Proprietà delle relazioni 1

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1 Proprietà delle relazioni 1 Ricordiamo che una proprietà vale se vale per ogni elemento dell insieme. Al contrario perché non valga basta un controesempio, cioè anche un solo caso per il quale la proprietà non è valida. Pertanto, soprattutto per gli insiemi di infiniti elementi è spesso più facile dimostrare che una proprietà non vale, piuttosto che il contrario. Riflessiva, antiriflessiva, né riflessiva né antiriflessiva? Diagramma sagittale Diagramma cartesiano Riflessiva Ogni elemento dell insieme è in relazione con se stesso Sono evidenziati tutti i punti della diagonale Tutti gli elementi hanno un cappio Antiriflessiva Nessun elemento dell insieme è in relazione con se stesso Nessun punto della diagonale è evidenziato Nessun elemento ha un cappio Né riflessiva né antiriflessiva Almeno un elemento dell insieme è in relazione con se stesso e almeno un elemento non è in relazione con se stesso Almeno un punto della diagonale è evidenziato e almeno uno non lo è Almeno un elemento ha un cappio e almeno uno non ce l ha

2 Simmetrica, antisimmetrica, né simmetrica né antisimmetrica? 2 Diagramma sagittale Diagramma cartesiano Simmetrica Ogni volta che una coppia (x,y) appartiene al grafico, appartiene al grafico anche la coppia (y,x) I punti evidenziati sono simmetrici rispetto alla diagonale (non conta l ordine in cui si considerano gli elementi) Tutti gli elementi in relazione hanno una doppia freccia (o nessuna freccia) Antisimmetrica Ogni volta che una coppia (x,y) con x y appartiene al grafico, la coppia (y,x) non vi appartiene (gli elementi non si possono invertire, tranne quando coincidono) Non devono esserci mai elementi collegati da una doppia freccia (o nessuna freccia) Non devono mai esserci due punti simmetrici rispetto alla diagonale Né simmetrica né antisimmetrica Per alcune coppie (x,y) che appartengono al grafico, appartiene al grafico anche la coppia (y,x), per altre no Alcuni punti sono simmetrici rispetto alla diagonale e altri no Almeno due elementi devono essere collegati da una doppia freccia (o nessuna freccia) e almeno due no

3 Transitiva? Per fare un tavolo ci vuole il legno per fare il legno ci vuole l albero per fare l albero ci vuole il seme per fare il seme ci vuole il fiore per fare un tavolo ci vuole il fiore 3 S. Endrigo Che cosa è meglio, l eterna felicità o un panino al prosciutto?... Niente è meglio dell eterna felicità e un panino al prosciutto è certamente meglio di niente. Quindi un panino al prosciutto è meglio dell eterna felicità. R. Smullyan, Qual è il titolo di questo libro?, Zanichelli Può capitare che una relazione in un insieme abbia coppie ordinate in cui il secondo elemento di una coppia sia uguale al primo elemento di un altra coppia. Se la relazione gode della proprietà transitiva allora: se tra le coppie della relazione compaiono (a,b) e (b,c) allora compare sempre anche la coppia (a,c) nel grafo della relazione gli elementi a, b, c sono collegati in modo da formare un triangolo, come in figura A figura A relazione transitiva relazione non transitiva

4 Classifichiamo le relazioni in un insieme 4 Alcune relazioni di un insieme godono di più proprietà: in base alle proprietà di cui godono, le relazioni sono distinte in: Relazione di Proprietà Esempi Equivalenza riflessiva simmetrica Ordine largo riflessiva antisimmetrica Ordine stretto antiriflessiva antisimmetrica x=y in qualunque insieme numerico avere la stessa età x y nell insieme dei numeri reali non essere più giovane di x<y nell insieme dei numeri reali nell insieme delle persone nell insieme delle persone essere più anziano di nell insieme delle persone Le relazioni di.... producono Equivalenza Ordine classi di equivalenza Ogni classe contiene tutti gli elementi legati tra loro dalla relazione ordinamento totale Tutti gli elementi dell insieme sono confrontabili nella relazione ordinamento parziale Non tutti gli elementi dell insieme sono confrontabili nella relazione In una relazione d ordine totale gli elementi si possono rappresentare in successione su una retta: l ordinamento è perciò anche detto lineare.

5 PROBLEMI 5 1. Si vuole organizzare un torneo di calcetto tra cinque squadre, in modo che ogni squadra incontri tutte le altre una sola volta. Indicando ogni partita come la coppia formata da due squadre, individua un modello che ti consenta di elencare le partite possibili. 2. In un torneo di tennis con quattro giocatori ognuno affronta tutti gli altri. I risultati possono essere dedotti dal grafo seguente, tenendo conto che la freccia individua la relazione ha vinto con. Sapendo che ad ogni vittoria vengono attribuiti due punti, scrivi la classifica finale. Maria Giovanni Federica Stefano 3. Una spia osserva di nascosto un accampamento nemico. Vede un soldato avvicinarsi ad un posto di blocco. La sentinella lo vede e grida: Otto ; il soldato risponde Quattro e viene fatto passare. Lo stesso accade con altri soldati: la sentinella dice Dieci, il soldato risponde Cinque e passa; la sentinella dice Sei, il soldato risponde Tre e passa; la sentinella dice Dodici, il soldato risponde Sei e passa. La spia, certa di aver capito come rispondere alla parola d ordine, si avvicina all accampamento. La sentinella dice Sedici, la spia risponde Otto e viene imprigionata. Cosa avrebbe dovuto rispondere, cioè che relazione intercorre tra domanda e risposta? 4. Costruisci un archivio con i dati della classe Inserisci i dati nell ordine che preferisci: ogni riga (record) contiene i dati relativi ad uno studente; ogni colonna (campo) contiene i dati indicati nella prima riga. I dati possono essere ordinati scegliendo l ordinamento di un campo e di altri due campi subordinati (DATI/ORDINA) I dati possono essere ripartiti in classi di equivalenza usando opportunamente i filtri (DATI/FILTRO AUTOMATICO) I dati possono essere opportunamente visualizzati usando la formattazione condizionale (FORMATO/FORMATTAZIONE CONDIZIONALE).