y 0 allora: f 1 (y 0 ) = x 0 Kerf = {x 0 z z Kerf}. Dimostrazione È immediato che f 1 (y 0 ) x 0 Kerf. Infatti comunque si scelga z Kerf si ha f(x 0 z) = f(x 0 ) f(z) = y 0 u = y 0. Viceversa se t f 1 (y 0 ) allora f(t) = y 0, cioè f(t) = f(x 0 ), da cui si ottiene u = f(x 0 ) f(t) = f(x 0 t) e quindi x 0 t = z Kerf, ossia t = x 0 z e dunque f 1 (y 0 ) x 0 Kerf. ESEMPI 1. Sia f : Z 2 Z definita da f(a, b) = a. Poiché f(a, b) + f(c, d) = a + c = f(a + c, b + d) si ha che f è un omomorfismo di gruppi additivi. Kerf = {(a, b) Z 2 f(a, b) = 0} = {(0, b) b Z}. Se vogliamo calcolare f 1 (2), sapendo che f(2, 0) = 2 otteniamo f 1 (2) = (2, 0) + Kerf = {(2, b) b Z}. 2. Sia f : Z Z 2 definita da f(a) = (a, 0). Verificare per esercizio che f è un omomorfismo di gruppi additivi. Kerf = {a Z f(a) = (0, 0)} = {0}, quindi f è iniettivo. 3. Sia f : Q Q definito da f(x) = x, dove con x si indica il valore assoluto di x. Poichè xy = x y si ha che f è un omomorfismo di gruppi moltiplicativi. Risulta Kerf = {x Q f(x) = 1} = {1, 1}. Anelli Un insieme A con due operazioni + e si dice anello se: (1) A con la somma + è un gruppo commutativo; (2) Il prodotto è associativo; (3) vale la proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto, cioè (a + b)c = ac + bc e a(b + c) = ab + ac Inoltre A si dice anello commutativo se il prodotto è commutativo; A si dice anello con identità (o con 1) se in A c è un identità moltiplicativa, che denoteremo appunto 1 (o 1 A in caso di ambiguità). PROPRIETÀ: 1. a0 = 0b = 0. Infatti a0 + a0 = a(0 + 0) = a0 = a0 + 0 e per la legge di cancellazione a0 = 0; il caso 0b=0 è analogo. 2. ( a)b = ab = a( b) Infatti ( a)b + ab = ( a + a)b = 0b = 0 e a( b) + ab = a(b b) = a0 = 0. 6

7 3. ( a)( b) = ab Infatti ( a)( b) = (a( b)) = ( ab) = ab. Non è detto che se ab = 0 allora a = 0 oppure b = 0. Un anello A si dice integro se ab = 0 a = 0 oppure b = 0. Dati due anelli A e B, un applicazione f : A B è un omomorfismo di anelli se è un omomorfismo di gruppi additivi e rispetta la moltiplicazione, cioè se f(a 1 + a 2 ) = f(a 1 ) + f(a 2 ) e f(a 1 a 2 ) = f(a 1 ) (a 2 ), a 1, a 2 A. ESEMPI: 1. L insieme dei numeri interi Z con l addizione e la moltiplicazione è un anello commutativo con identità, integro. 2. Se A è un anello, l insieme F A = {f : A A} delle funzioni di A in A con le operazioni + e cosí definite : (f + g)(x) = f(x) + g(x) e (fg)(x) = f(x)g(x) è un anello commutativo con identità, non integro. Φ : A F A definito da Φ(a) = f a, dove f a è la funzione costante f a (x) = a x A è un omomorfismo iniettivo di anelli (verificarlo per esercizio). Verificare che F A con la somma definita sopra e con la composizione di funzioni come moltiplicazione non è un anello perché non vale la proprietà distributiva. 3. Se A è un anello, possiamo considerare l insieme A[X] dei polinomi f(x) = a 0 + a 1 X + a 2 X a n X n dove a 0, a 1,..., a n A sono detti coefficienti del polinomio e X indeterminata. Se a n 0 si dice che il polinomio f(x) ha grado n e si scrive δf(x) = n, in tal caso a n si dice coefficiente direttivo di f(x). Dati due polinomi a coefficienti in un anello A, f(x) = a 0 + a 1 X + a 2 X a n X n e g(x) = b 0 + b 1 X + b 2 X b s X s, possiamo definire una somma e un prodotto nel modo seguente: f(x) + g(x) = (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )X + (a 2 + b 2 )X (a i + b i )X i +... f(x)g(x) = a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0 )X + (a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0 )X ( i j=0 a jb i j )X i +... Con tali operazioni A[X] diventa un anello, integro se A è integro. Osserviamo che il grado della somma di due polinomi è minore o uguale al massimo tra i due gradi. Il grado può diminuire se f e g hanno lo stesso grado e coefficienti direttivi opposti, per esempio f = 1 + 2X 3X 3, g = 2 + X 2 + 3X 3 hanno grado 3, mentre f + g = 3 + 2X + X 2 ha grado 2. Se A è integro il prodotto di due polinomi ha come grado la somma dei gradi, infatti se δf = n e δg = s il termine di grado massimo di fg è a n b s X n+s, quindi δ(fg) = n + s. L applicazione φ : A A[X] definita da φ(a) = a è un omomorfismo iniettivo di anelli, mentre ψ : A[X] A definito da ψ(f(x)) = f(0) è un omomorfismo surgettivo di anelli. Piú in generale 7

8 fissato c A l applicazione ψ c : A[X] A definita da ψ c (f(x)) = f(c) è un omomorfismo surgettivo di anelli. 4. Se A, B sono due anelli, sul gruppo additivo A B si può definire oltre alla somma (a, b)+(c, d) = (a + c, b + d) anche un prodotto (a, b) (c, d) = (ac, bd). Con queste due operazioni A B è un anello con 1 A B = (1, 1), commutativo se A e B lo sono, ma non integro anche se A e B lo sono, perché per esempio (1, 0) (0, 1) = (0, 0). 5. Vedremo in seguito che l anello delle matrici è un anello non commutativo con identità, non integro. Campi (e corpi) Un anello con identità K si dice corpo se ogni elemento diverso da zero è invertibile, si dice campo se K = K\{0} con l operazione è un gruppo commutativo. Ogni corpo è integro. Infatti se ab = 0 e a = 0 si ha la tesi, altrimenti a 0 è invertibile e moltiplicando ab = 0 per a 1 si ha a 1 (ab) = a 1 0 = 0; allora (a 1 a)b = 0 e quindi 1b = b = 0 Come vedremo meglio in seguito, esempi di campo sono i numeri razionali Q, i numeri reali R, i numeri complessi C, gli interi modulo p con p primo Z p. 8

M.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA STRUTTURE ALGEBRICHE

M.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA STRUTTURE ALGEBRICHE M.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA STRUTTURE ALGEBRICHE Operazioni in un insieme Sia A un insieme non vuoto; una funzione f : A A A si dice operazione binaria (o semplicemente

Dettagli

Anello commutativo. Un anello è commutativo se il prodotto è commutativo.

Anello commutativo. Un anello è commutativo se il prodotto è commutativo. Anello. Un anello (A, +, ) è un insieme A con due operazioni + e, dette somma e prodotto, tali che (A, +) è un gruppo abeliano, (A, ) è un monoide, e valgono le proprietà di distributività (a destra e

Dettagli

Prodotto elemento per elemento, NON righe per colonne Unione: M R S

Prodotto elemento per elemento, NON righe per colonne Unione: M R S Relazioni binarie Una relazione binaria può essere rappresentata con un grafo o con una matrice di incidenza. Date due relazioni R, S A 1 A 2, la matrice di incidenza a seguito di varie operazioni si può

Dettagli

R X X. RELAZIONE TOTALE Definizione: Si definisce relazione totale tra x e y se dati X,Y diversi dall'insieme vuoto

R X X. RELAZIONE TOTALE Definizione: Si definisce relazione totale tra x e y se dati X,Y diversi dall'insieme vuoto PRODOTTO CARTESIANO Dati due insiemi non vuoti X e Y si definisce prodotto cartesiano: X Y ={ x, y x X, y Y } attenzione che (x,y) è diverso da (y,x) perchè (x,y)={x,{y}} e (y,x)={y,{x}} invece sono uguali

Dettagli

4. Operazioni binarie, gruppi e campi.

4. Operazioni binarie, gruppi e campi. 1 4. Operazioni binarie, gruppi e campi. 4.1 Definizione. Diremo - operazione binaria ovunque definita in A B a valori in C ogni funzione f : A B C - operazione binaria ovunque definita in A a valori in

Dettagli

Corso introduttivo pluridisciplinare Strutture algebriche

Corso introduttivo pluridisciplinare Strutture algebriche Corso introduttivo pluridisciplinare Strutture algebriche anno acc. 2013/2014 Univ. degli Studi di Milano Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 1 / 17 index

Dettagli

Parte 6. Applicazioni lineari

Parte 6. Applicazioni lineari Parte 6 Applicazioni lineari A Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Applicazioni fra insiemi, 2 Applicazioni lineari tra spazi vettoriali, 2 3 Applicazioni lineari da R n a R

Dettagli

L anello dei polinomi

L anello dei polinomi L anello dei polinomi Sia R un anello commutativo con identità. È possibile costruire un anello commutativo unitario, che si denota con R[x], che contiene R (come sottoanello) e un elemento x non appartenente

Dettagli

Nel seguito, senza ulteriormente specificarlo, A indicherà un anello commutativo con identità.

Nel seguito, senza ulteriormente specificarlo, A indicherà un anello commutativo con identità. 1 ANELLI Definizione 1.1. Sia A un insieme su cui sono definite due operazioni +,. (A, +, ) si dice Anello se (A, +) è un gruppo abeliano è associativa valgono le leggi distributive, cioè se a, b, c A

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI 1. Esercizi Esercizio 1. Date le seguenti applicazioni lineari (1) f : R 2 R 3 definita da f(x, y) = (x 2y, x + y, x + y); (2) g : R 3 R 2 definita da g(x, y, z) = (x + y, x y); (3)

Dettagli

Lezioni di Matematica 1 - I modulo

Lezioni di Matematica 1 - I modulo Lezioni di Matematica 1 - I modulo Luciano Battaia 16 ottobre 2008 Luciano Battaia - http://www.batmath.it Matematica 1 - I modulo. Lezione del 16/10/2008 1 / 13 L introduzione dei numeri reali si può

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

Capitolo I STRUTTURE ALGEBRICHE ELEMENTARI

Capitolo I STRUTTURE ALGEBRICHE ELEMENTARI Capitolo I STRUTTURE ALGEBRICHE ELEMENTARI In matematica, per semplificare la stesura di un testo, si fa ricorso ad un linguaggio specifico. In questo capitolo vengono fornite in maniera sintetica le nozioni

Dettagli

Dimensione di uno Spazio vettoriale

Dimensione di uno Spazio vettoriale Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione

Dettagli

DOMINI A FATTORIZZAZIONE UNICA

DOMINI A FATTORIZZAZIONE UNICA DOMINI A FATTORIZZAZIONE UNICA CORSO DI ALGEBRA, A.A. 2012-2013 Nel seguito D indicherà sempre un dominio d integrità cioè un anello commutativo con unità privo di divisori dello zero. Indicheremo con

Dettagli

2.1 Definizione di applicazione lineare. Siano V e W due spazi vettoriali su R. Un applicazione

2.1 Definizione di applicazione lineare. Siano V e W due spazi vettoriali su R. Un applicazione Capitolo 2 MATRICI Fra tutte le applicazioni su uno spazio vettoriale interessa esaminare quelle che mantengono la struttura di spazio vettoriale e che, per questo, vengono dette lineari La loro importanza

Dettagli

G. Pareschi ALGEBRE DI BOOLE. 1. Algebre di Boole

G. Pareschi ALGEBRE DI BOOLE. 1. Algebre di Boole G. Pareschi ALGEBRE DI BOOLE 1. Algebre di Boole Nel file precedente abbiamo incontrato la definizione di algebra di Boole come reticolo: un algebra di Boole e un reticolo limitato, complementato e distributivo.

Dettagli

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme 1. L insieme R. Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme R = R {, + }, detto anche retta reale estesa, che si ottiene aggiungendo all insieme dei numeri reali R

Dettagli

Prodotto libero di gruppi

Prodotto libero di gruppi Prodotto libero di gruppi 24 aprile 2014 Siano (A 1, +) e (A 2, +) gruppi abeliani. Sul prodotto cartesiano A 1 A 2 definiamo l operazione (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) := (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ). Provvisto

Dettagli

Insiemi con un operazione

Insiemi con un operazione Capitolo 3 Insiemi con un operazione 3.1 Gruppoidi, semigruppi, monoidi Definizione 309 Un operazione binaria su un insieme G è una funzione: f : G G G Quindi, un operazione binaria f su un insieme G è

Dettagli

STRUTTURE ALGEBRICHE

STRUTTURE ALGEBRICHE STRUTTURE ALGEBRICHE 1. Operazioni algebriche binarie Dato un insieme M, chiamiamo operazione algebrica binaria definita su M una qualunque applicazione f che associa ad ogni coppia ordinata (a, b) di

Dettagli

LEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0

LEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0 LEZIONE 23 231 Diagonalizzazione di matrici Abbiamo visto nella precedente lezione che, in generale, non è immediato che, data una matrice A k n,n con k = R, C, esista sempre una base costituita da suoi

Dettagli

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni.

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni. MATEMATICA. Sistemi lineari in due equazioni due incognite. Date due equazioni lineari nelle due incognite x, y come ad esempio { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un

Dettagli

MATRICI E DETERMINANTI

MATRICI E DETERMINANTI MATRICI E DETERMINANTI 1. MATRICI Si ha la seguente Definizione 1: Un insieme di numeri, reali o complessi, ordinati secondo righe e colonne è detto matrice di ordine m x n, ove m è il numero delle righe

Dettagli

Applicazioni lineari

Applicazioni lineari Applicazioni lineari Esempi di applicazioni lineari Definizione. Se V e W sono spazi vettoriali, una applicazione lineare è una funzione f: V W tale che, per ogni v, w V e per ogni a, b R si abbia f(av

Dettagli

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE COSA SONO LE FUNZIONI Dati due sottoinsiemi A e B non vuoti di R, una FUNZIONE da A a B è una relazione che associa ad ogni numero reale

Dettagli

Esercizi su lineare indipendenza e generatori

Esercizi su lineare indipendenza e generatori Esercizi su lineare indipendenza e generatori Per tutto il seguito, se non specificato esplicitamente K indicherà un campo e V uno spazio vettoriale su K Cose da ricordare Definizione Dei vettori v,,v

Dettagli

Algebra e Geometria. Ingegneria Meccanica e dei Materiali Sez (2) Ingegneria dell Automazione Industriale Sez (2)

Algebra e Geometria. Ingegneria Meccanica e dei Materiali Sez (2) Ingegneria dell Automazione Industriale Sez (2) Algebra e Geometria Ingegneria Meccanica e dei Materiali Sez (2) Ingegneria dell Automazione Industriale Sez (2) Traccia delle lezioni che saranno svolte nell anno accademico 2012/13 I seguenti appunti

Dettagli

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Francesco Bottacin Padova, 24 febbraio 2012 Capitolo 1 Algebra Lineare 1.1 Spazi e sottospazi vettoriali Esercizio 1.1. Sia U il sottospazio di R 4 generato dai

Dettagli

Esame di Matematica Discreta Laurea Triennale in Informatica e Comunicazione Digitale Sede di Taranto 28/9/2005

Esame di Matematica Discreta Laurea Triennale in Informatica e Comunicazione Digitale Sede di Taranto 28/9/2005 Sede di Taranto 28/9/2005 1. Dati gli insiemi A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {a, b, c}, determinare tutte le applicazioni surgettive f : A B tali che f(2) = f(3) = a f(x) a per x {2, 3}. 2. Risolvere il sistema

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi (spesso

Dettagli

2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2.1 CONCETTO DI FUNZIONE Definizione 2.1 Siano A e B due insiemi. Una funzione (o applicazione) f con dominio A a valori in B è una legge che associa ad ogni elemento

Dettagli

Prova parziale di Geometria e Topologia I - 5 mag 2008 (U1-03, 13:30 16:30) 1/8. Cognome:... Nome:... Matricola:...

Prova parziale di Geometria e Topologia I - 5 mag 2008 (U1-03, 13:30 16:30) 1/8. Cognome:... Nome:... Matricola:... Prova parziale di Geometria e Topologia I - 5 mag 2008 (U1-03, 13:30 16:30) 1/8 Cognome:................ Nome:................ Matricola:................ (Dare una dimostrazione esauriente di tutte le

Dettagli

LEZIONE 16. Proposizione 16.1.2. Siano V e W spazi vettoriali su k = R, C. Se f: V W

LEZIONE 16. Proposizione 16.1.2. Siano V e W spazi vettoriali su k = R, C. Se f: V W LEZIONE 16 16.1. Applicazioni lineari iniettive e suriettive. Ricordo le seguenti due definizioni valide per applicazioni di qualsiasi tipo ϕ: X Y fra due insiemi. L applicazione ϕ si dice iniettiva se

Dettagli

FUNZIONE. Si scrive: A B f: A B x y=f(x) (si legge: f funzione da A in B) x f y= f(x)

FUNZIONE. Si scrive: A B f: A B x y=f(x) (si legge: f funzione da A in B) x f y= f(x) 1 FUNZIONE Dati gli insiemi A e B, si definisce funzione da A in B una relazione o legge o corrispondenza che ad ogni elemento di A associa uno ed un solo elemento di B. Si scrive: A B f: A B f() (si legge:

Dettagli

3 GRAFICI DI FUNZIONI

3 GRAFICI DI FUNZIONI 3 GRAFICI DI FUNZIONI Particolari sottoinsiemi di R che noi studieremo sono i grafici di funzioni. Il grafico di una funzione f (se non è specificato il dominio di definizione) è dato da {(x, y) : x dom

Dettagli

4. Operazioni elementari per righe e colonne

4. Operazioni elementari per righe e colonne 4. Operazioni elementari per righe e colonne Sia K un campo, e sia A una matrice m n a elementi in K. Una operazione elementare per righe sulla matrice A è una operazione di uno dei seguenti tre tipi:

Dettagli

Funzioni. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara

Funzioni. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara Funzioni Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utenti.unife.it/lorenzo.pareschi/ lorenzo.pareschi@unife.it Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara)

Dettagli

Corso di Laurea in Matematica. Dispense del corso di ALGEBRA II

Corso di Laurea in Matematica. Dispense del corso di ALGEBRA II Corso di Laurea in Matematica Dispense del corso di ALGEBRA II a.a. 2012 2013 2 Indice I GRUPPI 5 1 Operazioni 7 1.1 Operazioni associative............................ 7 1.2 Matrici.....................................

Dettagli

ALGEBRA I: ARITMETICA MODULARE E QUOZIENTI DI ANELLI

ALGEBRA I: ARITMETICA MODULARE E QUOZIENTI DI ANELLI ALGEBRA I: ARITMETICA MODULARE E QUOZIENTI DI ANELLI 1. CLASSI DI RESTO E DIVISIBILITÀ In questa parte sarò asciuttissimo, e scriverò solo le cose essenziali. I commenti avete potuto ascoltarli a lezione.

Dettagli

Corrispondenze e funzioni

Corrispondenze e funzioni Corrispondenze e funzioni L attività fondamentale della mente umana consiste nello stabilire corrispondenze e relazioni tra oggetti; è anche per questo motivo che il concetto di corrispondenza è uno dei

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI Esercizi Esercizio 1. Sia f: R 3 R 2 (x, y, z) (x + 2y + z, y + z). (1) Verificare che f è lineare. (2) Determinare una base di ker(f) e stabilire se f è iniettiva. (3) Calcolare w

Dettagli

f(x, y, z) = (x + ky + z, x y + 2z, x + y z) f(x, y, z) = (x + 2y z, x + y z, x + 2y) F (f(x)) = (f(0), f(1), f(2))

f(x, y, z) = (x + ky + z, x y + 2z, x + y z) f(x, y, z) = (x + 2y z, x + y z, x + 2y) F (f(x)) = (f(0), f(1), f(2)) Algebra Lineare e Geometria Analitica Politecnico di Milano Ingegneria Applicazioni Lineari 1. Sia f : R 3 R 3 l applicazione lineare definita da f(x, y, z) = (x + ky + z, x y + 2z, x + y z) per ogni (x,

Dettagli

Anelli a fattorizzazione unica. Domini ad ideali principali. Anelli Euclidei

Anelli a fattorizzazione unica. Domini ad ideali principali. Anelli Euclidei Capitolo 5: Anelli speciali: Introduzione: Gli anelli speciali sono anelli dotati di ulteriori proprietà molto forti che ne rendono agevole lo studio. Anelli euclidei Domini ad ideali principali Anelli

Dettagli

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre

Dettagli

definizione e notazione (direzione,verso modulo), v V, lo spazio ( insieme)

definizione e notazione (direzione,verso modulo), v V, lo spazio ( insieme) 1 Spazi vettoriali 1.1 Richiami ai vettori freccia definizione e notazione (direzione,verso modulo), v V, lo spazio ( insieme) dei vettori esiste la operazione binaria sul sostegno V che chiameremo somma(regola

Dettagli

Funzioni. Parte prima. Daniele Serra

Funzioni. Parte prima. Daniele Serra Funzioni Parte prima Daniele Serra Nota: questi appunti non sostituiscono in alcun modo le lezioni del prof. Favilli, né alcun libro di testo. Sono piuttosto da intendersi a integrazione di entrambi. 1

Dettagli

Lezione 1. Gli Insiemi. La nozione di insieme viene spesso utilizzata nella vita di tutti i giorni; si parla dell insieme:

Lezione 1. Gli Insiemi. La nozione di insieme viene spesso utilizzata nella vita di tutti i giorni; si parla dell insieme: Lezione 1 Gli Insiemi La nozione di insieme viene spesso utilizzata nella vita di tutti i giorni; si parla dell insieme: degli iscritti ad un corso di laurea delle stelle in cielo dei punti di un piano

Dettagli

Algebra Booleana 1 ALGEBRA BOOLEANA: VARIABILI E FUNZIONI LOGICHE

Algebra Booleana 1 ALGEBRA BOOLEANA: VARIABILI E FUNZIONI LOGICHE Algebra Booleana 1 ALGEBRA BOOLEANA: VARIABILI E FUNZIONI LOGICHE Andrea Bobbio Anno Accademico 2000-2001 Algebra Booleana 2 Calcolatore come rete logica Il calcolatore può essere visto come una rete logica

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................

Dettagli

CAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI

CAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI CAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI Abbiamo studiato successioni e serie numeriche, ora vogliamo studiare successioni e serie di funzioni. Dato un insieme A R, chiamiamo successione di funzioni

Dettagli

10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue.

10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. 10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. Lo scopo principale di questo capitolo è quello di far vedere che esistono sottoinsiemi di R h che non sono misurabili secondo Lebesgue. La costruzione di insiemi

Dettagli

1 Insiemi e terminologia

1 Insiemi e terminologia 1 Insiemi e terminologia Assumeremo come intuitiva la nozione di insieme e ne utilizzeremo il linguaggio come strumento per studiare collezioni di oggetti. Gli Insiemi sono generalmente indicati con le

Dettagli

1 Serie di Taylor di una funzione

1 Serie di Taylor di una funzione Analisi Matematica 2 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 7 SERIE E POLINOMI DI TAYLOR Serie di Taylor di una funzione. Definizione di serie di Taylor Sia f(x) una funzione definita

Dettagli

Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora:

Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: G.C.D.( a d, b d ) = 1 Sono state introdotte a lezione due definizioni importanti che ricordiamo: Definizione

Dettagli

Dispense di Algebra 1 - Gruppi

Dispense di Algebra 1 - Gruppi Dispense di Algebra 1 - Gruppi Dikran Dikranjan e Maria Silvia Lucido Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Udine via delle Scienze 200, I-33100 Udine gennaio 2005 L algébre est généreuse,

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

APPUNTI DI ALGEBRA B

APPUNTI DI ALGEBRA B APPUNTI DI ALGEBRA B Prof. Gloria Rinaldi dal testo Algebra autori P.Quattrocchi, G.Rinaldi, ed. Zanichelli Dipartimento di Scienze e Metodi dell Ingegneria Università di Modena e Reggio Emilia, Via Amendola

Dettagli

SCHEDA DI RECUPERO SUI NUMERI RELATIVI

SCHEDA DI RECUPERO SUI NUMERI RELATIVI SCHEDA DI RECUPERO SUI NUMERI RELATIVI I numeri relativi sono l insieme dei numeri negativi (preceduti dal segno -) numeri positivi (il segno + è spesso omesso) lo zero. Valore assoluto di un numero relativo

Dettagli

CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE

CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE Il limite di una funzione è uno dei concetti fondamentali dell'analisi matematica. Tramite questo concetto viene formalizzata la nozione di funzione continua e

Dettagli

Lezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari

Lezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari Versione ottobre novembre 2008 Lezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari Contenuto 1. Applicazioni lineari 2. L insieme delle

Dettagli

razionali Figura 1. Rappresentazione degli insiemi numerici Numeri reali algebrici trascendenti frazionari decimali finiti

razionali Figura 1. Rappresentazione degli insiemi numerici Numeri reali algebrici trascendenti frazionari decimali finiti 4. Insiemi numerici 4.1 Insiemi numerici Insieme dei numeri naturali = {0,1,,3,,} Insieme dei numeri interi relativi = {..., 3,, 1,0, + 1, +, + 3, } Insieme dei numeri razionali n 1 1 1 1 = : n, m \{0}

Dettagli

LEZIONE 17. B : kn k m.

LEZIONE 17. B : kn k m. LEZIONE 17 17.1. Isomorfismi tra spazi vettoriali finitamente generati. Applichiamo quanto visto nella lezione precedente ad isomorfismi fra spazi vettoriali di dimensione finita. Proposizione 17.1.1.

Dettagli

Lezione 6 Nucleo, Immagine e Teorema della Dimensione. 1 Definizione di Nucleo e Immagine

Lezione 6 Nucleo, Immagine e Teorema della Dimensione. 1 Definizione di Nucleo e Immagine Lezione 6 Nucleo, Immagine e Teorema della Dimensione In questa lezione entriamo nel vivo della teoria delle applicazioni lineari. Per una applicazione lineare L : V W definiamo e impariamo a calcolare

Dettagli

Numeri naturali numeri naturali minore maggiore Operazioni con numeri naturali

Numeri naturali numeri naturali minore maggiore Operazioni con numeri naturali 1 Numeri naturali La successione di tutti i numeri del tipo: 0,1, 2, 3, 4,..., n,... forma l'insieme dei numeri naturali, che si indica con il simbolo N. Tale insieme si può disporre in maniera ordinata

Dettagli

RICHIAMI SULLE MATRICI. Una matrice di m righe e n colonne è rappresentata come

RICHIAMI SULLE MATRICI. Una matrice di m righe e n colonne è rappresentata come RICHIAMI SULLE MATRICI Una matrice di m righe e n colonne è rappresentata come A = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n............ a m1 a m2... a mn dove m ed n sono le dimensioni di A. La matrice A può

Dettagli

Funzioni. Il concetto di funzione nasce da quello di corrispondenza fra grandezze. Tale corrispondenza può essere data in svariati modi:

Funzioni. Il concetto di funzione nasce da quello di corrispondenza fra grandezze. Tale corrispondenza può essere data in svariati modi: Funzioni Il concetto di funzione nasce da quello di corrispondenza fra grandezze. Tale corrispondenza può essere data in svariati modi: da un rilevamento empirico da una formula (legge) ESEMPI: 1. la temperatura

Dettagli

ESERCIZI APPLICAZIONI LINEARI

ESERCIZI APPLICAZIONI LINEARI ESERCIZI APPLICAZIONI LINEARI PAOLO FACCIN 1. Esercizi sulle applicazioni lineari 1.1. Definizioni sulle applicazioni lineari. Siano V, e W spazi vettoriali, con rispettive basi B V := (v 1 v n) e B W

Dettagli

(V) (FX) Z 6 è un campo rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto.

(V) (FX) Z 6 è un campo rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto. 29 giugno 2009 - PROVA D ESAME - Geometria e Algebra T NOME: MATRICOLA: a=, b=, c= Sostituire ai parametri a, b, c rispettivamente la terzultima, penultima e ultima cifra del proprio numero di matricola

Dettagli

Il simbolo. è è = = = In simboli: Sia un numero naturale diverso da zero, il radicale. Il radicale. esiste. esiste 0 Il radicale

Il simbolo. è è = = = In simboli: Sia un numero naturale diverso da zero, il radicale. Il radicale. esiste. esiste 0 Il radicale Radicali 1. Radice n-esima Terminologia Il simbolo è detto radicale. Il numero è detto radicando. Il numero è detto indice del radicale. Il numero è detto coefficiente del radicale. Definizione Sia un

Dettagli

f il sottoinsieme D f di A dei valori che può assumere la variabile indipendente x. Talvolta indicheremo il dominio della funzione f con dom (f).

f il sottoinsieme D f di A dei valori che può assumere la variabile indipendente x. Talvolta indicheremo il dominio della funzione f con dom (f). Liceo Scientico Paritario Ven. A. Luzzago di Brescia. Classe 5A - Anno Scolastico 2014/2015 - Prof. Simone Alghisi 1 Le funzioni (1.1) Denizione Siano A e B due insiemi. Una funzione f : A B é una legge

Dettagli

Teoria degli insiemi

Teoria degli insiemi Teoria degli insiemi pag 1 Easy Matematica di dolfo Scimone Teoria degli insiemi Il concetto di insieme si assume come primitivo, cioè non riconducibile a concetti precedentemente definiti. Sinonimi di

Dettagli

Lezione 9: Cambio di base

Lezione 9: Cambio di base Lezione 9: Cambio di base In questa lezione vogliamo affrontare uno degli argomenti piu ostici per lo studente e cioè il cambio di base all interno di uno spazio vettoriale, inoltre cercheremo di capire

Dettagli

PROPRIETA' ASSOCIATIVA La somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si sostituisce la loro somma.

PROPRIETA' ASSOCIATIVA La somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si sostituisce la loro somma. Addizione: PROPRIETA' COMMUTATIVA Cambiando l'ordine degli addendi la somma non cambia. 1) a + b = b + a PROPRIETA' ASSOCIATIVA La somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si

Dettagli

Proof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme

Proof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme G Pareschi Principio di induzione Il Principio di Induzione (che dovreste anche avere incontrato nel Corso di Analisi I) consente di dimostrare Proposizioni il cui enunciato è in funzione di un numero

Dettagli

LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE

LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE Sia f:a B una funzione tra due insiemi. Se y appartiene all immagine di f si chiama fibra di f sopra y l insieme f -1 y) ossia l insieme di tutte le controimmagini

Dettagli

1. PRIME PROPRIETÀ 2

1. PRIME PROPRIETÀ 2 RELAZIONI 1. Prime proprietà Il significato comune del concetto di relazione è facilmente intuibile: due elementi sono in relazione se c è un legame tra loro descritto da una certa proprietà; ad esempio,

Dettagli

SOMMARIO. 13.1 I radicali pag. 3. 13.2 I radicali aritmetici pag. 5. 13.3 Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag.

SOMMARIO. 13.1 I radicali pag. 3. 13.2 I radicali aritmetici pag. 5. 13.3 Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag. SOMMARIO CAPITOLO : I RADICALI. I radicali pag.. I radicali aritmetici pag.. Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag.. Potenza di un radicale aritmetico pag.. Trasporto di un fattore esterno

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ INSIEMISTICA \ TEORIA DEGLI INSIEMI (1)

APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ INSIEMISTICA \ TEORIA DEGLI INSIEMI (1) ALGEBRA \ INSIEMISTICA \ TEORIA DEGLI INSIEMI (1) Un insieme è una collezione di oggetti. Il concetto di insieme è un concetto primitivo. Deve esistere un criterio chiaro, preciso, non ambiguo, inequivocabile,

Dettagli

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1 Le funzioni continue A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. -3 A. Pisani, appunti di Matematica 1 Nota bene Questi appunti sono da intendere come guida allo studio e come riassunto di quanto illustrato

Dettagli

Rappresentazione dei numeri in un calcolatore

Rappresentazione dei numeri in un calcolatore Corso di Calcolatori Elettronici I A.A. 2010-2011 Rappresentazione dei numeri in un calcolatore Lezione 2 Università degli Studi di Napoli Federico II Facoltà di Ingegneria Rappresentazione dei numeri

Dettagli

Lezioni di Geometria e Algebra. Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio

Lezioni di Geometria e Algebra. Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio Lezioni di Geometria e Algebra Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio CAPITOLO 0 Preliminari.. Insiemistica e logica Il presente Capitolo introduttivo ha lo scopo di ripassare alcuni argomenti

Dettagli

Schemi delle Lezioni di Matematica Generale. Pierpaolo Montana

Schemi delle Lezioni di Matematica Generale. Pierpaolo Montana Schemi delle Lezioni di Matematica Generale Pierpaolo Montana Al-giabr wa al-mukabalah di Al Khuwarizmi scritto approssimativamente nel 820 D.C. Manuale arabo da cui deriviamo due nomi: Algebra Algoritmo

Dettagli

Algebra Lineare e Geometria

Algebra Lineare e Geometria Algebra Lineare e Geometria Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica A.A. 2013-2014 Prova d esame del 16/06/2014. 1) a) Determinare la matrice associata all applicazione lineare T : R 3 R 4 definita da

Dettagli

I Numeri Complessi. Si verifica facilmente che, per l operazione di somma in definita dalla (1), valgono le seguenti

I Numeri Complessi. Si verifica facilmente che, per l operazione di somma in definita dalla (1), valgono le seguenti Y T T I Numeri Complessi Operazioni di somma e prodotto su Consideriamo, insieme delle coppie ordinate di numeri reali, per cui si ha!"# $&% '( e )("+* Introduciamo in tale insieme una operazione di somma,/0"#123045"#

Dettagli

MODULI INIETTIVI. Definizione: Un inclusione di A-moduli ι : M N si dice estensione essenziale di M se per ogni sottomodulo non nullo P N, P ι(m) 0.

MODULI INIETTIVI. Definizione: Un inclusione di A-moduli ι : M N si dice estensione essenziale di M se per ogni sottomodulo non nullo P N, P ι(m) 0. MODULI INIETTIVI Definizione: Un inclusione di A-moduli ι : M N si dice estensione essenziale di M se per ogni sottomodulo non nullo P N, P ι(m) 0. Esempio: Supponiamo che A sia un dominio e chiamiamo

Dettagli

ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA

ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA 1. RICHIAMI SULLE PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI Ho mostrato in un altra dispensa come ricavare a partire dagli assiomi di

Dettagli

SIMULAZIONE TEST ESAME - 1

SIMULAZIONE TEST ESAME - 1 SIMULAZIONE TEST ESAME - 1 1. Il dominio della funzione f(x) = log (x2 + 1)(4 x 2 ) (x 2 2x + 1) è: (a) ( 2, 2) (b) ( 2, 1) (1, 2) (c) (, 2) (2, + ) (d) [ 2, 1) (1, 2] (e) R \{1} 2. La funzione f : R R

Dettagli

PROVA DI VERIFICA DEL 24/10/2001

PROVA DI VERIFICA DEL 24/10/2001 PROVA DI VERIFICA DEL 24/10/2001 [1] Il prodotto di due numeri non nulli è maggiore di zero se: a. il loro rapporto è maggiore di zero, b. il loro rapporto è minore di zero, c. il loro rapporto è uguale

Dettagli

IL CONCETTO DI FUNZIONE

IL CONCETTO DI FUNZIONE IL CONCETTO DI FUNZIONE Il concetto di funzione è forse il concetto più importante per la matematica: infatti la matematica e' cercare le cause, le implicazioni, le conseguenze e l'utilità di una funzione

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti. Determinare kπ/ [cos] al variare di k in Z. Ove tale ite non esista, discutere l esistenza dei iti laterali. Identificare i punti di discontinuità della funzione

Dettagli

1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali

1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali 1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali Definizione 1 (Applicazioni lineari) Si chiama applicazione lineare una applicazione tra uno spazio vettoriale ed uno spazio vettoriale sul campo tale che "!$%!

Dettagli

Esercizio 1 Dato il gioco ({1, 2, 3}, v) con v funzione caratteristica tale che:

Esercizio 1 Dato il gioco ({1, 2, 3}, v) con v funzione caratteristica tale che: Teoria dei Giochi, Trento, 2004/05 c Fioravante Patrone 1 Teoria dei Giochi Corso di laurea specialistica: Decisioni economiche, impresa e responsabilità sociale, A.A. 2004/05 Soluzioni degli esercizi

Dettagli

Anno 5 4. Funzioni reali: il dominio

Anno 5 4. Funzioni reali: il dominio Anno 5 4 Funzioni reali: il dominio 1 Introduzione In questa lezione impareremo a definire cos è una funzione reale di variabile reale e a ricercarne il dominio. Al termine di questa lezione sarai in grado

Dettagli

Corso Integrato: Matematica e Statistica. Corso di Matematica (6 CFU)

Corso Integrato: Matematica e Statistica. Corso di Matematica (6 CFU) Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Agrarie Corso Integrato: Matematica e Statistica Modulo: Matematica (6 CFU) (4 CFU Lezioni +2 CFU Esercitazioni) Corso di Laurea in Tutela e Gestione del territorio

Dettagli

Il principio di induzione e i numeri naturali.

Il principio di induzione e i numeri naturali. Il principio di induzione e i numeri naturali. Il principio di induzione è un potente strumento di dimostrazione, al quale si ricorre ogni volta che si debba dimostrare una proprietà in un numero infinito

Dettagli

MATEMATICA DEL DISCRETO elementi di teoria dei grafi. anno acc. 2009/2010

MATEMATICA DEL DISCRETO elementi di teoria dei grafi. anno acc. 2009/2010 elementi di teoria dei grafi anno acc. 2009/2010 Grafi semplici Un grafo semplice G è una coppia ordinata (V(G), L(G)), ove V(G) è un insieme finito e non vuoto di elementi detti vertici o nodi di G, mentre

Dettagli

Funzione reale di variabile reale

Funzione reale di variabile reale Funzione reale di variabile reale Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale, di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento A x A

Dettagli

( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali

( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali Equazioni irrazionali Definizione: si definisce equazione irrazionale un equazione in cui compaiono uno o più radicali contenenti l incognita. Esempio 7 Ricordiamo quanto visto sulle condizioni di esistenza

Dettagli