I sistemi di equazioni di primo grado

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1 I sistemi di equazioni di primo grado RIPASSIAMO INSIEME SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Un sistema di equazioni di primo grado in due (o più) incognite è l insieme di due (o più) equazioni di primo grado che devono essere soddisfatte contemporaneamente. Risolvere un sistema in due (o più) equazioni significa determinare, se esiste, ogni coppia (o terna, ecc.) di numeri che è soluzione di entrambe le equazioni contemporaneamente. Un sistema può essere: determinato, se ammette una sola soluzione; indeterminato, se ammette infinite soluzioni; impossibile, se non ammette soluzioni. Un sistema si dice ridotto in forma normale quando le sue equazioni sono ridotte in forma normale: ax by c a x b y c Anche senza risolvere il sistema, se ne può stabilire il tipo: a b se a b il sistema è determinato a b c se a b c il sistema è indeterminato a b c se a b c il sistema è impossibile SISTEMI EQUIVALENTI Due sistemi si dicono equivalenti se sono costituiti da equazioni che hanno le stesse incognite e che ammettono le stesse soluzioni. SISTEMI FRAZIONARI I sistemi frazionari sono i sistemi nelle cui equazioni almeno una delle incognite compare a denominatore. SISTEMI LETTERALI I sistemi letterali sono i sistemi le cui equazioni contengono, oltre alle incognite, altre lettere dette parametri. OSSERVA COME SI FA Metodi di risoluzione dei sistemi METODI ALGEBRICI RISOLUTIVI Sostituzione Confronto Riduzione Cramer Metodo di sostituzione ❶ Si risolve una delle due equazioni rispetto a una delle incognite e si ricava la sua espressione; ❷ si sostituisce l espressione trovata nell altra equazione; ❸ si risolve la seconda equazione ricavando la seconda incognita; ❹ si sostituisce il valore trovato nell espressione della prima incognita e si calcola il suo valore. 1 Risolvi il seguente sistema utilizzando il metodo di sostituzione: x 3y 2 2x 4y 1 risolviamo la prima equazione rispetto a x e ricaviamo la sua espressione x 3y 2 2x 4y 1 90 Poichè il sistema è determinato. sostituiamo l espressione trovata per x nella seconda equazione

2 x 3y 2 2(3y 2) 4y 1 risolviamo la seconda equazione ricavando y x 3y 2 6y 4 4y 1 x 3y 2 10y 5 x 3y 2 y 1 2 sostituiamo nella prima equazione il valore di y e otteniamo il valore di x y 1 2 x x 1 2 y 1 2 la soluzione 1 2 ; 1 2. verifichiamo il risultato sostituendo nel sistema di partenza i valori ottenuti per x e y Entrambe le equazioni sono soddisfatte e pertanto la soluzione 1 2 ; 1 2 è corretta. Metodo del confronto ❶ Si risolvono entrambe le equazioni rispetto alla stessa incognita; ❷ si uguagliano le due espressioni ottenute; ❸ si risolve l equazione ricavando l incognita rimasta; ❹ si sostituisce il valore trovato in una delle due equazioni a scelta. 2 Risolvi il seguente sistema utilizzando il medoto del confronto: x 3y 2 2x 4y 1 Poichè il sistema è determinato. ricaviamo x da entrambe le equazioni x 3y 2 x 4y 1 2 uguagliamo le due espressioni di x e abbiniamo l equazione ottenuta a una equazione a scelta (la più semplice) 3y 2 4y 1 2 x 3y 2 risolviamo la prima equazione ricavando y e sostituiamo poi il suo valore nella seconda equazione 6y 4 4y 1 x 3y 2 10y 5 x 3y 2 y 1 2 x y 1 2 x 1 2 la soluzione 1 2 ;

3 Metodo di riduzione ❶ Si moltiplicano le equazioni per un valore opportuno in modo che i coefficienti di una incognita nelle due equazioni siano uguali o opposti; ❷ si addizionano o si sottraggono membro a membro le due equazioni, ottenendo un equazione in una sola incognita; ❸ si risolve tale equazione e si ricava l incognita; ❹ si sostituisce il valore trovato in una delle due equazioni e si ricava l altra incognita. 3 Risolvi il seguente sistema utilizzando il medoto di riduzione: x 3y 4 2x 3y 2 I coefficienti di y sono opposti: non è necessario effettuare alcuna moltiplicazione. addizioniamo membro a membro le due equazioni x 3y 4 2x 3y 2 3x 0 6 ricaviamo il valore di x x 2 abbiniamo la soluzione trovata a una delle due equazioni iniziali (la più semplice) x 2 x 3y 4 sostituiamo il valore di x nella seconda equazione e ricaviamo il valore di y x 2 3y 2 x 2 y 2 3 la soluzione 2 ; 2 3. verifichiamo il risultato ottenuto Metodo di Cramer Dato il sistema di primo grado in due incognite a b a b ax bx c a x b x c c b c b ❶ si calcolano i determinanti: D ab a b D x cb c b D y x D x D ❷ se D 0, si ricavano le soluzioni: y D y D a c ac a c a c 4 Risolvi il seguente sistema utilizzando il medoto di Cramer: 2x 3y 6 x 3y calcoliamo i determinanti D D x D y poichè D 0 possiamo ricavare la soluzione x D x 27 3 D 9 y D y 36 4 D 9 la soluzione (3 ; 4).

4 Sistemi frazionari ❶ Si stabiliscono le condizioni di esistenza; ❷ si riduce il sistema in forma normale; ❸ si risolve il sistema con uno dei metodi visti; ❹ si controlla l accettabilità della soluzione. Risolvi i seguenti sistemi frazionari: x 3 2 y 1 5 x y 3 y x C.E.: determiniamo le condizioni di esistenza delle frazioni y 1 y x riduciamo il sistema in forma normale x 3 2(y 1) x y 3(y x) x 2y 1 4x 2y 0 risolviamo con il metodo di riduzione: sottraendo membro a membro le due equazioni, ricaviamo il valore di x x 2y 1 4x 2y 0 3x 0 1 sostituiamo il valore di x nella seconda equazione e ricaviamo il valore di y x 1 3 x 1 3 4x 2y 0 x y 0 y 2 3 Concludiamo: la soluzione 1 3 ; 2 3 è accettabile (perchè sono rispettate le condizioni di esistenza y 1 e y x), dunque il sistema è determinato x 2 y x 4 y scomponiamo i denominatori in fattori x 2 y (4 x) 4 y C.E.: determiniamo le condizioni di esistenza x 2 x 4 y 3 y 0 riduciamo il sistema in forma normale 2(y 3) 3(x 2) 0 2y x 4 2y 6 3x 6 0 2y x 4 risolviamo con il metodo di riduzione: sottraendo membro a membro le due equazioni, ricaviamo il valore di x 2y 3x 12 2y x 4 4x 8 x 2 sostituiamo nella seconda equazione e ricaviamo il valore di y x 2 x 2 x 2 2y 2 4 2y 2 4 y 3 La soluzione è (2 ; 3) e non è accettabile perché tali valori annullano i denominatori della prima equazione. Il sistema è impossibile. 93

5 Sistemi letterali ❶ Si stabiliscono le condizioni di esistenza; ❷ si riduce il sistema in forma normale: ❸ si calcolano i determinanti: ax by c a x b y c a b a b ❹ si discute e si risolve: D 0 sistema D ab a b D x b c bc D y x D x D y D y D c b c b determinato a c ac a c a c D 0 D x D y 0 D x 0 D y 0 sistema indeterminato sistema impossibile Risolvi i seguenti sistemi letterali: 7 2x by 3b x 3by b calcoliamo i determinanti D 2 b b 7b 1 3b 6b D x 3b b b 2 10b 2 b 3b 9b2 D y 2 3b 2b 3b b 1 b discutiamo i determinanti e risolviamo x 10 7 b b D 0: 7b 0, cioè b 0 b y 1 7b 7 D 0: b 0 x 0 x 0 il sistema è indeterminato 0y 0 equazione indeterminata Riepilogando i risultati ottenuti: b 0: si ha la soluzione 1 0 b ; e il sistema è determinato; b 2 94 b 0: il sistema è indeterminato.

6 8 3ax y a (2 a)x (2 a)y 1 calcoliamo i determinanti D 2 a 2 a 3a 1 2 a (2 a)3a 2 a 6a 3a 2 3a 2 5a 2 (3a 2 5a 2) (a 1)(3a 2) D x 1 2 a a 1 1 a(a 2) 1 a 2 2a (a 2 2a 1) (a 1) 2 D y 2 a 1 3a a a(2 a) 3a 2a a 2 3a a 2 a a(a 1) discutiamo i determinanti e risolviamo D 0: (3a 2)(a 1) 0 da cui 3a 2 0 a 1 0, cioè a 2 3 a 1 (a x (3 a 2 1) a 1 2)( a 1) 3 a 2 a(a 1) a y (3a 2)(a 1) 3a 2 D 0: 3a 2 0, cioè a 2 il sistema è impossibile; 3 a 1 0, cioè a 1 il sistema è indeterminato. Riepilogando i risultati ottenuti: a 2 3 a 1: si ha la soluzione a 1 a ; 3a 2 3a 2 e il sistema è determinato; per a 2 : il sistema è impossibile; 3 a 1: il sistema è indeterminato. Sistemi con più di due incognite 9 Risolvi il seguente sistema in più incognite: x y 1 3x y z 8 2y z 1 ricaviamo il valore di x dalla prima equazione e sostituiamo l espressione ottenuta nelle altre due x y 1 3(y 1) y z 8 2y z 1 svolgiamo i calcoli e portiamo la seconda equazione in forma normale 95

7 x y 1 4y z 5 2y z 1 ricaviamo il valore di z dalla terza equazione e sostituiamo l espressione ottenuta nella seconda equazione x y 1 4y (2y 1) 5 z 2y 1 ricaviamo il valore di y x y 1 x y 1 6y 6 y 1 z 2y 1 z 2y 1 sostituiamo il valore di y nelle altre due equazioni e ricaviamo x e z x 1 1 x 2 y 1 y 1 z 2 1 z 1 Concludiamo: il sistema è determinato e ammette come soluzione la terna di numeri: (2 ; 1 ; 1). Sistemi risolubili con artifici 10 Risolvi il seguente sistema: 3 y 2 x t 2t 1 41 u 3 2 4t 1 y 4 x 3 2 se eseguissimo i calcoli determinando il denominatore comune, otterremmo un sistema di quarto grado; eseguiamo perciò un opportuno cambiamento di variabile nel sistema 1 x t e 1 y u determiniamo le condizioni di esistenza C.E.: x 0 y 0 eseguiamo la sostituzione di variabile nel sistema iniziale 18 48t 8t 11 u 3 2 4t ricaviamo il valore di t e sostituiamolo nella seconda equazione per ottenere u 56t 7 u 3 2 4t t 1 8 u 1 t 1 8 u y 2 1 x u 2t y 4 1 x 3 2 u 4t 3 2 risolviamo applicando il metodo di sostituzione: ricaviamo u dalla seconda equazione e sostituiamo la sua espressione nella prima ricordando la sostituzione iniziale, otteniamo le soluzioni del sistema 1 x 1 8 x 8 1 y 1 y 1 la soluzione (8 ; 1).

8 LAVORIAMO INSIEME 1 Risolvi il seguente sistema utilizzando il metodo di sostituzione: x y x 1 4 y 5 3 riduci il sistema in forma normale x y 5 risolvi la prima equazione rispetto a x e ricava la sua espressione x... sostituisci l espressione trovata nella seconda equazione x 5 y 4(...) 3y 20 risolvi la seconda equazione e ricava il valore di y sostituisci il valore di y nella prima equazione e calcola il valore di x la soluzione (5 ; 0). verifichiamo il risultato ottenuto Risolvi il seguente sistema utilizzando il medoto del confronto: 3x 2y 2 12x 6y 1 ricava l espressione di y da entrambe le equazioni y y uguaglia le due espressioni ottenute e mantieni una delle due equazioni... 12x 1 6 y 3x 2 2 risolvi la prima equazione ricavando x y 3x 2 2 sostituisci il valore di x trovato nella seconda equazione e calcola il valore di y Concludi: il sistema è... e ammette la soluzione: 1 3 ;

9 3 Risolvi il seguente sistema utilizzando il medoto di riduzione: x 4x y x 4y Risolvi il seguente sistema utilizzando il medoto di Cramer: 1 2 (x y) 1 2 (x y) x y 1 2 y 1 riduci il sistema in forma normale riduci il sistema in forma normale i coefficienti di y diventano opposti se moltiplichi per 2 la prima equazione 2 11x 2y calcola i determinanti 1 7 D 4 15 addiziona membro a membro e ricava il valore di x 22x 4y x.. abbina alla soluzione trovata una delle due equazioni iniziali e determina il valore di y x D x D y poichè D 0, puoi determinare le soluzioni x D x D y D y D la soluzione: 1 ; 1 2. Concludi: il sistema è... e ammette la soluzione 2 0 ;

10 5 Risolvi il seguente sistema frazionario: 2x 1 x y 2 2 y 2 x xy 1 1 3y Risolvi il seguente sistema letterale: 4 2ax 2y x x 8a 2a 2 x 5 y 2ay riduci il sistema in forma normale determina le condizioni di esistenza C.E.: x... y... riduci il sistema in forma normale x 3y 1 4x y 2 risolvi con un metodo a scelta Concludi: il sistema è... e ammette la soluzione 5 ; La soluzione è accettabile perchè (...)x 2y 4 (...)x (...)y 8a 5 calcola i determinanti D D x D y (8a 2 18a 9) (8a 2 12a 6a 9) discuti i determinanti e risolvi D 0: a... x... y... D 0: a Riepiloga i risultati ottenuti: a...: la soluzione è (2 ; 2a 3); a...: il sistema è... 99

11 7 Risolvi il seguente sistema in tre incognite: 2x 3y 2z 5 4x 3y z 1 x 2 y z riduciamo in forma normale 2x 3y 2z 5 2x 3y 2z 5 4x 3y z 1 4x 3y z 1 2x 4 3y 3z 6 2x 3y 3z 2 ricava il valore di z dalla seconda equazione e sostituisci la sua espressione nelle altre due equazioni 10x 3y 3 z 4x 3y 1 z 4x 3y 1 14x 12y 1 ricava il valore di y dalla prima equazione e sostituisci la sua espressione nella terza equazione y 10x 3 3 z 4x 3y 1 ricava il valore di x dalla terza equazione e sostituiscilo nella prima equazione, ricavando y y 10x 3 3 z 4x 3y 1 z 4x 3y 1 x 1 2 sostituisci i valori di x e y nella seconda equazione e determina il valore di z y y z z x 1 2 x Concludi: il sistema è e ammette la soluzione (... ;... ;...).

12 8 Risolvi il seguente sistema in tre incognite: 3x 5y 2z 1 x 2y z 3 4x 25y 11z 12 ricava il valore di z dalla seconda equazione e sostituisci la sua espressione nelle altre due equazioni 3x 5y 2(...) 1 z x 2y 3 4x 25y 11(...) 12 5x y 7 z x 2y 3 z x 2y 3 15x 3y 21 semplifica la terza equazione dividendo entrambi i membri per 3 5x y 7 z x 2y 3 5x y 7 osserva che la prima e la terza equazione sono uguali. Ricava il valore di y da una di queste due equazioni e sostituiscilo nelle altre due equazioni 5x 5x 7 7 x x z x 2(5x 7) 3 z 11x 17 y 5x 7 y 5x 7 Concludi: il sistema è... e ammette infinite soluzioni, che sono del tipo: x x y 5x 7 z 11x