ESERCIZI. Test di autoverifica Prova strutturata conclusiva ESERCIZI

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1 Indice capitolo Sistemi di primo grado Equazioni in due incognite... Generalità sui sistemi... 5 Metodi di risoluzione dei sistemi di primo grado 0 Sistemi letterali... Sistemi di tre equazioni in tre incognite... 5 Risoluzioni di problemi con sistemi... 0 in sintesi... Applicazioni informatiche... ESERCIZI Equazioni in due incognite... 4 Generalità sui sistemi Metodi di risoluzione dei sistemi di primo grado 50 4 Sistemi letterali Sistemi di tre equazioni in tre incognite... 7 Risoluzioni di problemi con sistemi Test di autoverifica Prova strutturata conclusiva capitolo Calcolo con i radicali L insieme dei numeri reali... 9 I radicali Proprietà invariantiva e semplificazione di radicali Moltiplicazione e divisione di radicali... 0 Elevamento a potenza ed estrazione di radice di radicali Addizione di radicali... Razionalizzazione dei denominatori... Radicali doppi... 8 I radicali come potenze con esponente razionale... 0 Estensione in R dei radicali con indice dispari... in sintesi... 8 Applicazioni informatiche... ESERCIZI L insieme dei numeri reali... 7 I radicali... 9 Proprietà invariantiva e semplificazione di radicali Moltiplicazione e divisione di radicali Elevamento a potenza ed estrazione di radice di radicali... Addizione di radicali Razionalizzazione dei denominatori Radicali doppi I radicali come potenze con esponente razionale Estensione in R dei radicali con indice dispari... 9 Test di autoverifica... 9 Prova strutturata conclusiva capitolo Equazioni di secondo grado Equazioni di secondo grado incomplete Equazioni di secondo grado complete... 0 Equazioni frazionarie Equazioni letterali... 0 Relazioni fra le soluzioni e i coefficienti di un equazione di secondo grado... 4 Scomposizione del trinomio di secondo grado 7 Equazioni con parametri... 0 Problemi di secondo grado... 5 Risoluzione di equazioni di grado superiore al secondo... in sintesi... Applicazioni informatiche... ESERCIZI Equazioni di secondo grado incomplete... 7 Equazioni di secondo grado complete... 4 Equazioni frazionarie Equazioni letterali Relazioni fra le soluzioni e i coefficienti di un equazione di secondo grado Scomposizione del trinomio di secondo grado 7 Equazioni con parametri Problemi di secondo grado Risoluzione di equazioni di grado superiore al secondo Test di autoverifica Prova strutturata conclusiva VII

2 Indice capitolo 4 Sistemi di grado superiore al primo Sistemi di secondo grado... 9 Sistemi di grado superiore al secondo Sistemi simmetrici Risoluzione di problemi con sistemi di grado superiore al primo in sintesi Applicazioni informatiche ESERCIZI Sistemi di secondo grado... Sistemi di grado superiore al secondo... 0 Sistemi simmetrici Risoluzione di problemi con sistemi di grado superiore al primo... 4 Test di autoverifica... 9 Prova strutturata conclusiva... 4 capitolo 5 Elementi di geometria analitica del piano 4 4 Il piano cartesiano... 4 La retta La parabola L iperbole equilatera... 8 in sintesi Applicazioni informatiche ESERCIZI Il piano cartesiano La retta La parabola L iperbole equilatera... 4 Test di autoverifica Prova strutturata conclusiva... 4 capitolo Disequazioni Generalità sulle disequazioni... 4 Principi di equivalenza delle disequazioni Disequazioni di primo grado Disequazioni di secondo grado Disequazioni di grado superiore al secondo Disequazioni frazionarie Sistemi di disequazioni Equazioni irrazionali ed equazioni con valori assoluti Complementi. Disequazioni irrazionali e disequazioni con valori assoluti... 4 in sintesi Applicazioni informatiche ESERCIZI Generalità sulle disequazioni Principi di equivalenza delle disequazioni Disequazioni di primo grado Disequazioni di secondo grado Disequazioni di grado superiore al secondo Disequazioni frazionarie Sistemi di disequazioni Equazioni irrazionali ed equazioni con valori assoluti Complementi. Disequazioni irrazionali e disequazioni con valori assoluti Test di autoverifica Prova strutturata conclusiva Risposte esercizi conclusivi Test e prove di fine biennio Test di autoverifica di fine biennio Prima prova di fine biennio... 5 Seconda prova di fine biennio... 5 Risultati dei test di autoverifica di fine biennio VIII

3 capitolo Sistemi di primo grado prerequisiti Conoscere bene il calcolo numerico Saper operare con i polinomi Saper risolvere equazioni di primo grado conoscenze Conoscere le caratteristiche delle equazioni in due incognite Conoscere e saper giustificare i principali metodi di risoluzione dei sistemi di primo grado abilità Saper risolvere un sistema di primo grado numerico intero e fratto Saper risolvere e discutere un sistema di primo grado letterale Saper impostare e risolvere problemi con sistemi percorso EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE Problemi SISTEMI DI PRIMO GRADO METODI DI RISOLUZIONE Numerici Letterali Riduzione Confronto Sostituzione Cramer

4 capitolo Sistemi di primo grado Vedere esercizi a pag. 4 Equazioni in due incognite Nel volume Algebra abbiamo studiato le equazioni in un incognita, ci occupiamo ora delle equazioni in due incognite. La necessità di considerare equazioni in due o più incognite deriva dal fatto che molte grandezze geometriche, fisiche, economiche ecc., sono legate fra loro da relazioni esprimibili mediante uguaglianze o disuguaglianze. Vedere Algebra, capitolo, paragrafo 5 e capitolo, paragrafo Date due funzioni f (x, y) e g (x, y) razionali con dominio A R R, si dice equazione in A nelle incognite x e y l uguaglianza f (x, y) = g (x, y), che è vera o falsa in dipendenza del valore assegnato alle incognite x, y. Il dominio delle funzioni viene anche detto dominio dell equazione. Il dominio A può essere assegnato a priori oppure è l intersezione tra i domini delle due funzioni. esempio a b c Date le funzioni f x, y x y e g x, y x y, aventi dominio R R, l uguaglianza x + y = x + y + ( ) = + è un equazione in R R nelle incognite x e y. ( ) = ( + ) ( ) = ( ) + ( ) = + + ( ) = ( ) + Date le funzioni f x, y x y e g x x x 5y, aventi dominio R R, l uguaglianza x + y x x 5y è un equazione in R R nelle incognite x e y. x + y + Date le funzioni f ( x y x, y ) = + e g ( x, y ) =, aventi dominio rispettivamente x x y {( ) } {( ) } x, y R R x 0 e x, y R R x y 0, l uguaglianza x + y x y x = + + x y è { } un equazione in A = ( x, y ) R R x 0 x y 0 nelle incognite x e y. In seguito, per semplificare la notazione, se il dominio A di un equazione è R R non verrà specificato, altrimenti verranno scritte solo le condizioni di esistenza. Data l equazione f (x, y) = g (x, y) in A, ogni coppia ordinata del dominio per la quale le due funzioni assumono lo stesso valore è detta soluzione dell equazione. Attenzione! Una soluzione di un equazione in due incognite non è un valore ma una coppia di valori. Nella coppia ordinata il primo elemento è il valore assunto da x e il secondo elemento è il valore assunto da y. Risolvere un equazione in A nelle incognite x e y significa determinare l insieme S formato da tutte le soluzioni dell equazione. esempio a Data l equazione x + y = x + y, la coppia (0, 0) è una soluzione: infatti, per x = 0 e y = 0, il primo membro assume valore = 0 e il secondo membro assume valore = 0. Anche la coppia, è una soluzione: infatti, per x = e y =, il primo membro assume

5 paragrafo Equazioni in due incognite valore = e il secondo membro assume valore + =. Invece la coppia (, 5) non è una soluzione; infatti, per x = e y = 5, il primo membro assume valore + 5 = 7 e il secondo membro assume valore + 5 = 9, diverso da quello assunto dal primo membro. prima di continuare x + y x + y + b Data l equazione =, la coppia (, ) è una soluzione: infatti, per x = e y =, il primo membro assume valore = = e il secondo membro assume valore Vedere Algebra, capitolo, paragrafo Per le equazioni in due incognite valgono i principi di equivalenza e le regole derivanti dai principi visti per le equazioni in una incognita. Forma normale Un equazione intera in due incognite si dice in forma normale se il primo membro è un polinomio f (x, y) ridotto a forma normale e il secondo membro è 0. esempio Analizziamo se le seguenti equazioni in due incognite sono in forma normale. a 5x + y 5 = 0 è in forma normale perché il primo membro è un polinomio ridotto a forma normale e il secondo membro è 0. b 5x 7 = y non è in forma normale perché il secondo membro non è 0. prima di continuare c x + y = 0... in forma normale perché.... Un equazione in due incognite si può sempre trasformare in forma normale, applicando i due principi di equivalenza. esempio 4 Trasformiamo le seguenti equazioni in forma normale. a x + y x y x + + = y + y + 4 Riduciamo entrambi i membri a una sola frazione avente come denominatore il m.c.m. tra tutti i denominatori: 4 x + 4 y + x 8 y x y + y + 4 = Applicando il principio di equivalenza delle equazioni, eliminiamo i denominatori: 4x + 4y + x 8y = x + 9 8y + y + 4 Trasportiamo tutti i termini al primo membro: 4x + 4y + x 8y x 9 + 8y y 4 = 0 Addizioniamo i termini simili: 0 x 4 y = 0 RCS Libri S.p.A. - Divisione Education, Milano

6 capitolo Sistemi di primo grado prima di continuare b x y x + + = + y Riduciamo entrambi i membri a una sola frazione avente come denominatore il m.c.m. tra tutti i denominatori:.... =... Applicando il principio di equivalenza delle equazioni, eliminiamo i denominatori:... =... Trasportiamo tutti i termini al primo membro:... = 0 Addizioniamo i termini simili:... = 0 Grado di un equazione Si definisce grado di un equazione intera il grado del polinomio a primo membro della sua forma normale. esempio 5 Determiniamo il grado delle seguenti equazioni. a b c + x = 5x + y La sua forma normale è 4x y + 5 = 0, quindi è un equazione di primo grado. x + x + y = y + La sua forma normale è x + x + y = 0, quindi è un equazione di secondo grado. x + y + xy = La sua forma normale è xy + x + y = 0, quindi è un equazione di secondo grado. d ( ) x = x + x y La sua forma normale è x y + = 0, quindi è un equazione di primo grado. prima di continuare e x + y = x + + x La sua forma normale è... = 0, quindi è un equazione di... grado. Un equazione di primo grado in due incognite, se non è impossibile, ammette infinite soluzioni, che si ottengono assegnando un valore a una incognita e ricavando il valore dell altra incognita. esempio è quin- Determiniamo alcune soluzioni della seguente equazione: x + y 4 = 0 Se assegniamo a x il valore, sostituendolo nell equazione, ricaviamo y = ; la coppia (, ) di una soluzione dell equazione. Se assegniamo a y il valore 0, sostituendolo nell equazione, ricaviamo x = ; anche la coppia è quindi una soluzione dell equazione. Sono pure soluzioni dell equazione assegnata le coppie,, (, ), e infinite altre.,, ( ) ( 0, ) 4

7 paragrafo Generalità sui sistemi Vedere esercizi a pag. 45 Generalità sui sistemi Nell ultimo capitolo del volume Algebra abbiamo analizzato le equazioni di primo grado, ora analizziamo i sistemi di equazioni di primo grado. Come abbiamo già accennato, i sistemi di equazioni sono uno degli argomenti della matematica più utilizzati nella vita pratica. Consideriamo l equazione di primo grado in due incognite x + y =. Essa ha infinite soluzioni, tra cui 0,, 0,,,, 5, ecc., che si ottengono assegnando un valore a ( ) ( ) ( ) una incognita e ricavando quindi il valore dell altra incognita. Consideriamo un altra equazione di primo grado in due incognite 4x + y = 4; anche questa equazione ha infinite soluzioni tra cui 0 4,, 0,,, 8, 5, ecc. ( ) ( ) La coppia 0, è soluzione di entrambe le equazioni. Si dice allora che 0, è soluzione del sistema formato dalle due equazioni x + y = 4x + y = 4. ( ) Date due equazioni in due incognite, si dice sistema la congiunzione delle due equazioni. Un sistema di due equazioni in due incognite si indica scrivendo le equazioni una sotto l altra e racchiudendole con una parentesi graffa. Il dominio del sistema è dato dall intersezione dei domini delle due equazioni. esempio a b c 5 x + y + x = y x + xy + x = + y È un sistema formato dalle equazioni x + 5y + x = y con dominio R R e x + xy + x = + y con dominio R R. Poiché entrambe le equazioni hanno come dominio R R, anche il sistema ha dominio R R. x + = x + y y x + + y = x x È un sistema formato dalle equazioni x + = x + y y con dominio {( x, y ) R R y 0 } e x + y = x con dominio {( x, y ) R R x x 0 }. Il sistema ha come dominio l intersezione dei domini, cioè x + a y + x a = x y = a x {( ) } x, y R R x 0 y 0. È un sistema letterale avente come dominio R R, poiché ognuna delle equazioni che lo formano ha dominio R R. 5

8 capitolo Sistemi di primo grado In seguito, per semplificare la notazione, se il dominio A di un sistema è R R non verrà specificato, altrimenti verranno scritte solo le condizioni di esistenza. nota storica Nell antichità si sono risolti problemi con due incognite di contenuto pratico. Nel testo cinese Chiu Chang, ritenuto uno dei più importanti fra i testi antichi di matematica, risalente al II secolo a.c., troviamo un problema su una questione di carattere agricolo, di tipo economico, che porta a un sistema risolto con un metodo analogo a quello proposto da Gauss 500 anni dopo. In epoca quasi contemporanea a quella del testo cinese, in una tavoletta babilonese è proposto un problema ancora relativo all agricoltura, ma di tipo geometrico, risolvibile con un sistema. Forma normale di un sistema Un sistema si dice in forma normale, se è composto da equazioni in forma normale. esempio Analizziamo se i seguenti sistemi sono in forma normale. 5x y + = 0 a x 7y + = 0 È in forma normale perché è formato da due equazioni in forma normale. x + y 7x = x + y + b x 7y + = 0 Non è in forma normale perché la prima equazione non è in forma normale. Un sistema numerico intero si può sempre trasformare in forma normale, applicando i principi di equivalenza delle equazioni. esempio Trasformiamo il seguente sistema in forma normale: x + 5 ( x + y ) + y = ( x y ) x + y = + x y Nel sistema dato sostituiamo entrambe le equazioni con equazioni in forma normale ad esse equivalenti: x + 9y + = 0 x + 4y = 0 Il sistema ottenuto è in forma normale. Grado di un sistema Si definisce grado di un sistema intero il prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono.

9 paragrafo Generalità sui sistemi osserva Per determinarne il grado, è prima necessario trasformare il sistema in forma normale. esempio 4 Determiniamo il grado dei seguenti sistemi. a b c x + x y = x 5 x + y = x La sua forma normale è: x y + 5 = 0 x + y + = 0 Le equazioni sono entrambe di primo grado, quindi il sistema è di primo grado. x + xy + x + y 5 = 0 x + y + = 0 Il sistema è in forma normale, la prima equazione è di secondo grado, la seconda di primo grado, quindi il sistema è di secondo grado. x + y + = 0 xy + x y + = 0 Il sistema è in forma normale, la prima equazione è di secondo grado, la seconda di terzo grado, quindi il sistema è di sesto grado. prima di continuare d x + x + y = 0 xy + = 0 Il sistema è in forma normale. La prima equazione è di... grado, la seconda di... grado; quindi il sistema è di... grado. Risolvere un sistema nel dominio A R R nelle incognite x e y significa determinare l insieme S formato da tutte le soluzioni del sistema. L insieme S è dato dall intersezione tra gli insiemi delle soluzioni delle due equazioni, quindi è formato dalle coppie ordinate che sono soluzione di entrambe le equazioni componenti il sistema. esempio 5 x + y = 7 L insieme S delle soluzioni del sistema è S = {(, )}; infatti la coppia (, ) è soluzione di entrambe le equazioni. x 5y = Risolubilità di un sistema Nella risoluzione di un sistema di due equazioni in due incognite in un insieme A R R si possono presentare i seguenti casi, come vedremo nel paragrafo successivo. 7

10 capitolo Sistemi di primo grado Sistema impossibile: se l insieme delle soluzioni è l insieme vuoto, cioè non ci sono soluzioni, il sistema si dice impossibile. Un sistema è impossibile, se almeno una delle equazioni è impossibile oppure se non ci sono soluzioni comuni alle due equazioni. Sistema determinato: se l insieme delle soluzioni è finito e non vuoto, il sistema si dice determinato. Sistema indeterminato: se l insieme delle soluzioni è infinito, il sistema si dice indeterminato. Un sistema è indeterminato, se una delle equazioni è un identità e l altra equazione è indeterminata oppure se le due equazioni sono equivalenti e indeterminate. Sistema identico: se l insieme delle soluzioni coincide con l insieme A, il sistema si dice identico. Un sistema è identico, se entrambe le equazioni sono identità. Verifica di un sistema Per stabilire se una coppia appartenente al dominio è soluzione di un sistema, è sufficiente verificare se è soluzione di entrambe le equazioni. esempio a Dato il sistema: Per x = 9 e y = 0 il primo membro della prima equazione assume valore 9 e il + 50 = secondo membro assume valore. 9 Per il primo membro della seconda equazione assume valore = 40 x = e y = 0 e il secondo membro assume valore 0. 9 La coppia è soluzione solo della prima equazione, quindi non è soluzione del sistema., 0 Verifichiamo se è soluzione del sistema. Per x = e y = il primo membro della prima equazione assume valore + 5 = e il secondo membro assume valore. Per x = e y = il primo membro della seconda equazione assume valore = 0 e il secondo membro assume valore 0; quindi (, ) è soluzione del sistema. prima di continuare b x + 5y = x + 4y + = 0 9 verifichiamo se è soluzione., 0 Dato il sistema: x + y = 5 x + y = 4 verifichiamo se, è soluzione. Per x = e y = il primo membro della prima equazione assume valore... e il secondo membro assume valore 5. Per x = e y = il primo membro della seconda equazione assume valore... e il secondo membro assume valore 4. La coppia,... soluzione del sistema. ( ) (, ) ( ) 8

11 paragrafo Generalità sui sistemi Principi di equivalenza dei sistemi Due sistemi si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni. La definizione di sistemi equivalenti è utile per la risoluzione di un sistema. Infatti un sistema può essere risolto trasformandolo in uno, ad esso equivalente, più semplice. Per compiere questa operazione, utilizzeremo i principi di equivalenza. Primo principio di equivalenza Se in un sistema a una equazione si sostituisce un equazione ad essa equivalente, si ottiene un sistema equivalente a quello dato. esempio 7 Trasformiamo il sistema: x + y + y = x y + x + y = x + in un sistema equivalente applicando il primo principio di equivalenza. Applicando i principi di equivalenza a ciascuna delle due equazioni, il sistema si trasforma in: x + 0y + 4 = 0 x + y = 0 Secondo principio di equivalenza (principio di sostituzione) Se in un sistema si ricava un incognita da un equazione e si sostituisce l espressione ottenuta nell altra equazione, si ottiene un sistema equivalente a quello dato. esempio 8 Trasformiamo il sistema: x + y = 4 x 5y + 8 = 0 in un sistema equivalente applicando il principio di sostituzione. Nel sistema dato ricaviamo l incognita x dalla prima equazione: 4 y x = x 5y + 8 = 0 Sostituiamo l espressione ottenuta per l incognita x nella seconda equazione: 4 y x = 4 y 5y + 8 = 0 Il sistema ottenuto, per il secondo principio di equivalenza, è equivalente a quello dato. Date due equazioni in forma normale f (x, y) = 0 e g (x, y) = 0, si dice combinazione lineare delle due equazioni l equazione h f (x, y) + k g (x, y) = 0, dove h, k sono numeri reali non entrambi nulli. 9

12 capitolo Sistemi di primo grado esempio Date le equazioni x + y = 0 e x + 5y = 0, scriviamo alcune combinazioni lineari di esse. a b 9 Considerando h = e k =, la combinazione lineare è: x + y x 5y 0 ( ) + ( + ) = Effettuando i calcoli si ottiene: x + y 9 = 0 Considerando h = e k =, la combinazione lineare è: ( x + y ) + ( x + 5y ) = 0 Effettuando i calcoli si ottiene: 5x + y = 0 prima di continuare c Considerando h = e k =, la combinazione lineare è:... Effettuando i calcoli si ottiene:... Terzo principio di equivalenza (principio di combinazione lineare) Se in un sistema si sostituisce un equazione con una combinazione lineare delle due equazioni che lo costituiscono, si ottiene un sistema equivalente a quello dato. esempio 0 Trasformiamo il sistema: x + 5y = 0 4x y + = 0 in un sistema equivalente applicando il principio di combinazione lineare. Sostituiamo la prima equazione del sistema con la combinazione lineare x + 5y 5 4x y 0 ( ) + ( + ) = ( ) + ( + ) = x + 5y 5 4x y 0 4x y + = 0 Effettuiamo i calcoli e otteniamo il sistema: 9x + 9 = 0 4x y + = 0 che, per il terzo principio di equivalenza, è equivalente a quello dato. Vedere esercizi a pag. 50 Metodi di risoluzione dei sistemi di primo grado I principi di equivalenza valgono per tutti i tipi di sistemi. Noi ora considereremo i sistemi numerici interi di primo grado, detti anche sistemi lineari. Tali sistemi sono quindi formati da due equazioni di primo grado in due incognite. Tradizionalmente, invece di quella precedentemente definita, si assume come forma normale o canonica di un sistema di primo grado quella seguente: ax + by = c ax + by = c dove a, b, c, a, b, c sono numeri reali 0

13 paragrafo Metodi di risoluzione dei sistemi di primo grado Per risolvere un sistema di primo grado, lo si trasforma nella forma normale e si analizzano le due equazioni: se almeno un equazione è impossibile, allora il sistema è impossibile; se un equazione è un identità e l altra non è impossibile, allora il sistema è indeterminato; se entrambe le equazioni sono identità, allora il sistema è identico; in tutti gli altri casi si procede utilizzando uno dei seguenti metodi: sostituzione, confronto, riduzione, Cramer. esempio Analizziamo i seguenti sistemi. x + y = + x + y a x + 5y = x + Trasformiamo il sistema nella forma normale: 0x + 0y = x + 5y = La prima equazione è impossibile, quindi il sistema è impossibile. b c d ( ) + = x + y x x y x = + y Trasformiamo il sistema nella forma normale: 0x + 0y = 0 x y = La prima equazione è un identità e la seconda non è impossibile, quindi il sistema è indeterminato. x + 5y + = x + 5y + x + + y x + + y = Trasformiamo il sistema nella forma normale: 0x + 0y = 0 0x + 0y = 0 Entrambe le equazioni sono identità, quindi il sistema è identico. 5x + y = x y + x + y = x + 4y + Trasformiamo il sistema nella forma normale: 4x + 5y = x y = Le equazioni non sono impossibili e non sono identità, quindi il sistema può essere risolto con uno dei metodi presentati in seguito. prima di continuare x + y = x + y + 5 e x + 5y = x + y + Trasformiamo il sistema nella forma normale: = =... La prima equazione è..., quindi il sistema è....

14 capitolo Sistemi di primo grado f ( ) = + + x + y x xy y x = + y Trasformiamo il sistema nella forma normale:... = =... La prima equazione è... e la seconda non è..., quindi il sistema è.... Metodo di sostituzione Il primo metodo che analizziamo è quello di sostituzione, che è molto importante perché si può utilizzare anche nella risoluzione di sistemi di grado superiore al primo. Il metodo si basa sul principio di sostituzione. Per risolvere un sistema nella forma normale con il metodo di sostituzione, si procede nel modo seguente:. si ricava un incognita da un equazione; Se un incognita in un equazione ha come coefficiente o, è conveniente ricavare questa incognita.. si sostituisce l espressione ottenuta nell altra equazione, che diventa un equazione in una sola incognita, e la si risolve;. si sostituisce il valore ricavato al punto nell espressione dell altra incognita che in tal modo può essere determinata. esempio Risolviamo i seguenti sistemi con il metodo di sostituzione. a b x + y = 7 x + y = 0 Ricaviamo l incognita y dalla prima equazione: y = 7 x x + y = 0 Sostituiamo l espressione ottenuta nella seconda equazione: y = 7 x x + ( 7 x ) = 0 Risolviamo la seconda equazione: y = 7 x x = 4 Sostituiamo l espressione nella prima equazione e ricaviamo il valore di y: y = x = 4 Il sistema è determinato e ha come insieme delle soluzioni: S = {( 4, ) }. ( ) ( ) + ( + ) = + x + x 5 x y x x + y = x + 7y Trasformiamo il sistema nella forma normale: 4x + 0y = 9 x 4y =

15 capitolo Sistemi di primo grado in sintesi Sistemi di primo grado. Equazioni in due incognite Date due funzioni f (x, y) e g (x, y) razionali con dominio A R R, si dice equazione in A nelle incognite x e y l uguaglianza f (x, y) = g (x, y), che è vera o falsa in dipendenza del valore assegnato alle incognite x, y. Il dominio delle funzioni viene anche detto dominio dell equazione. Data l equazione f (x, y) = g (x, y) in A, ogni coppia ordinata del dominio per il quale le due funzioni assumono lo stesso valore è detta soluzione dell equazione. Risolvere un equazione in A nelle incognite x e y significa determinare l insieme S formato da tutte le soluzioni dell equazione. Per le equazioni in due incognite valgono i principi di equivalenza e le regole derivanti dai principi visti per le equazioni in una incognita. Forma normale di un equazione Un equazione numerica intera in due incognite si dice in forma normale se il primo membro è un polinomio ridotto a forma normale e il secondo membro è 0. Grado di un equazione Si definisce grado di un equazione intera il grado del polinomio a primo membro della sua forma normale.. Generalità sui sistemi Date due equazioni in due incognite, si dice sistema la congiunzione delle due equazioni. Il dominio del sistema è dato dall intersezione dei domini delle due equazioni. Risolvere un sistema in A nelle incognite x e y significa determinare l insieme S formato da tutte le soluzioni del sistema. L insieme S è dato dall intersezione tra gli insiemi delle soluzioni delle due equazioni, quindi è formato dalle coppie ordinate che sono soluzione di entrambe le equazioni componenti il sistema. Risolubilità di un sistema Nella risoluzione di un sistema di due equazioni in due incognite in un insieme A R R si possono presentare i seguenti casi. Sistema impossibile: se l insieme delle soluzioni è l insieme vuoto. Un sistema è impossibile se una delle equazioni è impossibile oppure se non ci sono soluzioni comuni alle due equazioni. Sistema determinato: se l insieme delle soluzioni è finito e non vuoto. Sistema indeterminato: se l insieme delle soluzioni è infinito. Un sistema è indeterminato, se una delle equazioni è un identità e l altra equazione non è impossibile oppure se le due equazioni sono equivalenti. Sistema identico: se l insieme delle soluzioni coincide con l insieme A. Un sistema è identico se entrambe le equazioni sono identità. Verifica di un sistema Per stabilire se una coppia appartenente al dominio è soluzione di un sistema, è sufficiente verificare se è soluzione di entrambe le equazioni. Forma normale di un sistema Un sistema si dice in forma normale se è composto da equazioni in forma normale. Grado di un sistema Si definisce grado di un sistema intero il prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono. Principi di equivalenza dei sistemi Due sistemi si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni. Primo principio di equivalenza Se, in un sistema, a una equazione si sostituisce un equazione ad essa equivalente, si ottiene un sistema equivalente a quello dato. Secondo principio di equivalenza (principio di sostituzione) Se in un sistema si ricava un incognita da un equazione e si sostituisce l espressione ottenuta nell altra equazione, si ottiene un sistema equivalente a quello dato. Combinazione lineare di due equazioni Date due equazioni in forma normale f (x, y) = 0 e g (x, y) = 0, si dice combinazione lineare delle due equazioni l equazione h f (x, y) + k g (x, y) = 0, dove h, k sono numeri reali non entrambi nulli. Terzo principio di equivalenza (principio della combinazione lineare) Se in un sistema si sostituisce un equazione con una combinazione lineare delle due equazioni che lo costituiscono, si ottiene un sistema equivalente a quello dato.. Metodi di risoluzione dei sistemi di primo grado Come forma normale o canonica di un sistema di primo grado di due equazioni in due incognite, tradizionalmente si è soliti utilizzare la seguente: ax + by = c ax + by = c dove a, b, c, a, b, c sono numeri reali.

16 capitolo Sistemi di primo grado Per risolvere un sistema di primo grado, lo si trasforma nella forma normale e si analizzano le due equazioni: se almeno un equazione è impossibile, allora il sistema è impossibile; se un equazione è un identità e l altra non è impossibile, allora il sistema è indeterminato; se entrambe le equazioni sono identità, allora il sistema è identico. In tutti gli altri casi si procede utilizzando uno dei seguenti metodi: sostituzione, confronto, riduzione, Cramer. Metodo di sostituzione Per risolvere un sistema nella forma normale con il metodo di sostituzione si procede nel modo seguente:. si ricava un incognita da un equazione;. si sostituisce l espressione ottenuta nell altra equazione e si risolve;. si sostituisce il valore ricavato nell espressione dell altra incognita che può essere così determinata. Metodo del confronto Per risolvere un sistema nella forma normale con il metodo del confronto si procede nel modo seguente:. si ricava la stessa incognita da entrambe le equazioni;. si uguagliano le due espressione ottenute e si risolve;. si sostituisce il valore ricavato in una delle espressioni dell altra incognita che può essere così determinata. Metodo di riduzione o della combinazione lineare Per risolvere un sistema nella forma normale con il metodo di riduzione si procede nel modo seguente:. si moltiplicano entrambi i membri di ciascuna equazione per numeri opportuni, non entrambi nulli, in modo che, nelle due equazioni, risultino opposti i coefficienti di un incognita;. si addizionano membro a membro le due equazioni, ottenendo un equazione con una sola incognita;. si risolve l equazione ottenuta; 4. si ripete il procedimento per determinare l altra incognita. Metodo di Cramer ax + by = c A ogni sistema nella forma normale ax + by = c possono essere associati i determinanti: D = a b a b = a b ab D x = c b c b = bc b c D y = a c a c = a c ac Per risolvere un sistema nella forma normale con il metodo di Cramer si procede nel modo seguente:. si calcolano i determinanti D, D x e D y ;. si analizzano i valori dei determinanti D, D x e D y : se D 0, il sistema è determinato e ha come unica soluzione se D = 0 (D x 0 D y 0), il sistema è impossibile; se D = 0 D x = 0 D y = 0, il sistema è indeterminato. Sistemi numerici fratti Per risolvere i sistemi numerici fratti si procede nel modo seguente:. si scompongono i denominatori di ogni frazione;. si determina il dominio del sistema, scrivendo le condizioni di esistenza;. si trasforma il sistema nella forma normale; 4. si risolve il sistema; 5. se la coppia di valori ottenuta non appartiene al dominio, allora non è accettabile e il sistema è impossibile. 4. Sistemi letterali Per risolvere i sistemi letterali interi si procede nel modo seguente:. si trasforma il sistema nella forma normale Ax + By = C Ax + By = C S = D x D, D y D ; (dove A, B, C, A, B, C sono polinomi con lettere diverse dall incognita), e si scrivono eventuali condizioni di esistenza;. si calcolano i determinanti D, D x e D y ;. si determinano i valori dei parametri che annullano D: per i valori dei parametri che non soddisfano le condizioni di esistenza, il sistema perde significato; per i valori dei parametri che soddisfano le condizioni di esistenza e che non annullano D, il sistema è determinato e ha come insieme delle soluzioni S = D x D, D y ; D i valori dei parametri che annullano D si sostituiscono nei polinomi A, B, C, A, B, C e nei determinanti D x e D y : 4

17 Applicazioni informatiche Proposte di laboratorio a) un applicazione in Derive per risolvere sistemi di equazioni di primo grado b) un applicazione in Derive per risolvere sistemi di equazioni di primo grado di tre equazioni in tre incognite c) un foglio elettronico in Excel per risolvere sistemi di primo grado con il metodo di Cramer a) Applicazione in Derive per risolvere sistemi di equazioni di primo grado Derive, oltre a risolvere automaticamente le equazioni, risolve anche i sistemi. È possibile operare in due modi diversi. Il primo prevede: l inserimento del sistema con la seguente sintassi [ <prima equazione>, <seconda equazione>]; l utilizzo del pulsante che propone la finestra con i parametri risolutivi; la visualizzazione della soluzione con la sintassi [x = <valore> y = <valore>] Il secondo prevede: l utilizzo immediato del comando Risolvi Sistema, che propone una finestra in cui indicare il numero delle equazioni; l inserimento delle equazioni nell apposito riquadro; l uso del pulsante Risolvi per ottenere le soluzioni.

18 APPLICAZIONI INFORMATICHE Le equazioni possono essere inserite in forma normale, come negli esempi precedenti, oppure mediante un espressione qualsiasi, in quanto il pulsante calcola immediatamente la soluzione in qualunque forma l equazione venga scritta. Volendo, è possibile sviluppare i calcoli per poter seguire i passaggi algebrici. #4 semplificare la prima equazione con pulsante #5 semplificare la seconda equazione ottenendo il sistema con le equazioni espresse in forma normale # #7 ricavare il valore di x dalla prima equazione con #8 sostituire il valore di x nella seconda equazione con #9 semplificare #0 # risolvere la seconda equazione per trovare il valore di y Derive risolve tutti i tipi di sistemi nei vari casi esaminati nella teoria, esprimendo il risultato come indicato nei quattro esempi che seguono. 7

19 capitolo Sistemi di primo grado ESERCIZI Equazioni in due incognite Verificare le conoscenze A Scegliere la risposta corretta ai seguenti quesiti e, in caso di difficoltà, consultare il paragrafo corrispondente della parte teorica. ) Che cosa si intende per equazione in due incognite? a b È un uguaglianza fra due funzioni definite in un sottoinsieme di R R che è vera per ogni valore assegnato alle incognite. È un uguaglianza fra due funzioni definite in un sottoinsieme di R R che è vera o falsa secondo i valori assegnati alle incognite. ) Quando un equazione in due incognite numerica intera si dice in forma normale? a Un equazione in due incognite numerica intera si dice in forma normale se il primo membro è un polinomio f (x, y) ridotto a forma normale e il secondo membro è 0. b Un equazione in due incognite numerica intera si dice in forma normale se le due incognite hanno gli stessi coefficienti. B Rispondere per iscritto alle seguenti domande aperte consultando la teoria per la verifica della correttezza. ) Che cosa significa risolvere un equazione in due incognite? ) Come si determina il grado di un equazione in due incognite? C Indicare se le seguenti proposizioni sono vere o false. ) L equazione x + y + = x ha come dominio R R. x ) L equazione = x + y + ha come dominio R R. x + y ) L equazione x + 4y = 0 è in forma normale. 4) L equazione x + y + = x + y + x è di terzo grado. V V V V F F F F [A. ) b; ) a.; C. ) vero; ) falso; ) vero; 4) falso] 4

20 capitolo Sistemi di primo grado ESERCIZI Sviluppare le abilità Verificare se le coppie di valori assegnati sono soluzioni delle equazioni date. Esercizio guida Verifichiamo se (, ) e (, 4) sono soluzioni dell equazione x + y = x + y. a) Per la coppia (, ), sostituendo all incognita x e all incognita y nel primo membro, si ottiene: + = Sostituendo all incognita x e all incognita y nel secondo membro, si ottiene: + = I due membri assumono lo stesso valore, quindi la coppia (, ) è soluzione dell equazione data. b) Per la coppia (, 4), sostituendo all incognita x e 4 all incognita y nel primo membro, si ottiene: + 4 = Sostituendo all incognita x e 4 all incognita y nel secondo membro si ottiene: + 4 = I due membri non assumono lo stesso valore, quindi la coppia (, 4) non è soluzione dell equazione data. Esercizi di primo livello x + 4xy + 4y = x + y x x y y + =,,, xx + y yx y x 0, 0,, x + y x y = 0 5,,, x y x + y + = x + y, 0, 5, 0 x y x + y + x y x x x y ( ) ( ) = + ( ) ( ) y y x + y = x + xy + y x + xy + + = x xy ( ) ( ) x + y 5x + y = (, ), 0, 5x + y x + 4y = x + (, 0), 7, ( ),,, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),,, = ( ) (, ),( 0, ) ( 0, ),(, ) x + y + ax + = a 0,,, x y a,, 0, a + = ( ) ( ) [No, sì] [Sì, sì] [Sì, sì] [No, no] [No, no] [Sì, no] [Sì, sì] [No, no] [No, sì] [No, no] [Sì, sì] [No, sì] 4

21 paragrafo Equazioni in due incognite ESERCIZI 4 5 ax + ay = a + x y a + x x a = x y x = y + a ( ) 0, 0,, y xy a a ( ), 0, 0, 0 (, a), (, a) [Sì, no] [No, sì] [Sì, sì] con l informatica Risolvere alcuni degli esercizi precedenti usando Derive. Indicazioni Digitare il testo dell equazione e, successivamente, usare il pulsante per assegnare alle variabili x e y i valori indicati. Se il calcolo produce un identità, allora i valori sono una soluzione dell equazione. Trasformare le seguenti equazioni in forma normale e determinarne il grado. Esercizio guida Trasformiamo in forma normale e determiniamo il grado dell equazione 5 + y x y + x = x + y Riduciamo entrambi i membri a una sola frazione avente come denominatore il m.c.m. tra tutti i denominatori: 5 + y 4x + y + x = x +y Eliminiamo i denominatori: 5 + y 4x + y + x = x +y Spostiamo tutti i termini al primo membro: 5 + y 4x + y + x x y = 0 Addizioniamo i termini simili e otteniamo la forma normale: 7x 7y + 5 = 0 È un equazione di primo grado. Esercizi di primo livello x + y = x + y + 5x + y + = 5x + y + 4x x + y x + y + x 5 + y = ( ) ( + ) = + + ( ) xx y5x 0xy x x ( )( ) ( + ) = ( ) + x + y x y x x y x y 5 ( ) 5x + y 4 = 0; primo 4x + y + = 0; primo x + 9y 0 = 0; primo 4x y = 0; primo xy + x xy = 0; terzo 4 RCS Libri S.p.A. - Divisione Education, Milano

22 Test di autoverifica Indicare la risposta corretta fra quelle proposte. L equazione (x + y) (x y) = x y + è: a) impossibile c) un identità b) determinata d) indeterminata La coppia (, ) è soluzione dell equazione: a) x + y = 5 b) x 4y = 0 c) y + x = d) x + 5 = y Il grado dell equazione x + x y + x = y + è: a) b) c) d) x + y = Il sistema è: x + 4y = a) impossibile c) identico x y = Il sistema è: x y = a) impossibile c) identico b) determinato d) indeterminato b) determinato d) indeterminato x + y + = x Il grado del sistema è: x + y + 5 = 0 a) 0 b) c) d) x + 5y = L insieme delle soluzioni del sistema è: x y = a) ogni coppia di numeri reali b) c) S =, 0 d) insieme vuoto 5x + y = 5x + y + L insieme delle soluzioni del sistema è: x + y = a) ogni coppia di numeri reali b) S = {(, )} c) S = {(, )} d) insieme vuoto x + y = y Il dominio del sistema è: x + = x S = 0, a) A = {(x, y) R R x 0 y 0} b) A = R c) A = {(x, y) R R x 0} d) A = {(x, y) R R} 88

23 TEST DI AUTOVERIFICA 0 x 5y = 0 Il sistema x + y è: x + y = a) indeterminato c) determinato con S =, b) determinato con d) impossibile S =, Il determinante della matrice 5 è: a) 9 b) c) d) 0 ax + y = Nel sistema, il determinante D x vale: x + y = a a) a b) a c) 9 a d) a Il sistema ax + y = è indeterminato se: x + y = 4 a) a = b) a = c) a = 0 d) a = 4 5 ax ay = Il sistema è determinato se: x + y = 5 a) a b) a c) a 0 d) a = 0 5ax + y = Se a 0, il sistema è: ax + y = a) impossibile c) determinato e S = 7, a 9 9 b) indeterminato d) determinato e S = 9 a 9, 7 Il determinante della matrice 0 è: 4 0 a) b) 0 c) 5 d) 5 Le risposte dei test si trovano in fondo al volume 89

24 Prova strutturata conclusiva Conoscenze Definire i seguenti termini: sistema, grado di un sistema in forma normale, determinante. Completare le seguenti affermazioni. a) Se l insieme delle soluzioni è l insieme vuoto, il sistema si dice... b) In un sistema intero le incognite... al denominatore c) Un sistema è identico se... d) La forma normale di un sistema di primo grado è... Abilità Verificare se le soluzioni indicate sono soluzioni dei seguenti sistemi. x + y = a) (, ) x + y = 4 x + y + = b) (4, ) x + 4y = Risolvere i seguenti sistemi numerici interi. a) b) x + y x + y + 5 = xx + x ( ) = + y ( ) = ( ) + + x + x y 5 x + y + x y = Risolvere i seguenti sistemi numerici fratti. a) b) x + y = x x + y + 5 = 0 x + xy x + 5y + + = 0 x + y + xy ( x + ) y + y + ( ) = 0 7 Risolvere il sistema letterale: x + a = ay 5 + x + y = La somma di due numeri è 7. Il triplo del minore supera di il doppio del maggiore. Quali sono i due numeri? 90 Le risposte della prova si trovano in fondo al volume

25 Risposte esercizi conclusivi CAPITOLO Risultati del test di autoverifica. a;. b;. d; 4. a; 5. d;. c; 7. c; 8. d; 9. a; 0. d;. b;. c;. b; 4. c; 5. c;. d. Risultati della prova strutturata conclusiva. a) impossibile; b) non compaiono; c) entrambe le equazioni sono identità; ax + by = c d) ax + by = c. a) sì; b) sì 0 4. a) S =, ; 7 9 b) S =, a) S = {(, )}; b) impossibile a a 4. sea : S= s, a + a + ; e a = impossibile : 7. 7; 0 CAPITOLO Risultati del test di autoverifica. c;. a;. d; 4. a; 5. b;. c; 7. d; 8. b; 9. a; 0. c;. d;. c;. a; 4. b; 5. c;. b; 7. a; 8. c; 9. d; 0. b; b. Risultati della prova strutturata conclusiva. a) lo stesso indice; il prodotto b) positivi a+ a b a a b c) + se a b è un quadrato perfetto m a n d) razionale:. a) b 0; b) ab 0 4. a) ab c ; b) a + a 5. a) ; b) ab 4 y xy ab ; c) x x; d) 5. a) ; b) ab 4 ; c) 7. S = {, } RCS Libri S.p.A. - Divisione Education, Milano

26 RISPOSTE ESERCIZI CONCLUSIVI CAPITOLO Risultati del test di autoverifica. b;. a;. d; 4. a; 5. d;. c; 7. a; 8. d; 9. a; 0. b;. b;. c;. b; 4. a; 5. c;. c; 7. c; 8. d. Risultati della prova strutturata conclusiva. a) pura b) minore c) b d) ax n + b = 0 a 7. a) S = 0, b) S = {, } c) impossibile 5 4. S = { } 5.. se a= 0: S= ; se a 0: S, ( 5x+ ) ( x ) { } = a 7. a) k = b) impossibile c) k = S =,,, CAPITOLO 4 Risultati del test di autoverifica. c,. b,. a, 4. d, 5. d,. d, 7. b, 8. a, 9. a, 0. c,. d,. c,. c, 4. a. Risultati della prova strutturata conclusiva. a) secondo, primo; b) riduzione, sostituzione; c) simmetrico. a) impossibile; b) S = {( ) ( 4) } c) S = ( 0 ). S = {( 5, )} 4. a) S = b) S = (, ), (, ), (, ), (, ) c) S =,,, 5. 4, 5 { } { ( )} {(, ), (, ) } CAPITOLO 5 Risultati del test di autoverifica. b;. c;. b; 4. d; 5. a;. b; 7. b; 8. d; 9. a; 0. c;. d;. c;. a; 4. a, 5. b;. d; 7. a; 8. d; 9. c. Risultati della prova strutturata conclusiva b. a) coordinate, ascissa, ordinata; b) l opposto del reciproco; c),. a 4a. AB = 89 ; M, 7. y= x+ 50

27 Test di autoverifica di fine biennio Indicare la risposta corretta fra quelle proposte. { } L unione degli insiemi A = { 45,,, } e B = x N x èun divisore di è: a) {,,4} b) {,,4, 5} c) {,,,4, 5,, } d) {,,,4,, } Il prodotto cartesiano tra gli insiemi A = {, } e B = {a, b} è: a) {(, a), (, b), (, a), (, b)} b) {(, a), (, b)} c) {,, a, b} d) {, a} La funzione a) suriettiva b) iniettiva c) biettiva d) né iniettiva, né suriettiva ( 4 ) : ( 4 ) = a) b) c) d) M.C.D. (,, 8) = a) b) c) d) m.c.m. (,, 8) = a) b) c) d) f: = N N x y = x + è: a) b) c) 9 d) 4 8 ab abc ab 4 9 : = a) b) a 4 c 4 4 c) ac 8 d) ac ac = a) ab 9 b) ac 9 c) ac 9 d) 9 7 m.c.m. (ab, ab c, 4a b) = a) a b c b) 4ab c) abc d) ab (a b + a) (4ab ) = a) 8a b 9a b) 8a b + a b 9a c) ab 9a d) ab (a b) = a) 8a a b + ab b b) 8a b c) 8a a b + ab b d) 8a a b + ab b 4 ac Le risposte dei test si trovano in fondo al volume 55 RCS Libri S.p.A. - Divisione Education, Milano

28 TEST DI AUTOVERIFICA DI FINE BIENNIO ax 4ax + a x 4 si scompone in: a) 4ax (x + a x ) b) ax (x + a x ) c) ax (x 4 + a x ) d) ax (x 4 + ax) 4a x 4 si scompone in: a) (ax + ) b) (ax ) c) (ax + ) d) (ax + )(ax ) 9x 4 x y + y si scompone in: a) (x y) b) (x y) c) (x y) d) (x y)(x + y) m.c.m. (x x, x ) = a) x (x )(x + ) b) x c) x d) x + y + Le C.E. di y 4 sono: a) y + 0 b) y 0 c) y + 0 y 0 y + 0 d) y + 0 y x x x + x + = x x 4 x 4 a) b) c) d) x x x x 4 x x + x + + x + x + = a) x + x 5 b) x + x 5 c) x d) x + 5x + x + x + ( ) ( ) x 4 x + x x ( ) x + 0 L equazione (x )(x + ) = x è: a) impossibile c) un identità b) determinata d) nessuna delle risposte precedenti 4 La soluzione dell equazione 5 x + + x = è: a) identità b) S = {} c) S = { } d) impossibile + x La soluzione dell equazione = x x x è: a) identità b) S = {} c) S = { } d) impossibile 5x y = Il sistema è: 0x y = a) impossibile b) determinato c) identico d) indeterminato x + xy + = 4 Il grado del sistema è: x + y + 5 = 0 a) b) 4 c) 5 d) 5