Corrispondenze e relazioni - Complementi

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1 PRODOTTO CARTESIANO Nell elencare gli elementi di un insieme, l ordine non ha alcuna importanza; ma ci sono situazioni in cui l ordine con cui si indicano gli elementi è fondamentale. La partita Milan Inter non rappresenta la stessa situazione della partita Inter Milan I numeri 19 e 91 contengono le stesse cifre ma preferiresti possedere 91 euro In questi casi si parla di coppie ordinate: gli elementi della coppia possono far parte dello stesso insieme (l insieme delle squadre di serie A, l insieme delle cifre) o di insiemi diversi (pensa al gioco della battaglia navale: identifichi l obiettivo con una coppia formata da una lettera e da una cifra, per es. A7). In molte situazioni si utilizzano coppie di elementi per indicare un oggetto: un caso tipico in matematica è la rappresentazione dei punti sul piano cartesiano, dove ad ogni punto corrisponde una coppia ordinata di numeri (le coordinate del punto) PRODOTTO CARTESIANO Dati due insiemi A e B si dice prodotto cartesiano di A e B, e si scrive AxB, l insieme formato dalle coppie ordinate (a,b) in cui a A e b B {( a b) a A b B} A B = def, Rappresentazione del prodotto cartesiano AxB {,, } { 1,2} A= abc B= Problema Nella nostra scuola ci sono 14 sezioni e cinque anni di corso: ogni aula può essere P = 1,2,3,4,5 e il contrassegnata da una coppia di dati, il primo appartenente all insieme { } secondo appartenente all insieme S = { ABCDEFGHILMNOP,,,,,,,,,,,,, }. Scrivendo il prodotto cartesiano di questi insiemi, ricaverai 70 coppie (classe, sezione). Nella nostra scuola ci sono però soltanto 45 classi che occupano 45 aule. Evidenzia le effettive classi della scuola: l insieme ottenuto è un sottoinsieme di AxB prof. Vanda Riboldi 1

2 CORRISPONDENZE Il concetto di insieme ci consente di considerare gruppi di oggetti e di esaminare se esiste qualche modo di legare un elemento ad un altro mediante determinate regole. In matematica si distingue tra: CORRISPONDENZA legge binaria tra due elementi di insiemi diversi RELAZIONE legge binaria tra due elementi di uno stesso insieme In generale una legge è vera per alcune coppie ordinate di elementi ed è falsa per altre; per questo motivo una corrispondenza tra l insieme A, detto dominio, e l insieme B, detto codominio, individua un sottoinsieme dell insieme AxB: il sottoinsieme delle coppie ordinate per le quali la legge è vera. Esistono diversi modi per rappresentare una corrispondenza. Siano = a a N a 9 B = bb N b 7 A { } { } e si consideri la legge p(a,b): a è doppio di b La rappresentazione per elencazione - Consiste nell elencare le coppie ordinate della corrispondenza P = {(0,0);(21, );(4,2);(6,3);(8,4)} La rappresentazione sagittale - I diagrammi di Venn offrono un modo comodo di rappresentare una corrispondenza: si possono infatti tracciare degli archi orientati, simboleggiati da frecce (in latino sagitta significa freccia), che congiungono gli elementi dei due insiemi che sono in corrispondenza. Questa rappresentazione consente di individuare due sottoinsiemi particolarmente importanti: l insieme di definizione della corrispondenza (sottoinsieme del dominio formato dagli elementi da cui parte almeno una freccia ) e l insieme immagine (sottoinsieme del codominio formato dagli elementi a cui arriva almeno una freccia ) prof. Vanda Riboldi 2

3 La rappresentazione cartesiana Evidenziamo in modo ben visibile i punti che rappresentano le coppie (a,b) di elementi in corrispondenza B A La rappresentazione mediante tabella a doppia entrata Nelle caselle all incrocio di ogni riga con ogni colonna possiamo usare la convenzione di indicare 1 se la coppia verifica la corrispondenza, 0 se la coppia non la verifica ESERCIZI A B Siano A={4,6,9,16} B={1,2,3} p(a,b): a è quadrato di b Rappresenta tale corrispondenza in tutti i modi precedentemente considerati Individua insieme di definizione e insieme immagine 2. Siano A={1,4,5,9,16,25} B={-2,2,3,5,6} p(a,b): a è quadrato di b Rappresenta tale corrispondenza in tutti i modi precedentemente considerati Individua insieme di definizione e insieme immagine Questa corrispondenza è la stessa dell esercizio 1? Giustifica la risposta 3. Dato il sottoinsieme di AxB così definito G={(0,0);(1,1);(2,8);(3,27)},essendo A={0,1,2,3,4,5} e B={0,1,2,3,4,5,.,27,28,29,30}, determinare l insieme di definizione, l insieme immagine e la proprietà caratteristica della corrispondenza prof. Vanda Riboldi 3

4 PROPRIETA DELLE RELAZIONI Ricordiamo che una proprietà vale se vale per ogni elemento dell insieme. Al contrario perché non valga basta un controesempio, cioè anche un solo caso per il quale la proprietà non è valida. Pertanto, soprattutto per gli insiemi di infiniti elementi è spesso più facile dimostrare che una proprietà non vale, piuttosto che il contrario. Riflessiva, antiriflessiva, né riflessiva né antiriflessiva? Diagramma sagittale Diagramma cartesiano Riflessiva Ogni elemento dell insieme è in relazione con se stesso Sono evidenziati tutti i punti della diagonale principale Tutti gli elementi hanno un cappio Antiriflessiva Nessun elemento dell insieme è in relazione con se stesso Nessun punto della diagonale principale è evidenziato Nessun elemento ha un cappio Né riflessiva né antiriflessiva Almeno un elemento dell insieme è in relazione con se stesso e almeno un elemento non è in relazione con se stesso Almeno un punto della diagonale principale è evidenziato e almeno uno non lo è Almeno un elemento ha un cappio e almeno uno non ce l ha prof. Vanda Riboldi 4

5 Simmetrica, antisimmetrica, né simmetrica né antisimmetrica? Diagramma sagittale Diagramma cartesiano Simmetrica Ogni volta che una coppia (x,y) appartiene al grafico, appartiene al grafico anche la coppia (y,x) I punti evidenziati sono simmetrici rispetto alla diagonale principale (non conta l ordine in cui si considerano gli elementi) Tutti gli elementi in relazione hanno una doppia freccia (o nessuna freccia) Antisimmetrica Ogni volta che una coppia (x,y) con x? y appartiene al grafico, la coppia (y,x) non vi appartiene (gli elementi non si possono invertire, tranne quando coincidono) Non devono esserci mai elementi collegati da una doppia freccia (o nessuna freccia) Non devono mai esserci due punti simmetrici rispetto alla diagonale principale Né simmetrica né antisimmetrica Per alcune coppie (x,y) che appartengono al grafico, appartiene al grafico anche la coppia (y,x), per altre no Almeno due elementi devono essere collegati da una doppia freccia (o nessuna freccia) e almeno due no Alcuni punti sono simmetrici rispetto alla diagonale principale e altri no prof. Vanda Riboldi 5

6 Transitiva? Per fare un tavolo ci vuole il legno per fare il legno ci vuole l albero per fare l albero ci vuole il seme per fare il seme ci vuole il fiore per fare un tavolo ci vuole il fiore S. Endrigo Che cosa è meglio, l eterna felicità o un panino al prosciutto?... Niente è meglio dell eterna felicità e un panino al prosciutto è certamente meglio di niente. Quindi un panino al prosciutto è meglio dell eterna felicità. R. Smullyan, Qual è il titolo di questo libro?, Zanichelli Può capitare che una relazione in un insieme abbia coppie ordinate in cui il secondo elemento di una coppia sia uguale al primo elemento di un altra coppia. Se la relazione gode della proprietà transitiva allora: o o se tra le coppie della relazione compaiono (a,b) e (b,c) allora compare sempre anche la coppia (a,c) nel grafo della relazione gli elementi a, b, c sono collegati in modo da formare un triangolo, come in figura A figura A relazione transitiva relazione non transitiva prof. Vanda Riboldi 6

7 CLASSIFICHIAMO LE RELAZIONI IN UN INSIEME Alcune relazioni di un insieme godono di più proprietà: in base alle proprietà di cui godono, le relazioni sono distinte in: Relazione di Proprietà Esempi Equivalenza riflessiva simmetrica transitiva Ordine largo riflessiva antisimmetrica transitiva Ordine stretto antiriflessiva antisimmetrica transitiva x=y R1 in qualunque insieme numerico R2 avere la stessa età nell insieme delle persone R1 x minore o uguale a y nell insieme dei numeri reali R2 non essere più giovane di nell insieme delle persone R1 x minore di y nell insieme dei numeri reali R2 essere più anziano di nell insieme delle persone Le relazioni di.... producono Equivalenza Ordine classi di equivalenza Ogni classe contiene tutti gli elementi legati tra loro dalla relazione ordinamento totale Tutti gli elementi dell insieme sono confrontabili nella relazione ordinamento parziale Non t utti gli elementi dell insieme sono confrontabili nella relazione In una relazione d ordine totale gli elementi si possono rappresentare in successione su una retta: l ordinamento è perciò anche detto lineare. prof. Vanda Riboldi 7

8 PROBLEMI 1. Si vuole organizzare un torneo di calcetto tra cinque squadre, in modo che ogni squadra incontri tutte le altre una sola volta. Indicando ogni partita come la coppia formata da due squadre, individua un modello che ti consenta di elencare le partite possibili. 2. In un torneo di tennis con quattro giocatori ognuno affronta tutti gli altri. I risultati possono essere dedotti dal grafo seguente, tenendo conto che la freccia individua la relazione ha vinto con. Sapendo che ad ogni vittoria vengono attribuiti due punti, scrivi la classifica finale. 3. Una spia osserva di nascosto un accampamento nemico. Vede un soldato avvicinarsi ad un posto di blocco. La sentinella lo vede e grida: Otto ; il soldato risponde Quattro e viene fatto passare. Lo stesso accade con altri soldati: la sentinella dice Dieci, il soldato risponde Cinque e passa; l la sentinella dice Sei, il soldato risponde Tre e passa; la sentinella dice Dodici, il soldato risponde Sei e passa. La spia, certa di aver capito come rispondere alla parola d ordine, si avvicina all accampamento. La sentinella dice Sedici, la spia risponde Otto e viene imprigionata. Cosa avrebbe dovuto rispondere? 4. Costruisci un archivio con i dati della classe Inserisci i dati nell ordine che preferisci: ogni riga (record) contiene i dati relativi ad uno studente; ogni colonna (campo) contiene i dati indicati nella prima riga. I dati possono essere ordinati scegliendo l ordinamento di un campo e di altri due campi subordinati (DATI/ORDINA) I dati possono essere ripartiti in classi di equivalenza usando opportunamente i filtri (DATI/FILTRO AUTOMATICO) I dati possono essere opportunamente visualizzati usando la formattazione condizionale (FORMATO/FORMATTAZIONE CONDIZIONALE). prof. Vanda Riboldi 8