Alcuni Preliminari. Prodotto Cartesiano

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1 Alcuni Preliminari Prodotto Cartesiano Dati due insiemi A e B, si definisce il loro prodotto cartesiano A x B come l insieme di tutte le coppie ordinate (a,b) con a! A e b! B. Es: dati A= {a,b,c} e B={,2,3} A x B = {(a,),(b,),(c,),(a,2),(b,2),(c,2),(a,3),(b,3),(c,3) } Relazioni Una relazione binaria R su due insiemi A e B è un sottoinsieme del prodotto cartesiano AxB costituito da coppie ordinate (a,b) con a! A e b! B Es: { (a,),(b,),(a,2),(b,2),(b,3) } è una relazione binaria su {a,b,c} {,2,3} In modo analogo si definiscono le relazioni unarie, ternarie, n-arie

2 Alcuni Preliminari Relazioni L insieme di tutti gli oggetti x tali che (x,y)! R per qualche y costituisce il dominio di R e viene indicato con dom (R). L insieme di tutti gli oggetti y tali che (x,y)! R per qualche x costutuisce il codominio di R e viene indicato con codom (R). L unione del dominio e del codominio costituisce l Estensione E di una relazione ed è rappresentata da: E (R) = dom (R) " codom (R) Es: dato il prodotto cartesiano A x B = {(a,),(b,),(c,),(a,2),(b,2),(c,2),(a,3),(b,3),(c,3) } La relazione R ={ (a,),(b,),(a,2),(b,2),(b,3) } ha per estensione: { a, b,,2 }

3 Alcuni Preliminari Funzione Una funzione da A a B è una relazione binaria R su A e B con la seguente proprietà: per ciascun elemento a! A esiste una sola coppia ordinata in R avente a come prima componente. Es: C= insieme di città italiane, S= insieme delle regioni R = {(x,y) : x! C, y! S, e x è una città della regione y } R 2 = {(x,y) : x! S, y! C, e y è una città della regione x } R è una funzione in quanto una città può far parte solo di una unica regione R 2 non è una funzione in quanto una regione può avere più città Una funzione viene indicata con f: A#B In cui A rappresenta il dominio e B rappresenta il codominio

4 Alcuni Preliminari Proprietà delle relazioni Data una relazione binaria R su un insieme A (dominio) diciamo che: R è riflessiva se (a,a)! R per ogni a!a R è irriflessiva se (a,a) $ R per ogni a!a R è simmetrica se per ogni (a,b)! R si ha (b,a)! R R è asimmetrica se (a,b)! R implica (b,a) $ R R è antisimmetrica se (a,b)! R e (b,a)! R implica a = b oppure se (a,b)! R e a e b sono distinti allora (b,a) $ R oppure se a e b sono distinti o (a,b) $ R o (b,a) $ R R è transitiva se (a,b)! R e (b,c)! R comporta che (a,c)! R

5 Alcuni Preliminari Esempi Essere sposati con sull insieme delle persone Non riflessiva Simmetrica Non transitiva Essere padre di sull insieme delle persone Non riflessiva Non Simmetrica (Asimmetrica) Non transitiva Essere avo di sull insieme delle persone Essere fratello maschio di sull insieme delle persone Non riflessiva Non Simmetrica (Asimmetrica) Transitiva Non riflessiva Non Simmetrica Transitiva

6 Rappresentazione di relazioni Alcuni Preliminari Le relazioni n-arie vengono in genere visualizzate tramite tabelle a n colonne. Se la relazione R è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A % A 2 %,, A n, la colonna i-esima della tabella che la rappresenta conterrà gli elementi dell insieme A i che fanno parte di n-ple per cui la relazione vale. Esempio La seguente tabella rappresenta una parte di una relazione quaternaria che associa ad un certo insieme di persone la città, l anno di nascita e la città di residenza. Rossi Firenze 980 Roma Bianchi Livorno 975 Livorno Neri Siena 976 Firenze

7 Rappresentazione di relazioni binarie Alcuni Preliminari Una relazione binaria può essere rappresentata mediante una matrice booleana a valori in {0,}. Se A= {a, a 2,, a n } e B = {b, b 2,, a m } sono due insiemi finiti rispettivamente di cardinalità n e d m. Una relazione R & A % B può essere rappresentata tramite una matrice booleana M R di n righe e di m colonne (che corrispondono rispettivamente agli n elementi di A e agli m elementi di B) avente gli elementi così definiti: m ij = 0 sse (a i, b j )! R altrimenti Se una relazione binaria G è definita su un insieme V: G & V % V la relazione binaria può essere rappresentata mediante un grafo orientato (detto anche grafo diretto o digrafo). Gli elementi di V sono detti vertici o nodi del grafo e gli elementi di G sono detti archi.

8 Alcuni Preliminari Esempio Si consideri un insieme di vertici V= {v, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6,} ed una relazione binaria G & V % V data da: {(v, v ), (v, v 2 ), (v, v 3 ), (v 2, v ), (v 4, v 3 ), (v 4, v 5 ), (v 5, v 6 ), (v 6, v 6 )} v v v v v 2 v v 4 v 4 v v 5 v 5 v 6 v 6 v 6 v v 2 v 6 v 3 v 5 v 4 Tabella Matrice booleana Digrafo

9 Alcuni Preliminari A C B A C '= {(a,a) a! A} ovvero ' è la relazione di eguaglianza su A, ' è riflessiva poiché (a,a)! ' per ciascun a! A B Amico-di simmetrica ma non riflessiva Relazione binaria! Definita sui numeri naturali Antisimmetrica, riflessiva, Transitiva

10 Alcuni Preliminari simmetrica simmetrica Antisimmetrica+ non asimmetrica Antisimmetrica + non asimmetrica Antisimmetrica + asimmetrica

11 Relazione di Equivalenza Alcuni Preliminari Una Relazione R che sia riflessiva,simmetrica e transitiva è detta una relazione di equivalenza. Una relazione di equivalenza è rappresentabile da un grafo non diretto costituito da un insieme di cluster in cui ciascuna coppia di nodi è connesso da una linea. Data una relazione di equivalenza R su un insieme A, la classe di equivalenza di un elemento a! A indicata con [a] è definita come [a] = {b (a, b)! R } Teorema: Dato un insieme A non vuoto, le classi di equivalenza su A costituiscono una partizione di A. Definizione - Data una relazione di equivalenza R in A, la partizione che essa determina si dice insieme quoziente di A rispetto a R, e si indica con A/R oppure A R Es: La relazione x R y sui naturali definita come x R y sse (x mod n)= (y mod n) è una relazione di equivalenza. Nel caso n = 5, le classi di equivalenza sono [0], [], [2], [3], [4], mentre l insieme quoziente è {[0], [], [2], [3], [4]} indicato talvolta con ( 5

12 Alcuni Preliminari Preordine: Relazione binaria R su un insieme A che sia contemporaneamente riflessiva e transitiva Ordine parziale: Relazione binaria con proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva Es: Se P è l insieme delle persone {(a,b): a,b! P e a è antenato-di b} È una relazione di ordine parziale (se si considera una persona antenato di se stesso) Ordine Totale: è un ordinamento parziale in cui o (a,b)! R oppure (b,a)! R Es: la relazione! sui numeri (interi, reali,...) è un ordine totale.

13 Chiusure Chiusure Sia R una relazione su un insieme A. Si chiama chiusura di R la più piccola relazione R contenente R. Chiusura riflessiva Sia R è una relazione non riflessiva, ovvero alcune coppie della diagonale ' non sono in R. Si definisce chiusura riflessiva di R la relazione data da R = R"'. [se si rappresenta la relazione come un grafo ciò equivale a creare un arco su se stesso per ogni vertice] Chiusura simmetrica Sia R una relazione non simmetrica, ovvero per alcune coppie (x,y)! R si ha che (y,x) $R. Ovviamente (y,x)! R -, in cui R - rappresenta l inversa della relazione R ovvero: b R - a sse a R b Si definisce chiusura simmetrica la relazione data da R = R" R - [se si rappresenta la relazione come un grafo ciò equivale a togliere l orientamento dagli archi]

14 Chiusura transitiva Dato un grafo G=(N,A) diretto o non diretto di dice la chiusura transitiva quel grafo G*=(N,A*) in cui esiste un arco tra i nodi i e j se esiste un cammino tra i e j Il calcolo della chiusura transitiva di può fare applicando ripetutamente l algoritmo di Dijkstra avendo dato un peso unitario ai singoli archi

15 Chiusura transitiva 2 Algoritmo basato sulla matrice di adiacenza C = Si definiscono potenze successive con l algoritmo simile al prodotto righe per colonne per matrici. C 2 [i,j] =! n k= ( C[ i, k] " C[k,j]) C 2 [i,j] = se e solo se # un nodo k tale che: i k-- ---j Es: C 2 [i,i] = C 2 [,2] = 0 C 2 [,3] = C 2 =

16 C 3 [i,j] =! n k= ( C[ i, k] " C2 [k,j]) Chiusura transitiva 3 Per cui C 3 [i,j] = se # almeno un nodo k tale che 2 i k j cioè un cammino lungo 3 archi In generale C l [i,j] = con l! n se esiste un cammino lungo l archi che collega i a j. Teorema: Sia I la matrice identità. La matrice CT = I!C! C 2!.! C n definita come: CT[i,j] =! n k= Ck [i,j] se i $ j se i = j è la chiusura transitiva di G

17 Chiusura transitiva 4 Algoritmo di Warshall Per k =0,,2,,n si definisce la matrice M k (n x n) nel seguente modo: M k [i,j] = se esiste un cammino tra i e j passante attraverso un sottoinsieme dei nodi,2, k, negli altri casi si pone M k [i,j] = 0 Posto M 0 = I! C si ha che M n [i,j] = se esiste un cammino tra i e j che usa i nodi,2,, n pertanto M n = CT Si eseguono n iterazioni. All iterazione k avendo verificato per ogni coppia l esistenza o meno di un cammino che passa per un sottoinsieme dei nodi,2,, k- si cerca un cammino che attraversa i nodi,2..,k-,k. Per cui, dato: i k j M k [i,j] = M k- [i,j] = 0 Quanto vale M k [i,j] =?

18 Chiusura transitiva 5 i Evidentemente, se M k- [i,j] = vuol dire che un percorso esiste già. Mentre se M k- [i,j] = 0, vuol dire che non esiste un percorso passante dai k- nodi esaminati Calcolo dell elemento generico Se M k- [i,j] = si porrà M k [i,j] =. Se M k- [i,j] = 0 si considerano i due elementi M k- [i,k] e M k- [k,j] se sono entrambi vuol dire che esiste un percorso da i a k e da k a j per cui si può porre M k [i,j] =, altrimenti si pone M k [i,j] = 0 k- j i k- k k k- j M k- [i,j] =0 M k- [i,k] = M k- [k,j] = M k [i,j] =

19 Algoritmo di Warshall Inizializza M 0 = I! C for k:= to n do Loop per selezionare la k-esima matrice for i:= to n do for j:= to n do Loop per il prodotto righe per colonne M[i,j] = M [i,j] or M[i,k] and M[k,j] M 0 = K=2. M[,4]= M[,4] or M[,2] and M[2,4] M[,5]= M[,5] or M[,2] and M[2,5]. M[3,4]= M[3,4] or M[3,2] and M[2,4] M[3,5]= M[3,5] or M[3,2] and M[2,5] M[4,5]= M[4,5] or M[4,2] and M[2,5] k=.. M[2,3]= M[2,3] or M[2,] and M[,3] M =

20 Esercizio Calcolare la chiusura transitiva del seguente grafo,valutando l evoluzione dell algoritmo di Warshall

21 Alcuni Preliminari cont. Equinumerosità di insiemi - Si dice che due insiemi A e B sono equinumerosi se esiste una biiezione f: A%B Insiemi finiti - Un insieme si dice finito se è equinumeroso con {,2,3, n} per qualche naturale n. Se A e {,2,3, n} sono equinumerosi allora la cardinalità di A, indicata da A, è n. Insiemi infiniti - Un insieme non finito si dice infinito Un insieme è numerabile se è equinumeroso con N. Un insieme si dice contabile se è finito o numerabile Un insieme non numerabile è non contabile