Applicazioni eliminazione di Gauss

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1 Applicazioni eliminazione di Gauss. Premessa Nel seguito supporremo sempre di applicare il metodo di eliminazione di Gauss allo scopo di trasformare la matrice del sistema Ax = b in una matrice triangolare superiore con termini diagonali uguali a, corrispondente ad un sistema lineare che ha esattamente le stesse soluzioni del sistema di partenza (si veda la Figura.) Figura. Illustrazione schematica del processo di eliminazione di Gauss sulla matrice A di un sistema lineare. Definizione. (Sistemi lineari equivalenti) Due sistemi lineari aventi lo stesso numero di incognite si dicono equivalenti se hanno esattamente le stesse soluzioni. La matrice finale del sistema è anche detta matrice ridotta a scala o semplicemente matrice ridotta. Osservazione. Se è possibile continuare il processo di eliminazione delle variabili in modo tale che ogni colonna della matrice che contiene un sulla diagonale principale ha tutti i restanti elementi nulli, allora la forma finale della matrice che otteniamo è unica. Il processo così descritto prende il nome di eliminazione di Gauss-Jordan.

2 Capitolo Osservazione. Potremo incontrare sistemi che non hanno nessuna soluzione, oppure che ne hanno infinite. Da un punto di vista pratico queste situazioni corrispondono a una situazione di non applicabilità del precedente metodo (così come descritto finora)... Soluzioni di un sistema lineare All atto pratico per risolvere il sistema conviene utilizzare una notazione in tabella nella quale riportiamo la matrice del sistema ed il vettore dei termini noti. Esempio. (Sistemi lineari e soluzioni) Consideriamo le seguenti possibilità.. (Soluzione unica) { 3x 3x + x 3 = x + x + x 3 = x + x 3x 3 = /3 /3 (R /3) 3 /3 /3 7/3 7/3 (R + R ) 3 /3 /3 (R 3 R ) /3 /3 3 /3 /3 (R R 3 ) 7/3 7/3 /3 /3 /9 /9 (R /3) (3R 3 /7) Da cui x 3 = x 9 x 3 = 9 x 9 = 9 x = x x + 3 x 3 = 3 x + 3 = 3 x =

3 Eliminazione di Gauss 3 Ossia la soluzione è ed è unica. x =, x =, x 3 =. (Infinite soluzioni) { x + x x 3 = 4 x x + 3x 3 = 7 4x + x + x 3 = (R R ) 3 5 (R 3 4R ) 4 3 5/3 5 /3 (R /( 3)) (Attenzione: due righe uguali!) 4 5/3 /3 (R 3 + 3R ) Il procedimento è terminato con il sistema x + x x 3 = 4 x 5 3 x 3 = 3 che ha solo due equazioni in tre incognite x,x,x 3. In questo caso esistono infinite soluzioni. Infatti una delle tre incognite può assumere un qualunque valore e da questo è sempre possibile ricavare il valore delle altre due. La forma usata per esprimere le soluzioni in questo caso è del tipo x 3 = s x = s x = s + s = 3 3 s al variare di s numero reale (s R).

4 4 Capitolo 3. (Nessuna soluzione) { x + x x 3 = 3 x + x + x 3 = 5x + 5x 3x 3 = (R R ) 7 (R 3 5R ) 3 7 (R /3) 3 3 (R 3 R ) 3 (R 3 /3) Bisogna fare attenzione al fatto che solo il termine noto è non nullo nell ultima riga della tabella finale. Il sistema in questo caso non ha soluzioni, infatti l ultima equazione corrisponde a x + x + x 3 = che non può mai essere verificata per nessun valore di x, x, x 3. Dato un sistema lineare Ax = b, con A matrice m n consideriamo la matrice  = (A b) di tipo m (n + ), detta matrice ampliata o matrice completa del sistema lineare, ottenuta considerando le n colonne di A e come ultima colonna il vettore b a a a 3... a n b a a a 3... a n b  = a 3 a 3 a a 3n b 3 = (A b) a m a m a m3... a mn b m

5 Eliminazione di Gauss 5 Nell applicare il metodo di eliminazione di Gauss abbiamo trasformato, tramite operazioni elementari, tale matrice in una forma ridotta avente elementi tutti nulli sotto la diagonale principale ed elementi uguali a o a sulla diagonale principale. Per tale forma ridotta (ossia la forma finale della tabella dopo l eliminazione di Gauss) vale la seguente regola generale. Proposizione. (Regola generale). Non esistono soluzioni se, dopo aver applicato il metodo di eliminazione di Gauss, l ultima riga non nulla ha un valore uguale a come ultimo elemento a destra e altrove.. Esiste un unica soluzione se, dopo aver applicato il metodo di eliminazione di Gauss, ci sono esattamente n righe non nulle, l ultima delle quali ha come penultimo elemento a destra. 3. Esistono infinite soluzioni se, dopo aver applicato il metodo di eliminazione di Gauss, le righe non nulle sono meno di n, e non è verificata la condizione. Esempio. (Forme ridotte) Vediamo alcuni possibili risultati del metodo di eliminazione di Gauss e indicazione del tipo di soluzione (come esercizio calcolare esplicitamente le soluzioni ove possibile).. 3 (soluzione unica). (nessuna soluzione) (soluzione unica) 4. (infinite soluzioni) (soluzione unica) (nessuna soluzione) (soluzione unica) (infinite soluzioni)

6 6 Capitolo.. Matrici elementari Le trasformazioni che eseguiamo sulla matrice ampliata del sistema lineare durante il metodo di eliminazione di Gauss possono essere rappresentate come una successione di prodotti di particolari matrici, dette matrici elementari, per la matrice ampliata. Tale rappresentazione risulta molto utile ai fini pratici, per esempio nel calcolo dell inversa di una matrice. Definizione. (Matrice elementare) Una matrice elementare è una matrice quadrata ottenuta applicando a una matrice identità una sola operazione elementare di riga. Esempio.3 (Matrici elementari) E = E = 5 3 E 3 = R R 5R 3 R + 3R in I in I in I L importanza di tali matrici è data dalla seguente proprietà. Proprietà I. Sia E una matrice ottenuta applicando a una matrice identica m m una sola operazione elementare di riga e sia A una qualunque matrice m n. Allora la matrice prodotto EA è la stessa matrice che si otterrebbe applicando direttamente ad A la stessa operazione elementare di riga. Esempio.4 (Matrici e trasformazioni elementari) Sia 3 A = e applichiamo E,E,E 3 definite nell esempio precedente ad A, ossia moltiplichiamo a sinistra A per E,E,E E A = = E A = =

7 Eliminazione di Gauss E 3 A = = Potremo quindi applicare l algoritmo di eliminazione di Gauss utilizzando una serie di matrici elementari che moltiplicate a ogni passo per la matrice ampliata del sistema fornisce una matrice avente elementi nulli sotto la diagonale principale. Ossia E r E r E E  per un certo valore di r e opportune scelte delle matrici elementari sarà una matrice avente tutti zero sotto la diagonale principale e nei primi termini non nulli in ogni riga a partire da sinistra. Esempio.5 (Matrici elementari ed eliminazione di Gauss) Utilizzare le matrici elementari per applicare il metodo di eliminazione di Gauss al seguente sistema { x 3x 3 = 3 x x + x + x 3 = x + x + 4x 3 = x = 4 x 3 Indichiamo con  = (A b) la matrice ampliata ed eseguiamo le trasformazioni sulla matrice indicando a lato la corrispondente matrice elementare. 3  = 4 Quindi R R 3 4 R 3 R 3 3 R 3 + R 3 3 R 3 /3 3 E = E = E 3 = E 4 = /3 E 4 E 3 E E }{{}  = T  = 3. T

8 8 Capitolo Ossia abbiamo costruito una matrice T tale che T Â è la matrice finale risultante dell eliminazione di Gauss, ossia una matrice avente elementi nulli al di sotto della diagonale principale ed elementi uguali a o a sulla diagonale principale. Un altra interessante proprietà delle matrici elementari è la loro facile invertibilità. Infatti abbiamo la seguente Proprietà II. Sia E una matrice ottenuta da I tramite una operazione elementare di riga. Se F è la matrice elementare ottenuta da I eseguendo l operazione elementare inversa, allora chiaramente F E = I. È facile verificare inoltre che anche EF = I e quindi le due matrici sono l una l inversa dell altra. Esempio.6 (Inverse di matrici elementari) Riportiamo per esempio le matrici elementari inverse corrispondenti alle matrici elementari viste nell Esempio.4 E = R R F = R R E = 5R 3 F = R 3 /5 5 /5 3 E 3 = 3 R + 3R F 3 = Lasciamo come esercizio la verifica che soddisfano alle relazioni E F = F E = I, E F = F E = I, E 3 F 3 = F 3 E 3 = I. R 3R Dall invertibilità delle matrici elementari discende che la matrice T = E r E r E E che effettua l eliminazione di Gauss tramite r trasformazioni elementari è una matrice invertibile. Infatti avremo T = (E r E r E E ) = E E E r E r = F F F r F r...3 Calcolo della matrice inversa Discutiamo ora il problema del calcolo dell inversa di una matrice. Supponiamo ora di applicare l eliminazione di Gauss a una matrice quadrata A. Otterremo dopo

9 Eliminazione di Gauss 9 r passi una matrice triangolare superiore che indichiamo con U avente elementi uguali a o sulla diagonale, ossia E r E r E E A = U. Se la diagonale della matrice U non presenta alcuno ma solo degli allora possiamo pensare di continuare ad applicare operazioni elementari di riga in modo da annullare anche tutti gli elementi sopra la diagonale della matrice U. Dopo ulteriori s trasformazioni elementari otterremo quindi una matrice avente elementi nulli sopra e sotto la diagonale ed elementi sulla diagonale tutti uguali a uno, ossia una matrice identità E r+s E r+s E r+ E r+ U = I. Riassumendo abbiamo ottenuto in r + s trasformazioni elementari E r+s E r+s E E A = I. Poniamo B = E r+s E r+s E E, abbiamo BA = I. Ma in realtà abbiamo anche AB = I. Infatti, indicando con F i = E i, i =,...,r + s abbiamo F F F r+s F r+s = F F F r+s F r+s I = F F F r+s F r+s E r+s E r+s E E A = IA = A. Ne segue AB = F F F r+s F r+s E r+s E r+s E E = I, essendo F i E i = I, i =,...,r + s. Quindi B = A è l inversa di A. Come calcoliamo in pratica A = E r+s E r+s E E senza doverci calcolare tutti i prodotti delle matrici elementari utilizzate? L idea è molto semplice basta infatti applicare il procedimento effettuando contemporaneamente le stesse operazioni sulla matrice identità, ossia applicando il metodo appena descritto alla matrice à = (A I). Avremo infatti E r+s E r+s E E à = (E r+s E r+s E E A E r+s E r+s E E I) = (I A ). Esempio.7 (Calcolo inversa) Sia A = 3 Vogliamo stabilire se A è invertibile, e in tal caso calcolare A. In forma di tabella possiamo scrivere

10 Capitolo 3 (R R ) (R 3 R ) (R 3 ( )) A questo punto abbiamo terminato l eliminazione di Gauss ottenendo a sinistra la matrice U, che in questo caso ha tutti elementi uguali a sulla diagonale. Quindi A è invertibile. Continuiamo ad applicare trasformazioni elementari al fine di trasformare U in una matrice identità (R R 3 ) (R R 3 ) (R R ) L inversa di A è A = 3 Verificare come esercizio che A A = AA = I. Il metodo appena illustrato si applica chiaramente a matrici quadrate di qualsiasi dimensione. Come ci accorgiamo se una matrice non è invertibile? Basta osservare che il buon esito del nostro procedimento dipende dall avere ottenuto alla fine dell eliminazione di Gauss una matrice avente elementi tutti uguali a sulla

11 Eliminazione di Gauss diagonale. Come abbiamo visto nei paragrafi precedenti non è detto che questo sia sempre possibile, e potremmo anche ottenere sulla diagonale principale. Se questo succede il metodo per il calcolo dell inversa si arresta e e la matrice è non invertibile, ossia singolare. Esempio.8 (Matrice singolare) Sia 3 A = Abbiamo 3 3 (R R ) 3 (R ( )) 3 (R 3 R ) Il procedimento si arresta e la matrice A è non invertibile.. Dipendenza lineare e rango Dati i vettori A,A,...,A r una combinazione lineare è un espressione del tipo α A + α A α r A r dove gli α i sono numeri reali. È ovvio che il risultato di una combinazione lineare è un vettore. Se è possibile determinare gli α i non tutti nulli in modo tale che α A + α A α r A r = allora i vettori A,...,A r si dicono linearmente dipendenti. Se invece l espressione precedente può essere soddisfatta solo prendendo α i = per ogni valore di i, allora i vettori si dicono linearmente indipendenti (abbreviati l.i. e l.d.).

12 Capitolo Esempio.9 (Lineare dipendenza e sistemi omogenei) Stabilire se l insieme di vettori } {,, è linearmente indipendente. Cerchiamo dei coefficienti x,x,x 3 non tutti nulli tali che x + x + x 3 = ossia { x + x + x 3 = x x + x 3 = 5x + 4x + 4x 3 = Possiamo applicare l eliminazione di Gauss alla matrice ampliata  = Eliminando i passaggi intermedi (farli per esercizio) si ottiene /6 quindi il sistema ha infinite soluzioni e l insieme di vettori è linearmente dipendente. Si noti che la matrice ampliata del corrispondente sistema non è altro che la matrice avente come colonne i vettori stessi ed il vettore nullo. Osservazione.3 Un sistema omogeneo Ax = è sempre consistente in quanto ammette la soluzione nulla x =. Per un tale sistema l eliminazione di Gauss può essere applicata direttamente alla matrice A in quanto l ultima colonna di  non viene mai modificata e resta nulla. Tale sistema ammette quindi solo la soluzione nulla x = oppure infinite soluzioni. Definizione.3 (Rango) Dato un insieme di vettori {A,A...,A n } dicesi rango dell insieme il massimo numero di vettori l.i. nell insieme. Data la matrice A, il rango della matrice A, indicato con rank (A), è il rango dell insieme dei suoi vettori colonna. Possiamo enunciare le seguenti regole. Regola I. Dato un insieme di vettori A,...,A n di dimensione m, per verificare se l insieme di vettori è l.i. si costruisce la matrice A A = A A... A n

13 Eliminazione di Gauss 3 di tipo m n avente come colonne i vettori A,...,A n e si applica a essa l eliminazione di Gauss. Se la matrice risultante ha meno di n righe non nulle l insieme assegnato è l.d., altrimenti è l.i.. Regola II. Qualunque insieme di vettori di dimensione n formato da più di n vettori distinti è linearmente dipendente. Di conseguenza il rango di una matrice è il numero di righe non nulle che restano al termine dell eliminazione di Gauss. Il rango di una matrice m n è necessariamente minore o uguale a n e anche minore o uguale a m, ossia rank (A) min{m,n}..3 Determinante Il concetto di determinante è essenziale nell ambito dell algebra lineare. Tale oggetto consente per esempio di determinare in modo pratico se un sistema lineare di matrice quadrata ammette una unica soluzione o se un insieme di n vettori in R n è linearmente dipendente o indipendente. Definizione.4 (Matrici di permutazione) Definiamo le matrici P rs, dette matrici di permutazione elementari, ottenute dalla matrice identità scambiando le righe r e s. Esempio. (Matrici di permutazione) Un esempio di matrice di permutazione a partire da I = è la seguente (r =, s = 3) P 3 = Sono casi particolari di matrici elementari. Quindi P rs A è una matrice uguale ad A ma con le righe r ed s scambiate fra loro. Analogamente AP rs è una matrice uguale ad A ma con le colonne r ed s scambiate fra loro. Definizione.5 (Determinante) Dato l insieme delle matrici quadrate di ordine n, a ogni matrice A di questo insieme associamo un numero che indicheremo con det(a), detto determinante di A, tale che. Se A è una matrice triangolare (superiore o inferiore), allora det(a) è uguale al prodotto degli elementi sulla diagonale.

14 4 Capitolo. Se A e B sono due matrici quadrate di ordine n, det(ab) = det(a) det(b). 3. det(p rs ) = per ogni valore di r,s con r s..3. Proprietà del determinante La definizione precedente determina in modo univoco det(a). ulteriori proprietà discendono da tale definizione. Vediamo quali. Se la matrice A ha due righe o due colonne uguali il determinante è nullo.. Dato α in R, det(αa) = α n det(a). 3. Se A è la matrice ottenuta moltiplicando tutti gli elementi di una riga (o di una colonna) di A per α allora det(a) = α det(a). 4. Se una riga o una colonna di A sono nulli, il determinante sarà nullo. 5. Se una riga o una colonna di A è combinazione lineare delle altre allora il determinante è nullo. 6. Sia A non singolare, ossia le colonne sono linearmente indipendenti. Allora det(a ) = det(a)..3. Calcolo del determinante Sono note semplici regole pratiche di utilizzo immediato per il calcolo del determinante nel caso di matrici di dimensione e 3. Ma come procediamo se la matrice ha dimensioni maggiori? Ancora una volta il nostro strumento di calcolo sarà basato sull eliminazione di Gauss. Abbiamo visto che se applichiamo l eliminazione di Gauss ad A matrice quadrata otteniamo dopo r passi E r E r... E E A = U con U matrice triangolare superiore con elementi sulla diagonale uguali a o a ed E i matrici elementari che caratterizzano il procedimento. Di conseguenza sappiamo che det(u) = oppure det(u) =. In particolare indicata con T = E r E r E E allora tale matrice è invertibile con inversa T = (E r E r E E ) = E E Er E r = F F F r F r

15 Eliminazione di Gauss 5 dove al solito abbiamo indicato con le matrici elementari F i le inverse delle E i, i =,...,r. Quindi T T A = T U. Se indichiamo con L = T abbiamo il risultato A = LU, dove la matrice L è data dal prodotto delle inverse delle matrici elementari viste nell eliminazione di Gauss. La relazione A = LU fattorizza la matrice A nel prodotto di due matrici L e U ed è detta fattorizzazione di Gauss o semplicemente fattorizzazione LU. Avremo quindi che det(a) = det(l) det(u) ossia det(a) = oppure det(a) = det(l), con det(l) = det(f ) det(f ) det(f r ) det(f r ). Il calcolo delle quantità det(f i ) può essere effettuato direttamente usando le proprietà del determinante. Infatti in base al punto 3 della definizione di determinante se abbiamo uno scambio di righe det(f i ) =, dalla proprietà 3 del determinante se moltiplichiamo una riga per un valore costante α, det(f i ) = α. Infine se F i è ottenuta sommando o sottraendo da una riga della matrice identità il multiplo di un altra riga della stessa matrice il valore del determinante resterà inalterato in quanto F i sarà sempre una matrice diagonale e quindi dal punto della definizione di determinante det(f i ) =. Riassumendo abbiamo { scambio di righe det(f i ) = α moltiplicazione di una riga per α somma o sottrazione di una riga per un multiplo di un altra. Esempio. (Calcolo del determinante) Calcoliamo i determinanti delle seguenti matrici. 3 A = 4

16 6 Capitolo (R R ) 5 (R 3 R ) 3 / 5 (R ( /6)) α = 6 3 / 4 (R 3 + R ) 3 / (R 3 /4) α = 4 La matrice finale è triangolare superiore con determinante uguale a. determinante di A sarà α α = 6 4 = 4. Il risultato poteva essere ottenuto direttamente da A tramite la regola det(a) = = 4, basata sulle diagonali di A. Il. A = (R R ) cambio segno (R 3 R ) (R 4 R )

17 Eliminazione di Gauss 7 (R 3 R ) (R 4 R ) / (R 3 /( )) α = / 3/ (R 4 + R 3 ) / (R 4 /( 3/)) α = 3/ Quindi det(a) = (α α ) = 3.