Sistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi

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1 Sistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi Terminologia Operazioni elementari sulle righe. Equivalenza per righe. Riduzione a scala per righe. Rango di una matrice. Forma canonica per righe. Eliminazione gaussiana. Matrice invertibile. Matrice inversa. Matrice elementare. Vettori standard. Saper fare Applicare operazioni elementari su una matrice. Ridurre a scala per righe una matrice. Calcolare il rango di una matrice. Risolvere un sistema lineare con l eliminazione gaussiana. Distinguere tra incognite libere e incognite vincolate. Riconoscere il ruolo dei ranghi di matrice completa e incompleta nel determinare il numero di soluzioni di un sistema lineare. Applicare l algoritmo per calcolare l inversa di una matrice. Conoscere le formule per (A ), (AB) e (A t ). Riconoscere una matrice elementare. Trovare l inversa di una matrice elementare senza fare calcoli. Elencare le caratterizzazioni di una matrice invertibile. Vero o Falso? Determinare quale degli asserti che seguono è vero e quale è falso. Se l asserto è vero bisogna dimostrarlo richiamando definizioni o teoremi esposti negli appunti. Se l asserto è falso bisogna trovare un controesempio o una spiegazione del perché l asserto è falso. Ogni matrice ha infinite riduzioni a scala per righe. Ogni matrice ha un unica forma canonica per righe. Ogni matrice triangolare superiore è una matrice a scala per righe. Ogni matrice a scala è una matrice triangolare superiore. Se la matrice A ha più righe della matrice B, allora A ha rango maggiore o al più uguale al rango di B. Se A e B sono matrici della stessa taglia, allora rango (A + B) = rango A + rango B. Se A e B sono matrici per le quali AB esiste, allora rango (AB) = (rango A)(rango B). Una matrice ha rango 0 se e solo se è la matrice nulla. Se λ è uno scalare non nullo, allora le matrici A e λa hanno lo stesso rango. Se λ è uno scalare non nullo, allora le matrici A e λa hanno la stessa forma canonica per righe. Un sistema lineare Ax = b è compatibile se e solo se b è combinazione lineare delle colonne di A. Se una riduzione a scala della matrice (A b) ha una riga nulla, allora il sistema Ax = b ha infinite soluzioni. Un sistema lineare omogeneo è sempre compatibile. Un sistema lineare è omogeneo se e solo se 0 è soluzione del sistema. Un sistema lineare è compatibile se e solo se l ultima colonna della matrice completa del sistema non è una colonna pivot. Un sistema lineare che ha più incognite che equazioni ha infinite soluzioni. Una matrice quadrata A è invertibile se e solo se le righe di A sono tutte non nulle. Se una matrice quadrata ha una riga (o una colonna) nulla, allora la matrice non è invertibile. Se una matrice quadrata ha due righe (o due colonne) uguali, allora la matrice non è invertibile.

2 Se in una matrice quadrata una riga (o colonna) è un multiplo di un altra riga (o colonna), allora la matrice non è invertibile. Se A è una matrice invertibile, la forma canonica per righe della matrice (A ) è la matrice ( A ). Se A e B sono matrici invertibili dello stesso ordine, allora A + B è matrice invertibile. Se A e B sono matrici invertibili dello stesso ordine, allora AB è matrice invertibile. Se A è una matrice invertibile tale che A 2 = A, allora A =. Se A è matrice invertibile e B, C sono matrici tali che AB = AC, allora B = C. Se A è una matrice simmetrica (risp. antisimmetrica) invertibile, allora A è matrice simmetrica (risp. antisimmetrica). Se A è una matrice quadrata tale che A n = 0 per qualche intero n >, allora la matrice A è invertibile. Se A, B, C sono matrici quadrate di ordine n e BA =, AC =, allora B = C. Ogni matrice elementare è invertibile. Il prodotto di matrici elementari è una matrice elementare. Ogni matrice è prodotto di matrici elementari. Se A è matrice m n ed E è una matrice elementare m m, allora A ed EA hanno lo stesso rango. Se E ed E 2 sono matrici elementari, allora E E 2 = E 2 E. Se E ed E 2 sono matrici elementari dello stesso tipo, allora E E 2 = E 2 E. Se il sistema lineare Ax = 0 ha soluzioni non triviali, allora A si può scrivere come prodotto di matrici elementari. Se A è una matrice 3 3 di rango 2, allora il sistema Ax = b ha infinite soluzioni. Ogni matrice triangolare superiore n n è equivalente per righe alla matrice n. Esercizi Esercizi Trovare una matrice a scala equivalente per righe alla matrice data, calcolarne il rango e la forma canonica per righe ( ) ( ) ( )

3 Esercizi Risolvere i seguenti sistemi lineari 2x y + 3z = 3x y = 3x + y 2z = 2x + y + 5z = 7x + 2y 3z = 3 7x 5y 8z = 3 5x y 2z = 5 x + 2x 2 x 3 + x = 2x 3x 2 + x 3 x = 2 x 5x 2 + 2x 3 2x = x + x 2 x 3 + x = 3 x + 2x 2 + x 3 + x 2x 5 = 3 x 3 + x 3x 5 = 2 2x + x 2 x 3 0x + 5x 5 = 0 Esercizi Risolvere i seguenti sistemi lineari omogenei 2x + y z = 0 3x + 2y z = 0 3x y 2z = 0 2x + y z = 0 x y z = 0 5x y z = 0 5x + 2y 2z = 0 x 2x 2 x 3 x = 0 3x + x 2 2x 3 + 3x = 0 5x x 2 2x 3 + x = 0 x + 2x 2 x 3 + x = 2x + x 2 2x 3 + 2x = 2 5x + 0x 2 5x 3 + 5x = 5 x + x 2 + x 3 x = x x 2 x 3 x = 2 x + x 2 x 3 + x = 2 x x 2 + x 3 + x = 8 2x x 2 + 3x 3 + x x 5 = x 3x 2 2x 3 x 2x 5 = 2 3x + x 2 2x 3 x + x 5 = 2 x + 2x 2 + x 3 + 2x + 3x 5 = 3 5x 3x 2 3x 3 + x + 2x 5 = 2 x y + z = 0 3y + 2z = 0 3x z = 0 5x + y z = 0 2x + x 2 x 3 + x = 0 x + x 2 + x 3 x = 0 3x x 2 + x 3 2x = 0 x + 2x 2 x 3 + x Esercizi. Studiare, al variare del parametro h, le soluzioni del sistema nelle incognite x, y, z 2x + (h + )y z = 3 3x + (2h )y z = 3 hx + 2hz = h 2 x + (h 2)y = 0 ( + h)x + (h 2)y + 2hz = h 2. Discutere il sistema nelle variabili x, x 2, x 3, x x x 2 + 2x = b ax + ax 2 2x = c ax 2 + (a + )x = a al variare dei parametri a, b, c R. 3. Si consideri il sistema lineare S k nelle incognite x, x 2, x 3, x a coefficienti reali definito da x + 2kx 3 + x = 2kx 2 + (2k + )x 3 = 2k S k : x + 2kx 2 + (6k + 2)x 3 + x = k + 2 2kx 2 + (2k + )x 3 + (k 2 + 2k)x = 2k (a) Al variare di k, calcolare il rango della matrice completa e della matrice incompleta associate ad S k. (b) Determinare i valori di k per i quali il sistema S k è incompatibile. (c) Determinare i valori di k per i quali il sistema S k ammette una sola soluzione e per tali valori calcolare la soluzione. 3

4 (d) Determinare i valori di k per i quali il sistema S k ammette infinite soluzioni e per tali valori calcolare le soluzioni.. Si consideri il sistema 2x + x 2 x 3 + x = 0 x + x 2 + x 3 x = 0 x + 2x 2 x 3 + x = 0 3x x 2 + x 3 + kx = 0 Determinare tutti i valori della costante k per i quali il sistema 5. Si consideri il sistema x + y 2z = 3x + 5y z = 6 2x + 3y az = b Determinare tutti i valori delle costanti a e b per i quali il sistema 6. Si consideri il sistema x ay = 3 2x + y = 6 3x + (a + b)y = Determinare tutti i valori della costante k per i quali il sistema 7. Far vedere che il sistema x + y + z = a 2x + 3y + z = b 3x + 5y + z = c ha infinite soluzioni se e solo se a 2b + c = Che condizioni devono soddisfare a, b, c affinché i sistemi seguenti siano compatibili? x + y + 2z = a x + 2y + 3z = a x + z = b 2x + 5y + 3z = b 2x + y + 3z = c x + 8z = c Esercizi Determinare, se possibile, la matrice inversa A delle seguenti matrici A usando l algoritmo per il calcolo dell inversa; verificare che la matrice trovata soddisfa A A = n : A = 2, A = 2, A = 2 6 2, A = , A = λ λ λ A = 0 λ λ 3 0, A = 0 0 λ λ 3 0 0, A = λ λ λ λ λ dove λ, λ 2, λ 3, λ, λ sono scalari non nulli. Esercizio Sia A una matrice m n. Una matrice B tale che AB = m si dice una inversa destra

5 di A. a) Dimostrare che se A ha rango m, allora esistono inverse destre di A. b) Data la matrice ( ) 3 A = 2 0 trovare tutte le inverse destre di A. Esercizi Trovare matrici elementari che riducono a scala le matrici seguenti ( ) ( ) 2 3 2,, Esercizi Scrivere le matrici seguenti come prodotto di matrici elementari ( ), Esercizio Dimostrare che se (A b) è la matrice completa di un sistema lineare ed (R c) è una sua riduzione a scala, allora R è una riduzione a scala di A. Esercizio Dimostrare che se R è una riduzione a scala della matrice A, allora (R 0) è una riduzione a scala di (A 0). Esercizio Sia A una matrice 3. È possibile che per ogni -colonna b il sistema Ax = b sia compatibile? Esercizio Per ottenere 00 barili di petrolio al costo di 5$ a barile e con 50g di zolfo per barile si mescolano tre qualità di greggio. Il costo e il contenuto di zolfo di ciascuna qualità sono dati dalla tabella seguente Qualità A B C Costo per barile 50$ 2$ 3$ Zolfo per barile 30g 62g 9g a) Trovare quanto di ciascuna qualità di greggio bisogna miscelare in modo da usare la quantità minima di C. b) Trovare quanto di ciascuna qualità di greggio bisogna miscelare in modo da usare la quantità massima di C. Esercizio Sia P (x) = ax 2 + bx + c. Trovare a, b, c in modo che il grafico del polinomio P (x) passi a) per i punti (, 2), (, 6) e (2, 3), b) per il punto (, 0) e abbia tangente orizzontale nel punto (2, 9). Esercizio Supponendo che la matrice dei coefficienti di un sistema lineare compatibile abbia due colonne uguali, dimostrare che il sistema ha infinite soluzioni. Esercizio Si consideri il sistema Ax = b e siano a, a 2,..., a n le colonne della matrice A. supponga che b = λa j, per qualche j =, 2,..., n. Dimostrare che il sistema è compatibile. Esercizio Sia A = (a ij ) una matrice n n. La traccia Tr A è per definizione la somma degli elementi diagonali di A Tr A = a + a a nn. Far vedere che a) Tr (A + B) = Tr A + Tr B, b) Tr (λa) = λtr A, ove λ è uno scalare, c) Tr (AB) = Tr (BA), ove A e B sono matrici m n e n m rispettivamente. Esercizio Siano A una matrice m n e B una matrice n m. Sapendo che AB = m e BA = n, dimostrare che m = n. Esercizio Sia A una matrice quadrata tale che A sia invertibile. Dimostrare che A( A) = ( A) A. Si 5