MATEMATICA. a.a. 2014/ Sistemi di equazioni lineari

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1 MATEMATICA a.a. 2014/15 8. Sistemi di equazioni lineari

2 SISTEMI LINEARI Si definisce sistema lineare un sistema di p equazioni di primo grado in q incognite. a11x1 + a12 x a1 qxq = k1 a21x1 + a22x a2q xq = k2... ap1x1 + ap2x apqxq = k p Se tutte le k i sono nulle (k i =0), il sistema si dice omogeneo.

3 SISTEMI LINEARI Il sistema si può scrivere mediante matrici nel seguente modo: a11 a12... a1 q x1 k1 a21 a22... a2q x2 k2 = ap 1 ap2... a pq x q k p o, in forma compatta: AX = K dove A denota la matrice del sistema, vale a dire la matrice di tipo (p, q) dei coefficienti incogniti, X denota la matrice colonna di tipo (q, 1) delle incognite, e K denota la matrice colonna di tipo (p, 1) dei termini noti.

4 SISTEMI LINEARI A a11 a12... a1 q a21 a22... a2q = ap 1 ap2... a pq è la matrice dei coefficienti (matrice incompleta) X x1 x2 =... x q è il vettore colonna delle incognite K k1 k2 =... k p è il vettore colonna dei termini noti

5 SISTEMI LINEARI Accanto a queste tre matrici è opportuno introdurre una quarta matrice, detta matrice completa del sistema e denotata simbolicamente con A K Essa è la matrice che si ottiene affiancando alle colonne della matrice del sistema, come ulteriore colonna, la matrice dei termini noti. Pertanto la matrice completa risulta essere di dimensione (p, q + 1).

6 SISTEMI LINEARI ( A, K ) a a... a k q 1 a a... a k q 2 = k 3... a a a k p1 p2 pq q Matrice completa del sistema: matrice ottenuta dalla matrice incompleta aggiungendo la colonna dei termini noti. 6

7 SISTEMI LINEARI Si dice soluzione del sistema, qualunque q pla di numeri reali, che soddisfi tutte le equazioni del sistema; l insieme di tutte le soluzioni è detto soluzione generale. Un sistema che ammette almeno una soluzione si dice compatibile, se invece, non esiste una q pla di valori che soddisfi tutte le equazioni del sistema, il sistema si dice incompatibile.

8 SISTEMI LINEARI In un sistema vi possono essere delle equazioni che sono combinazioni lineari delle altre equazioni. Si dice che un equazione è combinazione lineare di altre equazioni se si ottiene moltiplicando queste equazioni per opportuni fattori (non tutti nulli) e sommando poi membro a membro. Le equazioni che sono combinazioni di altre, si possono trascurare perché le eventuali soluzioni delle altre le verificano. Se nessuna equazione è combinazione lineare delle altre equazioni, esse si dicono linearmente indipendenti.

9 SISTEMI LINEARI Due classici teoremi che esprimono delle condizioni necessarie e sufficienti per la risolubilità di un sistema di equazioni lineari attraverso i determinanti. Teorema di Cramer Teorema di Rouché - Capelli

10 TEOREMA DI CRAMER Si consideri un sistema di q equazioni in q incognite: a11 x1 + a12 x a1 qxq = k1 a21x1 + a22x a2qxq = k2... aq 1x1 + aq2x aqq xq = kq La matrice dei coefficienti in questo caso è una matrice quadrata. Un sistema di equazioni lineari si può risolvere con il metodo di Cramer se e solo se sono soddisfatte le seguenti condizioni: 1. il numero delle equazioni è uguale al numero delle incognite; 2. il determinante della matrice dei coefficienti è diverso da 0. Se queste condizioni sono soddisfatte il sistema ammette una ed una sola soluzione, ossia il sistema è determinato.

11 TEOREMA DI CRAMER Un sistema di q equazioni in q incognite, con determinante della matrice A dei coefficienti diverso da 0, è compatibile ed ammette una sola soluzione. Il valore di ciascuna incognita è dato da una frazione avente per denominatore det (A) e per numeratore il determinante della matrice ottenuta sostituendo, nella matrice dei coefficienti, la colonna dei termini noti alla colonna dei coefficienti dell incognita cercata.

12 TEOREMA DI CRAMER Posto che: a11 a12... a1 q a21 a22... a2q A = aq 1 aq2... a qq X x1 x2 =... x q K k1 k2 =... k p Il sistema si può indicare: A X = K Calcoliamo la matrice inversa A -1 della matrice A che esiste perché, per ipotesi, è det(a) 0. Moltiplicando entrambi i membri dell equazione matriciale per A -1, si ottiene: 1 1 A ( AX ) = A K

13 TEOREMA DI CRAMER Partendo dalla relazione AX = K si tratta di isolare la colonna delle incognite, portando a secondo membro la matrice del sistema, ossia moltiplicando (a sinistra) ambo i membri della relazione per l inversa della matrice A e ricordando che A -1 A = I: 1 1 A AX = X = A K

14 ESEMPIO Risolvere il sistema: 2x y = 9 3x + 2y = 4 Si può applicare la regola di Cramer perché il numero delle equazioni è uguale al numero delle incognite e inoltre: 2 1 det( A) = =

15 Applicando la regola di Cramer si ricava: x = = = y = = = Il sistema ammette una ed una sola soluzione: x = 2 y = 5

16 ESEMPIO Risolvere il sistema: x y + 2z = 3 2x + 3y z = 1 3x + y 2z = 7 Calcoliamo il determinante della matrice dei coefficienti: det( A) = =

17 Essendo det (A) 0 il sistema si può risolvere con la regola di Cramer: x = = = y = = = z = = =

18 ESEMPI x + 2y = 10 2x y = 5 2x + y z = 6 x 2y + 3z = 2 3x + y + z = 8 18

19 TEOREMA DI ROUCHẾ CAPELLI Un sistema lineare ha soluzioni se e soltanto se il rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta. Si consideri un sistema di p equazioni in q incognite: a11 x1 + a12 x a1 qxq = k1 a21x1 + a22x a2qxq = k2... ap1x1 + ap2x apqxq = k p Condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema sia compatibile, è che la matrice formata dai coefficienti (matrice incompleta) e la matrice completa (matrice incompleta +matrice colonna termine noti) abbiano lo stesso rango.

20 TEOREMA DI ROUCHẾ CAPELLI Per determinare il rango delle due matrici si calcola il massimo ordine dei determinanti non nulli che si possono estrarre dalle matrici. Siano r, r rispettivamente il rango della matrice incompleta (matrice dei coefficienti) e il rango della matrice completa e sia q il numero delle incognite. se r r il sistema non ammette soluzioni (sistema incompatibile o impossibile); se r = r < q il sistema ammette infinite soluzioni (sistema indeterminato) se r = r = q il sistema è equivalente a un sistema di q equazioni in q incognite di rango q e quindi si ricade nella situazione del teorema di Cramer (sistema a unica soluzione).