Teoria degli insiemi

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1 Teoria degli insiemi pag 1 Easy Matematica di dolfo Scimone Teoria degli insiemi Il concetto di insieme si assume come primitivo, cioè non riconducibile a concetti precedentemente definiti. Sinonimi di insieme sono: collezione, aggregato, classe, ecc.. E importante che esista un criterio atto a stabilire in modo univoco se un elemento appartiene o no all insieme. d esempio l insieme delle vocali dell alfabeto latino è un insieme, mentre l insieme dei libri divertenti non è un insieme perché il criterio per stabilire se un libro è divertente o meno è soggettivo. Gli insiemi vengono indicati con lettere latine maiuscole,, C,. Gli oggetti che compongono un insieme prendono il nome di elementi e vengono indicati con lettere latine minuscole : a, b, c, Per indicare che un elemento a appartiene all insieme si scrive: a Il simbolo deriva dal latino est e prende il nome di simbolo di appartenenza, mentre è il simbolo di non appartenenza. Un insieme privo di elementi prende il nome di insieme vuoto e si denota con il simbolo. Rappresentazione di un insieme Nella teoria degli insiemi vengono usati tre modi per rappresentare un insieme: 1. Rappresentazione tabulare: consiste nell elencare tutti gli elementi dell insieme che = aeiou ; ;; ; vengono inclusi in parentesi graffe. Es. 2. Rappresentazione mediante i grafici di Eulero-Venn: consiste nel rappresentare un insieme mediante una linea chiusa del piano, all interno della quale gli elementi vengono indicati con dei punti e con delle lettere a fianco di essi. Questi diagrammi o grafici prendono il nome di diagrammi di Eulero-Venn. 3 Rappresentazione mediante una proprietà caratteristica: L insieme viene assegnato mediante una proprietà di cui godono tutti gli elementi dell insieme. Es. = x: x è una vocale dell'alfabeto latino Il simbolo :viene letto tale che.

2 Teoria degli insiemi pag 2 Easy Matematica di dolfo Scimone Sottoinsiemi Dati due insiemi e, si dice che è sottoinsieme di se ogni elemento di è anche elemento di e si indica Si legge anche è contenuto o è incluso in. Def.: Due insiemi e si dicono uguali se sono formati con gli stessi elementi = ovvero ogni elemento dell uno è anche elemento dell altro (non ha importanza l ordine con cui vengono descritti gli insiemi) x x = = [ ] ovvero [ ] Es. { a; bcd ; ; } = { bcad ; ; ; } Si dice che è un sottoinsieme proprio di se e se esiste almeno un elemento di che non sia elemento di ( ) x x e y : y [ ] Es. = { aeiou ; ;; ; } = { aou ; ; } L insieme vuoto viene considerato come sottoinsieme di ogni insieme, e fra i sottoinsiemi di si considera stesso, per cui ogni insieme non vuoto possiede due sottoinsiemi: se stesso e l insieme vuoto, che prendono il nome di sottoinsiemi banali. Per evitare contraddizioni logiche considereremo gli insiemi come sottoinsiemi di un insieme detto insieme universale o ambiente, che è un insieme tale da contenere come sottoinsiemi tutti gli insiemi che ci interessano. Insieme delle parti ssegnato un insieme, consideriamo tutti i sottoinsiemi che si possono formare con gli elementi di. Chiamiamo insieme delle parti di e lo indichiamo con P( ) l insieme i cui elementi sono tutti i sottoinsiemi di. Esempio: = { abc ; ; } Si ha P( ) = ;{ a} ;{ b} ;{ c} ;{ ab ; }{ ac ; }{ bc ; }{ abc ; ; } Se l insieme è formato da n elementi, l insieme delle parti P( ) è formato da 2 n elementi Dim. : Ogni sottoinsieme di è formato da k elementi di dove 0 k n bbiamo quindi tanti sottoinsiemi di con k elementi quante sono le combinazioni di n n oggetti a k a k, cioè k Il numero N di elementi di P() sarà n n N = k = 0 k

3 Teoria degli insiemi pag 3 Easy Matematica di dolfo Scimone pplicando la formula del binomio di Newton avremo n n n k n k ( a + b) = a b k= 0 k ponendo a = 1, b= 1 avremo n n k n k n N = 1 1 = 2 k = 0 k Operazioni sugli insiemi Unione di insiemi Dati due insiemi e definiamo unione di e l insieme formato dagli elementi che appartengono ad o a o a entrambi e lo denotiamo con. = x: x x Intersezione di insiemi Dati due insiemi e definiamo intersezione di e l insieme formato dagli elementi che appartengono sia ad, sia a. Si ha: = x: x x Differenza di insiemi Dati due insiemi e, si dice differenza fra e l insieme formato dagli elementi di che non appartengono a

4 Teoria degli insiemi pag 4 Easy Matematica di dolfo Scimone \ = = x: x x Insieme complementare Sia S un insieme qualunque ed un suo sottoinsieme S. Si dice complementare di in S e si indica con S od anche, l insieme degli elementi di S che non appartengono ad. Si ha anche = S S \ Differenza simmetrica Supponiamo che e siano sottoinsiemi di S. Siano e i loro complementari. Si ha: = ( )\( ) = ( ) ( ) Pertanto: La differenza simmetrica è l insieme degli elementi di che non appartengono a e l insieme degli elementi di che non appartengono ad. Proprietà formali delle operazioni tra insiemi = infatti { : } { : } = idempotenza dell intersezione = x x x = x x = idempotenza dell unione

5 Teoria degli insiemi pag 5 Easy Matematica di dolfo Scimone = è evidente perché l insieme vuoto è sottoinsieme di qualsiasi insieme = è conseguenza del fatto che e proprietà commutativa = = Si può dimostrare usando tabelle simili alle tabelle di verità. Proprietà associativa ( = ( ) C C C ( ( ) C ( = ( ) C C C ( ( ) C Proprietà distributive dell intersezione rispetto all unione, sia a destra che a sinistra ( = ( ) (

6 Teoria degli insiemi pag 6 Easy Matematica di dolfo Scimone ( ) C = ( ( Proprietà distributive dell unione rispetto all intersezione, sia a destra che a sinistra ( = ( ) ( ( ) C = ( ( Si ha inoltre \ = \ = = = = U Leggi di De Morgan 1. = 2. = Prodotto cartesiano Dati due insiemi e non vuoti, definiamo prodotto cartesiano di e (nell ordine) l insieme delle coppie ordinate ( ab, ) con a ; b ; cioè {( ; ): } = a b a b Se cioè il prodotto cartesiano non gode della proprietà commutativa. Se = è un insieme diverso da (perché è formato dalle coppie ordinate degli elementi di ). Si ha 2 = Se = o = non è possibile formare alcuna coppia in quanto l insieme vuoto è privo di elementi. S ha quindi: = = = Proprietà distributiva del prodotto cartesiano rispetto all unione (a sinistra e a destra) ssegnati gli insiemi,, C avremo ( = ( ) ( Dim. ( a; b) ( a ; b C a ; b oppure a ; b C [ ] [ ] [ ] [( a; b) oppure ( a; b) C] [( a; b) ( ) ( ] Inversamente avremo

7 Teoria degli insiemi pag 7 Easy Matematica di dolfo Scimone [( ab ; ) ( ) ( ] [( ab ; ) oppure ( ab ; ) C] [ a ; b oppure a ; b C] [ a ; b oc] [ a ; b C] [( a; b) ( ] Proprietà distributiva del prodotto cartesiano rispetto all intersezione (a sinistra e a destra) ( = ( ) ( vremo: [( ab ; ) ( ] [ a b ; C] [ a b ; C] ( ab ; ) ( ab ; ) C ( ab ; ) ( ) C [ ] [ ] Inversamente [( ab ; ) ( ) ( ] [( ab ; ) ( ab ; ) C] a b ; a b ; C a b ; C ( ab ; ) ( [ ] [ ] [ ] Relazioni tra insiemi Dati due insiemi non vuoti e dicesi relazione binaria una proprietà R tale che per ogni coppia ( xy ; ) del prodotto cartesiano sia vera una ed una sola delle due affermazioni: a) la coppia ordinata ( xy ; ) soddisfa la proprietà R xr y b) la coppia ordinata ( xy ; ) non soddisfa la proprietà R x R y La relazione prende il nome di binaria perché è definita fra la coppia ( xy ; ) con x e y Il sottoinsieme di sul quale è definita la relazione R prende il nome di dominio della relazione. L insieme degli elementi corrispondenti in prende il nome di codominio della relazione. Pertanto una relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano perché la relazione è il sottoinsieme costituito da tutte e sole le coppie ordinate che verificano la condizione. Possiamo quindi dire che: Una relazione binaria fra e è un sottoinsieme del prodotto cartesiano. Esempio: 1,2,3,4,5,6,7,8 = 2,4,6,8,10,12 Sia = E sia arb a è un divisore di b Il grafico sarà il sottoinsieme di formato dai punti segnati con il pallino

8 Teoria degli insiemi pag 8 Easy Matematica di dolfo Scimone (5,10) 5R 10 perché 5 10 Esempio xr y = x+ y è un numero pari Se = avremo una relazione binaria su. Proprietà di una relazione Sia R una relazione sull insieme. La relazione è: riflessiva se: a ;( a, a) R ovvero ar a simmetrica se: ab, ;( ab, ) R ( ba, ) R ovvero arb br a transitiva se: abc,, ; ( ab, ) Re( bc, ) R ( ac, ) R ovvero arb brc ar c [ ] antisimmetrica se: a, b ; ( a, b) R ( b, a) R a= b ovvero arb bra a = b [ ]

9 Teoria degli insiemi pag 9 Easy Matematica di dolfo Scimone Relazione di equivalenza Sia R una relazione definita in un insieme. La relazione R è chiamata relazione di equivalenza se gode delle tre proprietà: riflessiva, simmetrica e transitiva: 1. a ar a riflessiva 2. a, b arb br a simmetrica 3. a, bc, ( arb brc) ar c transitiva Una relazione di equivalenza spesso si indica con il simbolo o Partizione di un insieme Insieme quoziente Definizione: ssegnato un insieme, si dice partizione di una famiglia F di sottoinsiemi non vuoti di tale che: 1. nessun sottoinsieme di F è vuoto 2. a due a due i sottoinsiemi di F sono disgiunti ( due insiemi si dicono disgiunti se la loro intersezione è l insieme vuoto) 3. l unione dei sottoinsiemi di G dà l insieme Pertanto assegnata una partizione di ogni elemento appartiene ad uno e un solo sottinsieme di F Sa assegnata tra gli elementi di un insieme una relazione di equivalenza ε. Definizione: Dato un x si dice classe di equivalenza X l insieme degli elementi x' x' ε x X = x': x' ε x tali che, cioè Inoltre se X è una classe di equivalenza un qualunque elemento x basta per individuare la classe X che pertanto potrà essere scritta con [ x ] e quindi [ x] = X. Si ha ' [ ] [ '] rappresentano la stessa classe xε x x = x = X per cui se x e ' x sono equivalenti Teorema: Data in una relazione di equivalenza ε, le classi di equivalenza determinano una partizione di. Inversamente assegnata in una partizione e la relazione ε, se x e x ' appartengono allo stesso sottoinsieme è una relazione di equivalenza. Definizione: Si dice insieme quoziente di rispetto alla relazione ε l insieme delle classi di equivalenza (cioè l insieme i cui elementi sono le classi di equivalenza) determinate da ε nell insieme e si indica con ε. Esempio: relazione di parallelismo. Premettiamo la seguente definizione. Due rette del piano si dicono parallele se non hanno alcun punto in comune o se coincidono. La relazione di parallelismo è una relazione di equivalenza. Essa gode delle proprietà: 1. riflessiva r// r 2. simmetrica r// s s// r

10 Teoria degli insiemi pag 10 Easy Matematica di dolfo Scimone r // s s// t r// t 3. transitiva ( ) Per cui possiamo effettuare una partizione in classi di equivalenza. Ciascuna classe sarà quindi una direzione (dove per direzione intendiamo una classe di rette parallele). Relazione d ordine Sia un insieme ed R una relazione su. Si dice che R è una relazione d ordine (parziale) se: 1. R è riflessiva ar a 2. R è antisimmetrica arb bra a = b 3. R è transitiva arb brc ar c Se la relazione vale a, b l insieme si dice totalmente ordinato. In generale una relazione d ordine viene indicata con. Definizione: Una relazione d ordine prende il nome di relazione d ordine stretto se gode delle proprietà: 1. transitiva x, yz, x< y y< z x< z 2. tricotomia x, y si verifica una ed una sola delle relazioni x= y x< y y< x pplicazioni o funzioni Definizione: Dati due insiemi e definiamo applicazione o funzione f di in una legge che associa ad ogni elemento x dell insieme uno e un solo elemento y dell insieme. Si ha: f f : o e si legge applicazione f di in. Il dominio della corrispondenza è tutto l insieme ; l immagine di ogni elemento di è un solo elemento di y = f ( x) ; l immagine di f che verrà indicata con imf è un sottoinsieme di che si chiama anche codominio di f. Im f = y : x : y = f( x) (non si può escludere che a più elementi di corrisponda lo stesso elemento in ) Funzioni suriettive Una funzione f : si dice suriettiva o applicazione di su se ogni elemento di immagine di almeno un elemento di. f( ) = o y x : f( x) = y

11 Teoria degli insiemi pag 11 Easy Matematica di dolfo Scimone Funzioni iniettive Si dice che f : è iniettiva se ad elementi distinti x corrispondono elementi distinti y, cioè y Im f! x : y = f( x) Funzioni biunivoche Una funzione f : si dice biiettiva o biunivoca se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva. Risulta: f( ) = e x, x' f( x) f( x') ovvero: y! x : y = f( x) Funzioni composte

12 Teoria degli insiemi pag 12 Easy Matematica di dolfo Scimone Date le funzioni f : e g : C si dice che la funzione ϕ : C è funzione composta delle due funzioni f e g se esiste una legge f che fa corrispondere ad ogni elemento x uno e un solo y ed una legge g che fa corrispondere ad ogni y f( ) uno e un solo z C. vremo quindi: z ϕ( x) z = g f( x) = e quindi [ ] ovvero: ϕ = g f dove ϕ = g f( x) = g[ f( x) ] Funzioni inverse Se f : è una funzione biunivoca. Possiamo definire la funzione inversa di f f 1 : nel seguente modo. ssegnato un elemento y si ha che elemento x : y = f( x) x Se f : non è biunivoca la funzione inversa di f non può essere definita. f 1 ( y) è l unico Se f : non è suriettiva y per il quale non esistono elementi x : y = f( x), mentre se f : non è iniettiva esistono elementi y che sono immagini di diversi x