SISTEMI LINEARI, METODO DI GAUSS

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1 SISTEMI LINEARI, METODO DI GAUSS Abbiamo visto che un sistema di m equazioni lineari in n incognite si può rappresentare in forma matriciale come A x = b dove: A è la matrice di tipo (m, n) dei coefficienti del sistema, x è il vettore colonna delle incognite, b è il vettore colonna dei termini noti. Abbiamo anche visto che, nel caso m = n (sistema quadrato ), la condizione det(a) garantisce l esistenza di una e una sola soluzione (cioè una e una sola n-upla di valori delle incognite che sostituiti nelle n equazioni le soddisfano contemporaneamente) e che tale soluzione ha la forma x = A b (metodo di Cramer) il calcolo della quale è peraltro molto pesante non appena n > 3; se invece det(a) = possono esserci infinite o nessuna soluzione; se poi m n non si può nemmeno parlare di determinante. In tutti questi casi il metodo di eliminazione di Gauss risolve ogni incertezza e permette di calcolare le eventuali soluzioni con un numero di operazioni minore di quello necessario per il metodo di Cramer. Consideriamo tre esempi: x + 2y z = y + 2z = z = x + y + 2z + 3v + 3w = y + 2z + 3v + 4w = w = x + y + 2z + 3v + 3w = y + 2z + 3v + 4w = w = Il primo sistema si risolve facilmente dal basso: sostituendo nella seconda equazione il valore di z dato dalla terza si ha y = 2; sostituendo i valori di z e y nella prima si ricava x = 4. Abbiamo quindi una e una sola soluzione {x = 4, y = 2, z = } ottenibile con pochissimi conti. Anche il secondo sistema si risolve facilmente dal basso, ricavando da ogni equazione la variabile che compare più a sinistra con coefficiente diverso da zero: dalla terza equazione si ha w = ; sostituendo nella seconda si ottiene y = 2z 3v; sostituendo ancora i valori trovati per w e y nella prima si ricava x =. Osserviamo che le soluzioni {x =, y = 2z 3v, z qualsiasi, v qualsiasi, w = } sono una doppia infinità perché sono espresse in funzione di due parametri z e v che possono assumere valori arbitrari. Il terzo sistema è invece impossibile per la presenza della terza equazione, che non ammette soluzioni. Consideriamo ore le matrici dei coefficienti dei tre sistemi, a ognuna delle quali è accostata, a destra, la colonna dei termini noti per ottenere la cosidetta matrice orlata : In tutti e tre i casi il numero di zeri con cui inizia una riga è strettamente maggiore di quello della riga precedente. Matrici che godono di questa proprietà si dicono a scalini. Osserviamo che per i primi due sistemi, il numero r = 3 di righe con almeno un elemento diverso da zero (che, per una matrice a scalini, dicesi caratteristica o rango), non aumenta passando dalla matrice dei coefficienti alla sua orlata. È questo fatto che assicura l esistenza di soluzioni. Inoltre nel primo caso, dove il rango r = 3 è uguale al numero n di incognite, esiste una e una sola soluzione. Invece nel secondo, dove n = 5 mentre r = 3, esistono n r = 2 soluzioni. Nel terzo caso invece la matrice dei coefficienti ha rango 2, mentre quella orlata ha rango 3, e questa diversità del rango delle due matrici determina la mancanza di soluzioni del sistema corrispondente. Per esempio, per il primo sistema la matrice dei coefficienti e la matrice orlata sono rispettivamente:

2 Il metodo di eliminazione di Gauss per la risoluzione di un sistema lineare, consiste nel cercare di trasformare il sistema in uno equivalente (cioè con le stesse soluzioni), ma che sia del tipo di uno dei tre sistemi visti, cioè con la matrice dei coefficienti (orlata) nella forma a scalini. Precisiamo meglio i concetti esposti. Il metodo di Gauss è basato sul fatto che se si applicano a un sistema lineare una o più delle tre operazioni elementari seguenti, si ottiene un sistema equivalente al precedente, (cioè che ammette tutte e sole le soluzioni di quello di partenza). Le operazioni elementari sono: ) Scambiare fra loro due equazioni. 2) Moltiplicare ambo i membri di una equazione per uno stesso numero diverso da zero. 3) Sostituire a una equazione la sua somma con una qualsiasi combinazione lineare di alcune altre. (Nel caso più semplice: sommare a una equazione un altra equazione moltiplicata per un numero) Naturalmente è sufficiente fare queste operazioni sulle righe della matrice A b (matrice orlata), che si ottiene accostando, a destra della matrice dei coefficienti, la colonna dei termini noti. Lo scopo è quello di ottenere una matrice A b che chiameremo equivalente alla precedente, che sia nella cosidetta forma a scalini: ogni riga deve cominciare con un numero di elementi nulli più grande di quello della riga precedente. Per esempio, la prima delle tre matrici seguenti è a scalini, le altre due no È sempre possibile, con una opportuna serie di operazioni elementari, arrivare a una forma equivalente a scalini. Il risultato può variare a seconda delle operazioni effettuate, ma il sistema lineare corrispondente alla matrice a scalini trovata ha comunque le stesse soluzioni di quello di partenza. Si può inoltre dimostrare che il numero di righe con almeno un elemento non nullo di una matrice a scalini A equivalente ad A dipende solo da A e non dalle operazioni scelte per arrivare ad A. Tale numero dicesi caratteristica 2 o rango di A. Analogamente si definisce la caratteristica della matrice orlata A b. Vale anche il: Teorema (di Rouchè Capelli): Un sistema di m equazioni lineari in n incognite ammette soluzioni se e solo se la caratteristica r della matrice dei coefficienti A è uguale a quella della matrice orlata A b. In questo caso il sistema ammette n r soluzioni (una e una sola se n = r). Quando la condizione di esistenza delle soluzioni è soddisfatta, il loro calcolo si esegue sul sistema a scalini, caratterizzato dalla matrice A b, equivalente a quello di partenza, come abbiamo visto negli esempi. Come si arriva alla forma a scalini. La strategia da seguire è la seguente: a) portare al primo posto una riga che cominci con il minor numero di zeri. b) con la terza operazione elementare far diventare zero tutti gli elementi della colonna sottostante il primo elemento diverso da zero della prima riga c) ripetere il procedimento dalla seconda riga in giù, poi dalla terza in giù, etc.... Esempio y + 2z + 3v + 4w = 2x + 2y + 4z + 6v + 7w = 2 x + y + 2z + 3v + 3w = 2x y 2z 3v 2w = 2 2 Si può dimostrare che la definizione di caratteristica appena vista è equivalente (da un punto di vista teorico, ma più utile per semplificare i calcoli) a quella classica, secondo la quale la caratteristica di una matrice è l ordine della più grande sottomatrice quadrata a determinanate diverso da zero contenuta nella matrice data. 2

3 Passiamo alla matrice dei coefficienti, orlata con la colonna dei termini noti: a) scambiando la prima riga con la terza, in modo che la nuova prima riga cominci con un elemento diverso da zero, otteniamo: b) sommando alla seconda riga la prima moltiplicata per 2 e sommando alla quarta riga la prima moltiplicata per 2 otteniamo: adesso sotto al primo elemento della prima riga ci sono solo zeri, quindi: c) ripetiamo il procedimento a partire dalla seconda riga in giù: a) scambiando la seconda e la terza riga otteniamo: b) sommando alla quarta la seconda riga moltiplicata per otteniamo: che è una matrice a scalini, corrispondente a un sistema lineare equivalente a quello di partenza. Si vede facilmente che questo nuovo sistema coincide con il secondo dei tre sistemi considerati all inizio del paragrafo, dove è già stato risolto; infatti l equazione corrispondente all ultima riga, avendo coefficienti e termine noto tutti nulli, può essere soppressa senza alterare le soluzioni. Diamo la ricetta generale per discutere un sistema a scalini: Come si risolve un sistema a scalini. Per prima cosa si constata se la matrice dei coefficienti e la sua orlata hanno la stessa caratteristica, altrimenti il sistema è impossibile. Se questa condizione è soddisfatta, si cancellano le (eventuali) ultime m r equazioni che hanno i coefficienti e il termine noto tutti nulli. Rimangono r equazioni: per ciasuna di esse si sceglie la variabile che appare al primo posto da sinistra in quanto è la prima con coefficiente diverso da zero. Le altre n r variabili si portano a destra dei segni di uguale e si considerano come parametri che possono variare liberamente. Si ottiene così un sistema quadrato di r equazioni in r incognite con termini noti dipendenti da n r parametri, la cui matrice dei coefficienti ha tutti gli elementi sotto alla diagonale uguali a zero. Dall ultima equazione si ricava il valore dell unica incognita che vi compare, lo si sostituisce nella penultima, che diventa così in una sola incognita; si ricava quest ultima e così via a ritroso fino alla prima equazione e alla prima incognita. Le soluzioni resteranno espresse in funzione delle n r incognite portate a destra come parametri arbitrari: si dice allora che si hanno n r soluzioni. 3

4 ) Discutere il sistema lineare omogeneo: Passiamo alle matrici asociate: ESERCIZI x 2 + x 4 = x + x 3 + x 5 = 2x + x 2 + 2x 3 + x 4 + 2x 5 = x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = Scambiamo le prime due righe, poi sommiamo la (nuova) prima riga moltiplicata per 2 alla terza, e, moltiplicata per, alla quarta. Nella matrice cosí ottenuta (che ha le ultime tre righe uguali) annulliamo le ultime due, sottraendo loro la seconda. Perveniamo a una matrice a scalini di caratteristica 2 che soddisfa il teorema di Rouché-Capelli (della quale scriviamo solo le prime due righe perché le ultime due sono tutte nulle): ( ) che corrisponde al sistema: { x + x 3 + x 5 = x 2 + x 4 = Teniamo a sinistra le variabili x e x 2, e portiamo a destra le altre tre, ottenendo: { x = x 3 x 5 Si hanno quindi 3 soluzioni x 2 = x 4 {x = x 3 x 5, x 2 = x 4, x 3 = x 3, x 4 = x 4, x 5 = x 5 } Possiamo anche scrivere le soluzioni come combinazione lineare di tre di esse, indipendenti fra loro (quella che chiameremo una base ). Queste tre soluzioni le otteniamo dando alle variabili parametro x 3, x 4, x 5 : prima la terna di valori (,, ) ottenendo s = {,,,, }, poi la terna (,, ) ottenendo s 2 = {,,,, }, e infine la terna (,, ) ottenendo s 3 = {,,,, }. Si ha infatti: x x 2 x 3 = x 3 x 4 x 5 + x 4 + x 5 In questo caso abbiamo potuto scrivere le soluzioni come combinazione lineare di tre di esse perché il sistema era omogeneo, cioè con tutti i termini noti uguali a zero. Se il sistema non è omogeneo (vedi esercizio 2), si può dimostrare che le sue soluzioni si possono scrivere come somma di una qualsiasi di esse con la generica soluzione del sistema omogeneo associato (che si ottiene annullando tutti i termini noti). A sua volta la generica soluzione del sistema omogeneo associato si può scrivere, come nell esempio appena visto, come combinazione lineare di un numero (finito e uguale a n r) di soluzioni del sistema omogeneo, scelte come le s, s 2,... appena viste, e quindi linearmente indipendenti. Questa struttura dell insieme delle soluzioni è comune a tutti i problemi lineari: la ritroveremo per e- sempio quando descriveremo l insieme delle soluzioni di una equazione differenziale lineare di ordine n (o, equivalentemente di un sistema di n equazioni differenziali lineari del primo ordine). 4

5 2) Stabilire per quali valori dei parametri reali α e β il seguente sistema lineare ammette 2 soluzioni e calcolarle. 2x + y z + w = 5 x + y z + 2w = 2 Passiamo alle matrici asociate: x αw = 3 3x + 2y βz + 3w = α β 3 7 Scambiamo la prima riga con la terza, in modo da evitare espressioni frazionarie quando useremo la prima riga per annullare la colonna sotto al suo primo elemento: 3 α β 3 7 Agendo con la prima riga sulle sottostanti tre otteniamo: Agendo con la seconda riga sulla terza e sulla quarta: α α + 2α 2 β 3 + 3α 2 α α α 2 β α Dovremmo ora scambiare le ultime due righe per ottenere una matrice a gradini, ma si vede già che ponendo α = e β = 2 si annullano le ultime due righe e si ottengono le matrici: ( 3 ) 3 che caratterizzano un sistema di caratteristica 2 che soddisfa il teorema di Rouché-Capelli e che quindi avrà 4 2 = 2 soluzioni: {x = 3 + w, y = + z 3w, z = z, w = w} che si possono scrivere come segue, secondo quanto osservato alla fine dell esercizio precedente a proposito dei sistemi non omogenei: x 3 y 3 = + z + w z w È facile verificare che (3,,, ) è una soluzione del sistema non omogeneo di partenza (nel quale si sia posto α =, β = 2), mentre la restante parte della combinazione lineare qui sopra dà la soluzione generale del sistema omogeneo associato (sempre per α =, β = 2). 3 In realtà quando si opera con numeri decimali approssimati anziché con interi, è meglio portare al primo posto la riga che inizia col coefficiente più grande in valore assoluto (in questo caso l ultima); in tal modo si minimizzano gli errori di approssimazione. Queste considerazioni sono oggetto dei corsi di Calcolo Numerico 5

6 3) Stabilire per quali valori del parametro reale α il seguente sistema lineare ammette soluzioni, e calcolarle per α = : x + 2x 2 x 3 + x 4 = 4 2x + x 2 + x 3 x 4 = 3 x x 4 = 2 x 2 + αx 3 x 4 = Risposta: Ammette soluzioni per α 2. Per α = ha l unica soluzione (, 2, 2, 3). 4) Discutere il seguente sistema lineare: x 2 x 3 + x 4 = x + x 2 + x 3 2x 4 = x x 4 = 2x x 2 x 3 = Risposta: Ha soluzioni {x =, x 2 = 2 x 3, x 3 = x 3, x 4 = }, equivalentemente: x x 2 2 = + x x 3 3 x 4 5) Discutere il sistema omogeneo Ax = dove: A = Risposta: Ha 2 soluzioni {x = x 3, x 2 = x 4, x 3 = x 3, x 4 = x 4, x 5 = }, ossia: x x 2 x 3 = x 3 + x 4 x 4 x 5 6) Discutere il sistema omogeneo Ax = dove: A = Risposta: Ha 2 soluzioni {x = 2x 4, x 2 = x3 2, x 3 = x 3, x 4 = x 4 }, ossia: x 2 x 2 = x x x 3 4 x 4 7) Stabilire per quali valori di α reale il seguente sistema lineare è impossibile: x + y + z = α 3x 2y z = 2x + y + αz = α 3 Risposta: per α = 6 5 6