SISTEMI LINEARI MATRICI E SISTEMI 1

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1 MATRICI E SISTEMI SISTEMI LINEARI Sistemi lineari e forma matriciale (definizioni e risoluzione). Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi lineari parametrici. Esercizio Risolvere il sistema omogeneo la cui matrice è A = 4 5. Esercizio Verificare se (,, ) è soluzione del sistema { x y + z = x + y z =. Trovare poi tutte le soluzioni del sistema. Esercizio Risolvere il seguente sistema: z + w = y + z = x + y = 4 y + w = 5 x + z =. Esercizio 4 Risolvere i seguenti sistemi lineari: x y = x y + z = x 4y = S : ; S x y = : x z = 5x y z = 4x 7y = Le soluzioni di quali sistemi formano un sottospazio? ; S : x y + t = x + y + z t = x z t =. Esercizio 5 Scrivere un sistema lineare di equazioni in incognite avente (,) come unica soluzione. È vero che una delle equazioni è combinazione lineare delle altre? È vero che sono tutte proporzionali? Esercizio 6 Costruire, se siste, un sistema lineare di equazioni in incognite in modo che sia verificata, di volta in volta, una delle seguenti proprietà: ) il sistema ammetta una e una sola soluzione; ) il sistema ammetta soluzioni; ) il sistema ammetta soluzioni; 4) il sistema non ammetta soluzioni. Esercizio 7 Sia t un numero reale e consideriamo la matrice A = 5 7. t Risolvere per t = e t = il sistema in incognite AX =.

2 MATRICI E SISTEMI - Sistemi lineari Esercizio 8 Sia t un numero reale e consideriamo le matrici A = e B = t Risolvere per t = e t = il sistema matriciale AX = B. Esercizio 9 Risolvere il sistema di matrice completa Esercizio Utilizzando la regola di Cramer, risolvere i seguenti sistemi (h è un parametro reale): x + y + z = { hx + (h )y = S : x z = ; S : x + hy = 5x y z = (attenzione: discutere il secondo sistema anche per i valori di h R per cui non è utilizzabile la regola di Cramer.) Esercizio Date le seguenti matrici, discutere la risolubilità dei sistemi lineari AX = B al variare del parametro k R, specificando il numero di soluzioni nei vari casi e, in quelli in cui il sistema sia risolubile, calcolandone le soluzioni: S : k k k k ; S : S : k k k ; S 4 : k S 5 : k k k +. k.. k k k k k k k ; ; Esercizio Discutere al variare dei parametri reali a e b e risolvere nei casi di indeterminazione i seguenti sistemi lineari AX = B : S : S : a + a + a a a + a a a a + Esercizio Dato il sistema lineare: b b + b(b + ) b(b ) ; S : ; S 4 : x + y = S : x + y = 5x y = stabilire quali tra le seguenti affermazioni sono vere e quali false:, a a a 4 a a a a a b + b b b + b + 4 b + ;.

3 MATRICI E SISTEMI - Sistemi lineari (i) non ha soluzioni; (ii) ha soluzioni perché ρ(a) = ρ ; (iii) ha una sola soluzione perché ρ(a) = ρ ; (iv) ha (, ) tra le sue soluzioni. Esercizio 4 Dato il sistema lineare: x + u = y + t = S : x + y + z + t + u = y + z = stabilire quali tra le seguenti affermazioni sono vere e quali false: (i) ha una sola soluzione; (ii) non ha soluzioni perché ρ 4; (iii) ha infinite soluzioni; (iv) ha solo soluzioni., Esercizio 5 Data la matrice A = / / / /, stabilire quali tra le seguenti affermazioni sono vere e quali false: (i) A non è invertibile; (ii) A è invertibile e la sua inversa è A T ; (iii) A è invertibile e la sua inversa è A T ; (iv) AX = B ha soluzioni; (v) AX = B ha una sola soluzione. Esercizio 6 Sapendo che (,, ) è soluzione del sistema lineare x + y + z = S : x + y + z =, x + y = stabilire quali tra le seguenti affermazioni sono vere e quali false: (i) r(a) = r(a B); (ii) il sistema ha un unica soluzione; (iii) A non è invertibile; (iv) il sistema ha soluzioni. Esercizio 7 Sia AX = B un sistema lineare di m equazioni in n incognite. Stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false: (i) se n < m il sistema è sempre privo di soluzioni; (ii) se n = m + il sistema ha sempre almeno una soluzione; (iii) se n > m il sistema ha sempre infinite soluzioni; (iv) il sistema ha sempre almeno una soluzione se B =.

4 MATRICI E SISTEMI - Sistemi lineari 4 SVOLGIMENTI Esercizio Si tratta di risolvere il sistema A x y z w = (tante incognite quante le colonne di A e tante equazioni quante le sue righe). La matrice A = 4 5 del sistema è già ridotta per righe (sono in grassetto gli elementi speciali), quindi il sistema si risolve facilmente per sostituzione: si ottiene x + 4z = y + 5z = w = x = 4z y = 5z w = z R qualsiasi. Tale soluzione dipende da parametro libero e, in termini vettoriali, si può anche scrivere nella forma (x, y, z, w) = ( 4z, 5z, z, ) = z ( 4, 5,, ) con z R qualsiasi. Esercizio Il vettore (,,) è soluzione del sistema in quanto le sue componenti x =, y =, z = soddisfano entrambe le equazioni del sistema, come si vede subito sostituendo. La generica soluzione del sistema si può allora ottenere sommando a (,,) la generica soluzione del sistema omogeneo { x y + z = x + y z =, che ha poche equazioni e quindi può essere facilmente risolto per sostituzione: si ottiene { x y + z = x + y z = { y = x + z x + z = y = x z = x x R qualsiasi. Dunque il sistema completo ha soluzioni, della forma (x, y, z) = (,, ) + x(,, ) con x R qualsiasi. Esercizio Si tratta di un sistema lineare completo AX = B di 5 equazioni nelle 4 incognite x, y, z, w. La sua matrice (ottenuta disponendo ordinatamente sulle righe i 4 coefficienti con cui le incognite x, y, z, t compaiono nelle 5 equazioni) è A =

5 MATRICI E SISTEMI - Sistemi lineari 5 mentre il vettore dei termini noti è B = Riduciamo per righe la matrice completa (A B) del sistema: operando ad esempio le trasformazioni indicate, si ottiene 4 R R 5 4 R R R R R R R 4 R 4 R R R 5 R 4 R 4+R R 5 R 5+R R 5 R 5 R Da qui si vede che ρ(a) = 4 5 = ρ (A B) e pertanto il sistema è incompatibile (teorema di Rouché- Capelli) Esercizio 4 Le matrici dei sistemi sono S : (A B ) = S : A =, S : (A B ) =. 5 Riduciamo per righe la matrice (A B ): operando le trasformazioni elementari indicate, si ottiene R R R R R R R (A B ) 4 R 4 4R R R R = (A B ) ed il sistema S è equivalente al sistema A X = B. Dunque, S : { x y = y = cioè S ha l unica soluzione (x, y) = (, ). { x = y =

6 MATRICI E SISTEMI - Sistemi lineari 6 Riduciamo per righe la matrice (A B ): operando le trasformazioni elementari indicate, si ottiene (A B ) = R R 5 5 R R R R R 5R 4 R R R e quindi risulta ρ (A B ) = = ρ (A ). Dunque S è incompatibile (teorema di Rouché-Capelli). Riduciamo per righe la matrice A: operando le trasformazioni elementari indicate, si ottiene A = R R R R R R 5 R R+R 5 = A 4 8 ed il sistema S è equivalente al sistema A X =. Dunque x y + t = S : y + z 5t = 4y 8t = x = y t z = 5t y y = t x = z = t y = t t R qualsiasi. cioè S ha soluzioni, date da (x, y, z, t) = t (,,, ) con t R qualsiasi. Solo le soluzioni del terzo sistema formano sottospazio (in accordo col fatto che le soluzioni di un sistema lineare formano sottospazio se e solo se il sistema è omogeneo) e in particolare si tratta di un sottospazio di dimensione di R 4, con base {(,,, )}. Esercizio 5 Per il teorema di Rouché-Capelli, il sistema cercato deve avere matrice completa (A B) tale che ρ ρ(a) = (n. delle incognite), ad esempio. 4 Qualunque sistema con le caratteristiche richieste ha dunque un equazione che è combinazione lineare delle altre due (in modo che ρ(a B) < ), ma non può avere equazioni tutte proporzionali (altrimenti avrebbe rango ed ammetterebbe soluzioni). Esercizio 6 ) Un siffatto sistema non esiste, perchè per il teorema di Rouché-Capelli dovrebbe avere matrice completa (A B) tale che ρ ρ(a) = (n. delle incognite), il che è impossibile essendo A di tipo. ) Per il teorema di Rouché-Capelli, occorre e basta che il sistema abbia matrice completa (A B) tale che ρ ρ(a) = = (n. delle incognite diminuito del n. di parametri liberi), ad esempio ( ). ) Per il teorema di Rouché-Capelli, occorre e basta che il sistema abbia matrice completa (A B) tale che ρ ρ(a) = = (n. delle incognite diminuito del n. di parametri liberi), ad esempio ( ).

7 MATRICI E SISTEMI - Sistemi lineari 7 4) Per il teorema di Rouché-Capelli, occorre e basta che il sistema abbia matrice completa (A B) tale che ρ(a B) ρ(a), ad esempio ( ). Esercizio 7 Per ogni t reale, la matrice del sistema A = 5 7 t è già ridotta per righe (sono in grassetto gli elementi speciali), quindi il sistema si risolve facilmente per sostituzione. Per t = si ottiene x + y + 5z = y + 7z = z R qualsiasi x = ( 7z) 5z y = 7z z R qualsiasi x = 6z y = 7z z R qualsiasi. Tale soluzione dipende da parametro libero e, in termini vettoriali, si può anche scrivere (x, y, z) = z (6, 7, ) con z R qualsiasi. Per t = si ha invece x + y + 5z = y + 7z = z = x = y = z = e quindi il sistema ammette solo la soluzione nulla (x, y, z) = (,, ). Esercizio 8 La matrice A = t non è ridotta per righe, quindi conviene procedere alla riduzione della matrice completa (A B) del sistema. Operando ad esempio le trasformazioni elementari indicate, si ottiene R R t t R R R = (A B ) t ed il sistema AX = B è equivalente al sistema A X = B, ossia X + X = (, ) X = (, ) tx = (, ) () dove X, X sono i vettori riga (di lunghezza ) della matrice incognita ( ) X X = X

8 MATRICI E SISTEMI - Sistemi lineari 8 (che deve essere di tipo per risolvere AX = B con A e B di tipo ). Per t =, la matrice (A B ) è ridotta per righe ed il sisitema è compatibile (ρ(a) = ρ ); si ottiene cioè X + X = (, ) X = (, ) (, ) = (, ) { X = (, ) X X = (, ) X = ( / / / / { X = (, ) (, ) ( =, ) X = (, ), Per t =, la matrice (A B ) non è ridotta, ma si vede subito che il sistema (??) è incompatibile: esso diventa X + X = (, ) X = (, ) X = (, ) dove le ultime due equazioni sono incompatibili. ). Esercizio 9 Poiché la matrice quadrata A è ridotta con righe tutte non nulle, essa è invertibile e quindi il sistema AX = B equivale a X = A B. Calcolata A =, si ottiene dunque l unica soluzione X = =. Esercizio Il determinante della matrice A del sistema S è deta = =, 5 quindi il sistema ha soluzione unica, la quale può essere determinata con la regola di Cramer. Calcoliamo i determinanti delle matrici ottenute sostituendo una colonna di A con la colonna dei termini noti del sistema: si ottiene = =, = 5 Dunque il sistema ha la soluzione unica (x, y, z) data da =, = 5 x = =, y = deta = =, z = det A = 4 =. Il determinante della matrice A h del sistema S è deta h = h h h = h h + = (h ) = 4.

9 MATRICI E SISTEMI - Sistemi lineari 9 e quindi la regola di Cramer è applicabile per ogni h. In tal caso, S ha la soluzione unica (x, y) data da h h x = (h ) = (h ), y = h (h ) = h (h ). Per h =, il sistema diventa che è ovviamente incompatibile. S : { x + y = x + y = Esercizio Per confrontare il rango della matrice dei coefficienti A con il rango della matrice completa (A B), e discutere quindi la compatibilità del sistema in base al teorema di Rouché-Capelli, si può procedere alla riduzione simultanea per righe delle due matrici, ossia si può ridurre per righe (A B) scegliendo gli elementi speciali sulle colonne di A. Nel caso in cui A sia quadrata, si può anche calcolare prima il determinante di A e scindere i due casi deta e det A =. Si tenga presente che le scritture delle soluzioni trovate di seguito dipendono dalla scelta delle trasformazioni elementari operate nella riduzione e quindi possono cambiare effettuando scelte diverse (si consiglia pertanto di controllare le proprie risostituendo nel sistema). A è quadrata e risulta deta = k k = (k + )(k ). Dunque per ogni k tale che k + 4k 6, ossia k,, c è soluzione unica data da (regola di Cramer) k k k x = = (k )( k + k + 4 ) = k + k + 4, (k + )(k ) (k + )(k ) k + k k k (5k + )(k ) y = = (k + )(k ) (k + )(k ) = 5k + (k + ), k k k k (5k + )(k ) z = = = 5k + (k + )(k ) (k + )(k ) k +. Per k =, risulta S : R R R 6 8 6, da cui si vede che (A B) ha rango, mentre A ha rango (in quanto (, 6, ) e (,, ) sono linearmente dipendenti). Dunque il sistema è incompatibile. Per k =, risulta S : R R+R

10 MATRICI E SISTEMI - Sistemi lineari e perciò S : { x + z = y + z = x = y z = y y R qualsiasi. Dunque S ha soluzioni, date da (x, y, z) = y (,, ) con y R qualsiasi (sottospazio vettoriale di R ). S è omogeneo e pertanto è sempre compatibile, con soluzioni che dipendono da 4 ρ (A) parametri liberi (4 è il n. delle incognite) e formano sottospazio vettoriale di R 4. Poiché A = k k R R k k R R kr k k k k k R R R k k k (sono in grassetto gli elementi speciali), risulta S : = A ρ (A) = ρ (A ) = { x y z = y + z + w = { se k = se k e pertanto S ha soluzioni per k = ed soluzioni per k. In ogni caso, S è equivalente al sistema omogeneo di matrice A. Se k =, allora e dunque le soluzioni di S sono della forma x = y + z w = y z y, z R qualsiasi (x, y, z, w) = (y + z, y, z, y z) = y (,,, ) + z (,,, ) con y, z R qualsiasi. Se k, allora S : x y z = ky + kz + w = ( k)y = x = z w = kz y = z R qualsiasi e dunque le soluzioni di S sono della forma (x, y, z, w) = (z,, z, kz) = z (,,, k) con z R qualsiasi. Poiché A ha due righe uguali, risulta deta = per ogni k. Procediamo allora alla riduzione simultanea; operando la trasformazioni indicate, si ottiene k k R R R k R R R k k k, k k k k da cui si vede che risulta ρ (A) = { se k = se k { se k = oppure k = / e ρ se k, /.

11 MATRICI E SISTEMI - Sistemi lineari Dunque il sistema è compatibile (cioè ρ (A) = ρ (A B)) se e solo se k = /, nel qual caso si hanno soluzioni. Più precisamente, si ottiene S : { x + y + z = { + x + y = x + z = y = + x e dunque le soluzioni di S sono della forma (x, y, z) = (x, + x, ) x con x R qualsiasi. z = x y = + x x R qualsiasi ( = (,, ) + x,, ) Osserviamo che il rango di A non può superare e iniziamo allora ad escludere i valori di k per i quali ρ, cioè quelli che non annullano det (A B). Si ha k k k = (k + )(k ) k e dunque il sistema è incompatibile per ogni k, /. Per k =, si ha R R R R R R 6 da cui si vede che ρ (A) = ρ e pertanto il sistema ha soluzione unica. Più precisamente, risulta { { x + y = x = S 4 : = y = y =. Per k = /, si ha / / 5/ / R R + R R R + 9 R / / /, / da cui si vede che ρ (A) = ρ e pertanto il sistema ha soluzione unica. Più precisamente, risulta { S 4 : x + y = { y = x = + y = 6 = 4 y =., Ragionando come per S, si trova che S 5 ha soluzione unica per k,, data da k k k k k x = = k + k ( + k) k, y = k = k + k ( + k) k, z = k k ( + k) =. Per k =, il sistema risulta incompatibile, mentre per k = ci sono soluzioni, date ad esempio da (x, y, z) = ( + z, + ) ( z, z = (,, ) + z, ), con z R qualsiasi.

12 MATRICI E SISTEMI - Sistemi lineari Esercizio Le matrici dei coefficienti dei primi tre sistemi sono quadrate e perciò in tali casi possiamo calcolare il determinante di A: per i valori del parametro a per i quali il determinante risulta diverso da si avrà rango massimo uguale al rango della matrice completa ed il sistema ammetterà dunque una ed una sola soluzione; resteranno poi da studiare i casi di rango non massimo, che corrispondono a valori particolari di a e quindi saranno discussi in funzione dell unico parametro rimasto b. Si ha a a + a + a a + = (a )(a + ) e dunque S è determinato (cioè ha soluzione unica) per ogni a, e ogni b R. Se a =, si tratta di studiare il sistema dato da R R +R R b R R b. b + b Risulta ρ (A) ρ (A B) per ogni b (sistema incompatibile) e ρ (A) = ρ per b =, nel qual caso ci sono soluzioni, della forma (x, y, z) = ( + y, y, z) = (,, )+ y (,, )+z (,, ) con y, z R qualsiasi. Se a =, si tratta di studiare il sistema R R R b b + R R R R R R (b ) (b ). (b ) b Risulta ρ (A) ρ (A B) per ogni b (sistema incompatibile) e ρ (A) = ρ per b =, nel qual caso ci sono soluzioni, della forma (x, y, z) = ( y, y, ) = (,, ) + y (,, ) con y R qualsiasi. Analogamente si ottiene quanto segue circa S ed S. S ha soluzione unica per a,, e b R. Per a = oppure a = : il sistema è incompatibile per ogni b R. Per a = : non ci sono soluzioni se b, ci sono soluzioni se b =, date da {(z, z, z) : z R}. S ha soluzione unica per a,,. Per a = : non ci sono soluzioni se b, ci sono soluzioni se b =, date da {(, z, z) : z R}. Per a = : non ci sono soluzioni se b, ci sono soluzioni se b =, date da{( 4z, z, z) : z R}. Per a = : non ci sono soluzioni se b, ci sono soluzioni se b =, date da {( 4z, z, z) : z R}. La matrice dei coefficienti di S 4 è di tipo, quindi procediamo alla riduzione simultanea di A e (A B). Si ha a a b + R R ar a R b + 4 R R a a b + a a b ab a + 4 = (A B ) a a b + a e quindi risulta ρ (A) = ρ se a e ρ (A) = se a =. Nel primo caso, il sistema ha soluzioni per ogni b R, le quali si possono ricavare per sostituzione

13 MATRICI E SISTEMI - Sistemi lineari risolvendo A X = B ; si trova S 4 : Se a =, risulta (A B ) = x = b + ay + aw a y = b ab a + 4 a (a 4)w z = aw b + b + 4 R R R x = b+4 a + 4w y = b ab a+4 a z = aw w R qualsiasi. + a 4 a w b + b + 4 per cui ρ (A) = ρ (A B) se e solo se b = 4. Dunque il sistema è incompatibile se a = e b 4, mentre per a = e b = 4 equivale a { x = z = che ha le soluzioni date da {(, y,, w) : y, w R}. Esercizio Si ha 5 R R R R R +R 7 e quindi risulta ρ (A) = ρ, che coincide anche con il n. di incognite; ciò significa che il sistema ha una ed una sola soluzione (teorema di Rouché-Capelli). Dunque la (iii) è vera, mentre (i) e (ii) sono false. Anche la (iv) risulta falsa, in quanto il sistema non è soddisfatto sostituendo x = e y =. Esercizio 4 Si ha R R 4 R R R R (sono in grassetto gli elementi speciali) e quindi risulta ρ (A) = ρ 4, il che significa che il sistema ha soluzioni (teorema di Rouché-Capelli). Dunque l unica affermazione vera è la (iii). Esercizio 5 Si ha deta = / / / / = e quindi A è invertibile. Di conseguenza, la (i) e la (iv) sono false, mentre la (v) è vera. Poiché risulta AA T = / / / / / / / / =, la (ii) è vera e la (iii) è falsa.

14 MATRICI E SISTEMI - Sistemi lineari 4 Esercizio 6 La (iv) è in ogni caso falsa, in quanto un sistema lineare compatibile che non abbia una sola soluzione, ne ha infinite. Siccome (,, ) è soluzione, il sistema è compatibile e quindi la (i) è vera (condizione necessaria e sufficiente di compatibilità). Poiché risulta det A = A è invertibile e quindi la (ii) è vera e la (iii) è falsa. =, Esercizio 7 (i) FALSA; ad esempio il sistema x = y = x + y = è compatibile. (ii) FALSA; ad esempio il sistema { x + y + z = x + y + z = è incompatibile. (iii) FALSA; v. controesempio al punto precedente. (iv) VERA, in quanto un sistema omogeneo ha sempre la soluzione nulla.