Note del corso di Calcolabilità e Linguaggi Formali - Lezione 6

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1 Note del corso di Calcolabilità e Linguaggi Formali - Lezione 6 Alberto Carraro 30 novembre DAIS, Universitá Ca Foscari Venezia 1 Funzioni Turing-calcolabili Finora abbiamo visto le TM come dispositivi per riconoscere linguaggi. Tuttavia una importantissima loro applicazione è il loro utilizzo al fine di calcolare funzioni. Definition 1 (Funzione Turing-calcolabile). Sia f : Σ Σ una funzione parziale e sia M una TM. Diciamo che M calcola f se per ogni w Σ abbiamo che: se w dom(f), allora esiste uno stato finale p tale che la computazione che inizia in (ɛ, q 0, w) termina in (ɛ, p, f(w)). se w dom(f), allora la computazione che inizia in (ɛ, q 0, w) non termina. Una funzione è Turing-calcolabile se esiste una TM che la calcola. È chiaro quindi dalla Definizione 1 che f è una funzione Turing-calcolabile totale sse esiste un decisore M tale che per ogni w Σ esiste uno stato finale p tale che la computazione che inizia in (ɛ, q 0, w) termina in (ɛ, p, f(w)). Non è difficile ora generalizzare la Definizione 1 al caso di funzioni di arietà maggiore di 1. Sia f : (Σ ) n Σ una funzione parziale n-aria e sia M una TM. Diciamo che M calcola f se per ogni n-upla (w 1,..., w n ) di stringhe abbiamo che: se (w 1,..., w n ) dom(f), allora esiste uno stato finale p tale che la computazione che inizia in (ɛ, q 0, w 1 B Bw n ) termina in (ɛ, p, f(w 1,..., w n )). se (w 1,..., w n ) dom(f), allora la computazione che inizia in (ɛ, q 0, w 1 B Bw n ) non termina. Si noti che scrivendo w 1 B Bw n intendiamo la stringa ottenuta concatenando le stringhe w 1,..., w n intervallate dal simbolo blank. Similmente si può generalizzare la Definizione 1 anche al caso di funzioni che operano su insiemi finiti di stringhe. Sia f : P f (Σ ) Σ una funzione parziale e sia M una TM. Diciamo che M calcola f se per ogni n-upla (w 1,..., w n ) di stringhe abbiamo che: se {w 1,..., w n } dom(f), allora esiste uno stato finale p tale che per ogni permutazione σ dei numeri da 1 ad n, la computazione che inizia in (ɛ, q 0, w σ(1) B Bw σ(n) ) termina in (ɛ, p, f({w 1,..., w n })) (ovvero il risultato non dipende dall ordine in cui scrivo le stringhe di input sul nastro).

2 2 A. Carraro se {w 1,..., w n } dom(f), allora per ogni permutazione σ dei numeri da 1 ad n, la computazione che inizia in (ɛ, q 0, w σ(1) B Bw σ(n) ) non termina. Remark 1. Se f, g : Σ Σ sono funzioni Turing-calcolabili parziali, allora f g è una funzione Turing-calcolabile parziale. Definition 2 (Turing-riduzione). Siano L, L Σ due linguaggi. Diciamo che L è Turing-riducibile a L, notazione L T L, sse esiste una funzione f : Σ Σ Turing-calcolabile totale tale che w L f(w) L. Proposition 1. (i) Se L T L, allora L c T (L ) c. (ii) Se L T L T L, allora L T L. Quindi T è un preordine. Proof. (i) Supponiamo che f sia una funzione Turing-calcolabile totale tale che w L f(w) L. Allora vale anche w L c f(w) (L ) c e pertanto L c T (L ) c. (ii) Se f, g sono funzioni calcolabili e totali tali che w L f(w) L e x L g(x) L, allora g f è una funzione calcolabile e totale (per la Remark 1) e w L g(f(w)) L. Theorem 1. Siano L, L Σ due linguaggi e supponiamo L T L. Allora (i) se L è decidibile, allora anche L lo è; (ii) se L è semi-decidibile, allora anche L lo è; (iii) se (L ) c è decidibile, allora anche L c lo è; (iv) se (L ) c è semi-decidibile, allora anche L c lo è. Proof. Chiamiamo f la funzione Turing-calcolabile totale che permette di ridurre L ad L e chiamiamo N la TM che la calcola. (i) Supponiamo che L sia decidibile. Allora esiste un decisore M tale che L(M ) = L. Costruisco una TM M che fa le seguenti cose: data una stringa w Σ calcola f(w) simulando N (che è un decisore); simula M sull input f(w); se quest ultima simulazione accetta f(w), allora dico che M accetta w, altrimenti M non accetta w. Siccome tutte le TM simulate sono decisori, anche M è un decisore e L(M) = L. (ii) Supponiamo che L sia semi-decidibile. Allora esiste una TM M tale che L(M ) = L. Costruisco una TM M che fa le seguenti cose: data una stringa w Σ calcola f(w) simulando N (che è un decisore); simula M sull input f(w); se quest ultima simulazione accetta f(w), allora dico che M accetta w. Si noti che l ultima simulazione può non terminare. In questo caso chiaramente M non accetta w. Infine M è una TM tale che L(M) = L. (iii) Per il punto (i) e la Proposizione 1. (iv) Per il punto (ii) e la Proposizione 1.

3 Note del corso di Calcolabilità e Linguaggi Formali - Lezione 6 3 Concludiamo la sezione con un importante osservazione: se A implica B allora non B implica non A. Pertanto abbiamo gratuitamente il seguente corollario al Teorema 1. Corollary 1. Siano L, L Σ due linguaggi e supponiamo L T L. Allora (i) se L non è decidibile, allora nemmeno L lo è; (ii) se L non è semi-decidibile, allora nemmeno L lo è; (iii) se L c non è decidibile, allora nemmeno (L ) c lo è; (iv) se L c non è semi-decidibile, allora nemmeno (L ) c lo è. 2 Macchina di Turing universale Sappiamo, intuitivamente, che una TM può essere utilizzata per simulare un computer che esegue un singolo programma caricato in memoria. La grande potenza delle TM risiede nel fatto che tale programma può essere uno qualsiasi, e quindi anche una sorta di compilatore che legge codifiche di programmi e input ed esegue i primi dandovi in pasto i secondi. In questa sezione descriveremo in maniera formale il fenomeno sopraccitato. Il nostro prossimo obiettivo è quello di elaborare una codifica per le macchine di Turing in modo che ogni TM possa essere pensata come un semplice numero naturale. È molto comodo utilizzare l insieme N dei numeri naturali perchè abbiamo due importanti biiezioni: P f (N) = N e N N = N. Indichiamo con n, m il numero che codifica la coppia (n, m) e con (X) il numero che codifica l insieme finito X N. Utilizzando la funzione, definiamo codifiche di sequenze finite di naturali ponendo induttivamente n 1,..., n k = n 1,..., n k 1, n k. Prima di tutto è importante dire che si può imporre il vincolo che per ogni TM M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, B, F ) gli insiemi Q, Σ siano sottoinsiemi finiti di N e Γ = {0, 1} (ciò non è affatto restrittivo) e che q 0, B, e le direzioni {L, R} siano numeri naturali. Ora la funzione δ non è altro che un insieme finito della forma δ = {((q 1, X 1 ), (p 1, n 1, D 1 )),..., ((q k, X k ), (p k, n k, D k ))} e quindi si può codificare con un unico numero, diciamo m δ. A questo punto possiamo codificare M in maniera univoca con il numero (Q), (Σ), (Γ ), m δ, q 0, (F ). Scriviamo M i per indicare la TM con codice i. In ciò che segue, sarà comodo assegnare un numero naturale ad ogni stringa binaria (e viceversa) in modo che ogni stringa corrisponda ad uno ed un solo numero naturale. Una maniera molto semplice di farlo è ordinare in maniera totale le stringhe binarie secondo l ordine lessicografico. A questo punto ogni stringa appare nell elenco lessicografico e quindi identificheremo il numero i con l i-esima stringa nell elenco. Pertanto la codifica delle TM esibita qui sopra utilizzando i numeri naturali può essere eseguita utilizzando stringhe binarie. Prima di procedere con l utilizzo effettivo delle codifiche per le Macchine di Turing enunciamo un importante risultato, ma senza dimostrarlo, che è alla base della possibilità di costruire quella che chiameremo una Macchina di Turing Universale.

4 4 A. Carraro Proposition 2. Le biiezioni ( ) : P f (N) N e, : N N N sopraccitate sono Turing-calcolabili (usando la codifica dei naturali in stringhe). Definition 3 (Linguaggio universale). Definiamo L u = {w n,m {0, 1} : w n L(M m )}. Chiamiamo L u il linguaggio universale. Theorem 2 (Macchina di Turing universale). Esiste una TM U tale che L(U) = L u. Una macchina come quella citata nel Teorema 2 è detta macchina universale. Non daremo una prova del Teorema 2: tuttavia possiamo garantire che la redazione di tale dimostrazione è paragonabile alla scrittura di un compilatore per un qualche linguaggio di programmazione. Infine, come conseguenza del Teorema 2, il linguaggio L u è semidecidibile. 3 Linguaggi non ricorsivamente enumerabili Definition 4 (Linguaggio diagonale). Definiamo L d = {w i {0, 1} : w i L(M i )}. Chiamiamo L d il linguaggio diagonale. Theorem 3. Il linguaggio L d non è semidecidibile. Proof. Supponiamo per assurdo che esista una TM D tale che L(D) = L d. Allora esiste un numero i tale che D = M i. Ora vediamo l assurdo: se w i L d allora per definizione w i L(M i ), e quindi w i L d se w i L d allora per definizione w i L(M i ), e quindi w i L d Quindi l ipotesi che L d sia semiecidibile è assurda, perché porta al paradosso w i L d w i L d. Definiamo il linguaggio L ne = {w i {0, 1} : L(M i ) }. Proposition 3. L d T (L u ) c T (L ne ) c. Proof. Definiamo la funzione f : {0, 1} {0, 1} ponendo f(w i ) = w i,i. Chiaramente w L d f(w) (L u ) c e f è Turing-calcolabile e totale: questo dimostra che L d T (L u ) c. Dimostriamo L u T L ne. A tal scopo definiamo la funzione g : {0, 1} {0, 1} ponendo g(w n,m ) = w m. Chiaramente w L u g(w) L ne e g è Turing-calcolabile e totale: questo dimostra che L u T L ne. Infine ciò implica che (L u ) c T (L ne ) c. Theorem 4. I linguaggi (L u ) c e (L ne ) c non sono semi-decidibili.

5 Note del corso di Calcolabilità e Linguaggi Formali - Lezione 6 5 Proof. Ora per il Teorema 3 L d non è semi-decidibile e quindi per il Corollario 1 e la Proposizione 3 ciò implica che sia (L u ) c che (L ne ) c non sono semi-decidibili. Theorem 5. Il linguaggio L ne = {w i {0, 1} : L(M i ) } è semidecidibile ma non decidibile. Proof. Tramite un argomento informale, diciamo che è possibile definire una TM M che genera in sequenza tutte le coppie di numeri naturali (i, j) e decodifica i in w i e j in M j ; simula M j con input w i ; accetta w j se w i L(M j ). È evidente che L(M) = L ne. Infine la seconda parte dell enunciato segue immediatamente dal fatto che (L ne ) c non è semi-decidibile.