Fondamenti dell Informatica Ricorsione e Iterazione Simona Ronchi Della Rocca (dal testo: Kfoury, Moll and Arbib, cap.5.2)

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1 Fondamenti dell Informatica Ricorsione e Iterazione Simona Ronchi Della Rocca (dal testo: Kfoury, Moll and Arbib, cap.5.2) Definiamo innanzitutto una relazione d ordine tra le funzioni. Siano φ e ψ funzioni unarie da naturali a naturali: φ ψ (φ è minore di ψ, o φ approssima ψ) se e solo se x dom(φ).φ ψ(x). Cioè, dove la minore è definita, è definita anche la maggiore, e assumono entrambe lo stesso valore. Diciamo inoltre che φ < ψ (φ è strettamente minore di ψ) se e solo se φ ψ ed esiste ameno un valore x dove ψ è definita e φ no. Ad esempio, la funzione: x se x è pari h è tale che h Id e anche h < Id (Id è la funzione identità). Consideriamo una semplice funzione ricorsiva: fatt se x = 0 allora 1 altrimenti x fatt(x 1) fatt può essere approssimata dalla seguente catena di funzioni parziali: fatt (0) 1 se x = 0 tali che: fatt (1) 1 se x = 0, 1 fatt (n) x se x n altrimenti fatt (0) < fatt (1) <... < fatt (n) < fatt () <... Se dobbiamo calcolare il fattoriale del numero m, ci basterà usare una approssimazione fatt (n), con n m. In altre parole, la definizione ricorsiva di una funzione può essere sviluppata all infinito, ma ogni volta che vogliamo calcolarla su di uno specifico valore, il numero degli sviluppi (chiamate ricorsive) è sempre finito e dipe dal valore in input. In altre parole nella computazione reale non ci serve mai tutta la potenza della ricursione. Fatte queste considerazioni preliminari, vogliamo ora mostrare l equivalenza tra ricursione e iterazione. Cioè vogliamo dimostrare il seguente teorema: Teorema. Dato un programma ricorsivo, esiste un programma iterativo che calcola la stessa funzione. 1

2 Estiamo il linguaggio WHILE con una nozione di procedura ricorsiva, come fatto nel testo a pag. 110 (versione inglese), con la semantica operazionale come data informalmente nel testo. Sia FATT il programma così ottenuto. Possiamo scrivere, per ogni n, il programma iterativo che calcola la funzione fatt (n). Sia e l indice del seguente programma, che calcola la funzione ovunque indefinita: Sia F AT T 0 = P e = begin X1 = 1; while X1 0 do begin P e ; Ovviamente F AT T 0 calcola la funzione fatt 0. Sia ora F AT T 0 + il programma F AT T 0 con X3 al posto di X2, cioè modificato nel seguente modo: Sia F AT T 1 = begin X3 := X1; X1 := pred(x1); P e ; X1 := X3 X1 F AT T 0 +; La ridenomina della variabile X2 in X3 è necessaria per poter effettuare il passaggio dei parametri, senza cancellare il dato iniziale. Ovviamente F AT T 1 calcola la funzione fatt 1. Sia f la funzione di riscrittura di programmi tale che, applicata ad un programma di indice i, lo riscrive nel modo seguente, otteno così il programma di indice f(i): begin X 2 := X1; X1 := pred(x1); P i dove ogni variabile X j, con j 2 è rimpiazzata da X j+1 ; 2

3 Quindi F AT T 0 = P f(e), e possiamo allora scrivere F AT T 1 nel modo seguente: P f(e) ; cioè F AT T 1 = P f 2 (e), usando la notazione: f 0 (e) = e, f (e) = f(f n (e)). In generale, la funzione fatt (n) sarà quindi calcolata dal programma F AT T n = P f (e), definito nel modo seguente: P f n (e); In altre parole, φ f (e)(a) = fatt n (a) Teorema. Per ogni n, esiste m tale che fatt (m) (n) = fatt(n). Dimostrazione. Ovvia, basta prere m = n. Possiamo quindi scrivere un programma iterativo, che calcola il fattoriale, calcolando prima quale è l approssimazione necessaria, e poi applicando questa all input? Invece di riferirci solo alla funzione fattoriale, vediamo di porci il problema nel caso più generale. Sia una funzione definita in modo ricorsivo. è approssimata da una catena infinita di funzioni parziali: (0) < (1) <... < (n) < () <... Vale in generale un teorema simile al precedente: Teorema. Per ogni n, esiste m tale che (m) (n) = (n). Possiamo scrivere, analogamente a quanto fatto per il fattoriale, un programma iterativo che calcola ciascuna delle approssimazioni (i) (i 0). Siano K i questi programmi. Ricordiamo che ciscuno di questi programmi richiama al suo interno il programma P e, che cicla indefinitamente. Analogamente a quanto fatto per la funzione fattoriale, possiamo definire una sequenza di programmi, K 0, K 1,... tali che K i calcola la funzione (i). Esiste quindi una funzione di 3

4 riscrittura di programmi, sia f, tale che K n = P f (e). Possiamo scrivere un programma iterativo, che calcola, calcolando prima quale è l approssimazione necessaria, e poi applicando il programma corrispondente all input? Cioè, è possibile implementare il seguente algoritmo, per ogni funzione e programmi K i? Algoritmo A: 2. calcola quale è il minimo m tale che (m) (a) = (a); 3. esegui il programma K m sull input a. NOTA. Questo programma NON è ricorsivo, perchè i programmi che calcolano le approssimazioni (n) sono programmi iterativi. Il problema, per implementare l algoritmo A, è che non possiamo procedere per tentativi, ad esempio provando ad eseguirlo nel modo seguente: 2. poni n = 0; 3. esegui K n sull input a e va a 4; 4. se l esecuzione di K n sull input a è terminata normalmente, esci dando in output il contenuto di X1; 5. se l esecuzione di K n non termina, incrementa n di 1 e torna a 3. infatti tale algoritmo non è implementabile, data l indecidibilità del problema dell alt. Possiamo però rere effettivo l algoritmo, trasformandolo nel modo seguente. Sia F LAG una variabile speciale e sia P u il seguente programma: P u = begin F LAG := 1 e trasformiamo ogni programma K n sostituo, al posto di P e, il programma P u. Quindi K n = P f (u). Ricordiamoci che ogni programma K n ha come indice f (e), e quindi il programma trasformato avrà come indice f (u). La differenza tra P f n (e) e il programma trasformato P f n (u) è che, mentre il primo può ciclare, per particolari valori di input, il programma trasformato termina sempre, e in particolare pone F LAG = 1 in corrispondenza ai valori di input per cui P f n (e) cicla. Possiamo quindi scrivere il seguente algoritmo B: 2. n:=1; 4

5 3. FLAG:=0; esegui P f n (u) (cioè il trasformato di K n ) sull input a. quando la computazione si ferma, va a 4; Se e 4. Se FLAG =1, incrementa n di 1 e va a 3; 5. Se FLAG=0, restituisci in output il valore di X1. Infatti FLAG =1 indica che è stato eseguito P u, il che corrisponderebbe all esecuzione di P e nel programma originale K n. Possiamo scrivere un programma WHILE che realizza l algoritmo B. Sia h la funzione di riscrittura di programmi tale che P h(x) è il programma seguente: begin F LAG := 0; P x dove ogni test C è trasformato in C AND FLAG=0} if F LAG = 0 then X1 := succ(x1) else X1 := 0 Il programma P h(f (u)) calcola la seguente funzione: φ h(f (u)) (a) = φf (e) (a) + 1 = n (a) + 1 se P f n (e) su a non cicla 0 altrimenti Quindi l algoritmo B è implementato dal seguente programma: begin N := 0; while Φ(h(f N (u)), X1) = 0 do N := succ(n); X1 := pred(φ(h(f N (u)), X1)) che calcola quindi, in modo iterativo, la funzione. Quindi abbiamo dimostrato il teorema voluto: Theorema Per ogni programma ricorsivo, c è un programma iterativo che calcola la stessa funzione. 5