Gli insiemi e le relazioni. Elementi di logica

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1 capitolo 1 Gli insiemi e le relazioni. Elementi di logica INSIEMI 1. Introduzione 1 2. Sottoinsiemi 3 3. Operazioni tra insiemi 5 Unione:, 5 Intersezione:, 5 Differenza: \, 5 Insieme complementare: A B, 6 4. Prodotto cartesiano 8 RELAZIONI 5. Generalità 8 6. Grafico e rappresentazioni grafiche 9 Rappresentazione cartesiana, 10 Grafo di una relazione, 10 Rappresentazione mediante tabella a doppia entrata, Proprietà di una relazione in un insieme 12 Proprietà riflessiva, 12 Proprietà simmetrica, 13 Proprietà transitiva, Relazione di equivalenza Insieme quoziente Relazione d ordine Funzioni o applicazioni Proprietà di una funzione 20 Funzioni iniettive, 20 Funzioni suriettive, 20 Funzioni biunivoche o biiettive, 21 ELEMENTI DI LOGICA 13. Proposizioni e operazioni 22 La negazione NOT, 23 La congiunzione AND, 24 La disgiunzione inclusiva OR, 24 La disgiunzione esclusiva XOR, 25 Espressioni con i connettivi logici, 26 Proprietà dei connettivi AND e OR, L algebra dei sottoinsiemi Approfondimento Implicazione. Doppia implicazione 29 Implicazione materiale, 29 Doppia implicazione. Equivalenza, Enunciati aperti. Quantificatori Sistemi ipotetico-deduttivi Alcuni metodi di dimostrazione 35 Metodo diretto, 35 Metodo indiretto, 36 Metodo per assurdo, 37 Metodo del controesempio, I primi calcoli con DERIVE, Insiemi, Lavoriamo con i sottoinsiemi, Le espressioni logiche, 40

2 INSIEMI Rappresentazioni di insiemi, 42 Sottoinsiemi, 43 Operazioni tra insiemi, 45 Problemi, 51 RELAZIONI Grafico. Rappresentazioni grafiche. Proprietà di una relazione, 54 Relazioni di equivalenza. Insieme quoziente, 57 Relazioni di ordine, 59 Funzioni. Proprietà di una funzione, 61 ELEMENTI DI LOGICA Proposizioni e operazioni, 65 Implicazioni, 67 Enunciati aperti, 68 I quantificatori, 69 capitolo 2 L insieme dei numeri naturali e l insieme degli interi L INSIEME 1. I numeri naturali 71 Gli assiomi di Peano, 73 Rappresentazione sulla retta, Operazioni in e loro proprietà 74 Addizione, 74 Moltiplicazione, 74 Ordinamento, 75 Leggi di monotonia (o di semplificazione), 76 Sottrazione, 76 Divisione, 77 Elevamento a potenza, Forma polinomiale di un numero Espressioni aritmetiche 82 Espressioni senza parentesi, 83 Espressioni contenenti parentesi, Divisibilità. Scomposizione in fattori primi 85 Proprietà della divisibilità, 85 Criteri di divisibilità, 85 Fattorizzazione, 86 Numero dei divisori di un numero naturale. Somma dei divisori di un numero naturale, 88 Qualche questione sui numeri primi, Criteri di divisibilità Approfondimento Massimo comune divisore. Minimo comune multiplo Algoritmo euclideo della divisione. Ricerca del M.C.D.(a; b) 93 Algoritmo euclideo delle divisioni successive, 95 L INSIEME 9. I numeri interi 97 Rappresentazione sulla retta, 97 Valore assoluto, 98 Ordinamento, Operazioni in e loro proprietà 99 Addizione, 99 Sottrazione, 100 Moltiplicazione, 100 Divisione, 101 Elevamento a potenza con esponente un numero naturale, Espressioni algebriche 101 Struttura di gruppo dell insieme (, +), 102 Struttura di anello dell insieme (, +, ), Congruenze. Classi resto 103 Congruenze modulo un intero, 103 Classi resto modulo un intero, 104 Aritmetica delle classi resto, Sistemi di numerazione 108 Il sistema decimale: base B = 10, 108 Sistemi di numerazione in base costante B, 108 Il sistema binario: base B = 2, 109 Il sistema esadecimale: base B = 16, Le divisioni, I numeri primi, Il massimo comune divisore, Il comando FACTORS, 116

3 L INSIEME Proprietà delle operazioni, 118 Potenze a esponente naturale, 119 Forma polinomiale in base 10, 122 Espressioni aritmetiche in, 122 Divisibilità, 123 Fattorizzazione, 125 Numero dei divisori e somma dei divisori di un numero naturale, 126 M.C.D. e m.c.m., 127 Proprietà del M.C.D. e del m.c.m., 129 Algoritmo euclideo della divisione, 130 Ricerca del M.C.D.(a; b) mediante l algoritmo euclideo delle divisioni successive, 131 L INSIEME I numeri interi, 132 Potenze a esponente naturale, 133 Espressioni algebriche, 135 Congruenze. Classi resto, 136 Sistemi di numerazione, 138 Gare di Matematica, 140 capitolo 3 I numeri razionali Premessa I numeri razionali Operazioni in 146 Addizione, 146 Riduzione a comune denominatore, 147 Sottrazione, 148 Moltiplicazione, 148 Divisione, 149 Struttura di campo dell insieme, 150 Potenze a esponente intero, 150 Calcolo di espressioni, L insieme è un ampliamento dell insieme Proprietà dell insieme 154 L insieme è ordinato, 154 L insieme è denso, 155 L insieme è numerabile, Rappresentazione decimale di un numero naturale 157 Dalla frazione al numero decimale, 157 Dal numero decimale alla frazione, Rapporti. Proporzioni. Percentuali 159 Proprietà delle proporzioni, 160 Percentuali, Notazione scientifica. Ordine di grandezza Valori approssimati L insieme non è completo: introduzione intuitiva dei numeri reali Coordinate cartesiane sulla retta 170 Valore assoluto, 170 Coordinate cartesiane sulla retta, Coordinate cartesiane nel piano Le operazioni con i numeri razionali, I comandi NUMERATOR e DENOMINATOR, Il comando SUM, I numeri periodici, Potenze e quadrati magici, 176 Frazioni equivalenti, 178 Riduzione ai minimi termini, 179 Riduzione allo stesso denominatore, 180 Addizione e sottrazione, 181 Moltiplicazione, 184 Espressioni con addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, 186 Divisione, 187 Espressioni con le quattro operazioni, 189 Potenze a esponente intero positivo, 190 Potenze a esponente intero, 193 Espressioni contenenti potenze, 196 Numeri periodici, 200 Frazione generatrice, 201 Rapporti e proporzioni, 203 Percentuali, 205 Problemi, 206 Notazione scientifica. Ordine di grandezza, 207 Valori approssimati, 208 Coordinate cartesiane nel piano, 209 Gare di Matematica, 210

4 capitolo 4 Monomi e polinomi I MONOMI 1. Il calcolo letterale 213 Determinazione del valore numerico di una espressione letterale, I monomi 215 Monomi in una variabile, 215 Il monomio come funzione, 216 Monomi in più variabili, 216 Riduzione a forma normale (o ridotta), 217 Grado di un monomio, 218 Monomi simili, Operazioni con i monomi 219 Somma algebrica di monomi simili, 219 Moltiplicazione di monomi, 220 Potenza di un monomio, Divisori di un monomio 222 Divisione di due monomi, M.C.D. e m.c.m. di più monomi 224 M.C.D., 224 m.c.m., 225 I POLINOMI 6. Generalità 227 Il polinomio come funzione, Addizione e sottrazione di polinomi 229 Addizione, 229 Struttura algebrica, 230 Sottrazione, Moltiplicazione di polinomi 231 Moltiplicazione di un polinomio per un monomio, 231 Moltiplicazione di due polinomi, 232 Struttura algebrica, Prodotti notevoli 234 Quadrato di un binomio, 234 Quadrato di un polinomio, 235 Prodotto della somma di due monomi per la loro differenza, 236 Cubo di un binomio, 237 Potenza n-sima di un binomio: (a + b) n, Divisione di due polinomi 241 Divisione di un polinomio per un monomio, 241 Divisione di due polinomi, 242 Procedimento per determinare Q(x) e R(x), Regola di Ruffini Divisibilità tra due numeri o tra polinomi Approfondimento Il calcolo letterale con DERIVE, Monomi di forma normale, M.C.D. di monomi, Divisione di polinomi, Grado di un monomio, 253 I MONOMI Valori numerici di una espressione letterale, 254 Definizione di monomio e prime proprietà, 256 Monomi simili, 257 Somme algebriche di monomi, 260 Moltiplicazione di monomi, 263 Potenza di un monomio, 267 Divisione di monomi, 270 di riepilogo con operazioni tra monomi, 272 M.C.D. e m.c.m. di monomi, 273 I POLINOMI Definizioni e prime proprietà, 275 Il polinomio come funzione, 276 Addizione e sottrazione di polinomi, 278 Moltiplicazione di un polinomio per un monomio, 280 Moltiplicazione di polinomi, 281 Prodotti notevoli, 286 Divisione di un polinomio per un monomio, 297 Divisione di due polinomi, 298 Divisione con la regola di Ruffini, 302

5 capitolo 5 Equazioni di primo grado 1. Introduzione Equazioni di primo grado in una incognita di forma normale 306 Classificazione in base alle soluzioni, 307 Richiami di logica: Equazioni e identità come enunciati aperti, Equazioni equivalenti. Princìpi di equivalenza 309 Risoluzione di un equazione, Problemi di primo grado L equazione ax + b = 0, CABRI: le soluzioni intere, 320 Equazioni di primo grado in una incognita, 322 Princìpi di equivalenza, 324 Risoluzione di equazioni di primo grado, 325 di riepilogo, 332 Problemi numerici, 334 Problemi di geometria piana, 337 Problemi di geometria solida, 340 Gare di Matematica, 342 capitolo 6 Scomposizione di un polinomio in fattori 1. Polinomi riducibili e irriducibili Raccoglimento a fattor comune Scomposizione in fattori per mezzo di prodotti notevoli 345 Differenza di quadrati, 345 Quadrato di un binomio, 346 Quadrato di un trinomio, 347 Cubo di un binomio, 347 Quarta potenza di un binomio, Dividere per zero Approfondimento Fattorizzazione del trinomio x 2 + sx + p a coefficienti interi Polinomi in una sola variabile. La funzione polinomiale 351 La funzione polinomiale, 351 Polinomi identici, 353 Struttura di anello abeliano dei polinomi in una sola variabile a coefficienti reali, Teorema del resto Un caso di unicità Approfondimento Scomposizione di un polinomio con la regola di Ruffini Scomposizione di x n ± a n in fattori del tipo x ± a 360 Riepilogo, M.C.D. e m.c.m. di polinomi Equazioni di grado superiore al primo la cui risoluzione è riconducibile a quella di equazioni di primo grado Il calcolo di un polinomio, Un polinomio come prodotto, Polinomi di valori assegnati, Fattorizzare: coefficienti interi, Il massimo comune divisore, 375 Raccoglimento a fattor comune, 376 Scomposizione per mezzo di prodotti notevoli, 379 Fattorizzazione del trinomio di secondo grado, 384 Applicazioni alla geometria, 387 di riepilogo sulla scomposizio-

6 ne in fattori, 387 Divisioni esatte: N(x) : D(x) = Q(x), R(x) = 0, 389 Polinomi in una sola variabile. La funzione polinomiale, 391 Polinomi identici, 395 Teorema del resto, 396 Scomposizione con la regola di Ruffini, 400 Scomposizione di binomi del tipo x n ± a n, 402 M.C.D. e m.c.m. di polinomi, 404 Equazioni di grado superiore al primo la cui risoluzione è riconducibile a quella di equazioni di primo grado, 405 Gare di Matematica, 408 capitolo 7 Le frazioni algebriche 1. Introduzione Le frazioni algebriche come funzioni Frazioni algebriche equivalenti Semplificazione di una frazione algebrica La riduzione a forma propria Riduzione a denominatore comune Operazioni con le frazioni algebriche 417 Somma, 417 Prodotto, 419 Elevamento a potenza, 421 Divisione, 422 Struttura di campo dell insieme delle frazioni algebriche, Semplifichiamo una frazione algebrica, Il comando Expand, Somma dei reciproci, 426 Insieme di definizione, 428 Le frazioni algebriche come funzioni, 430 Frazioni equivalenti, 432 Semplificazione di una frazione algebrica, 433 Riduzione a forma propria, 437 Riduzione allo stesso denominatore, 440 Somme algebriche, 441 Moltiplicazione di frazioni algebriche, 445 Divisione di frazioni algebriche, 450 Espressioni a termini frazionari, 453 di riepilogo, 454 capitolo 8 Equazioni letterali e frazionarie 1. Alcune proprietà delle equazioni 457 Grado di un equazione algebrica razionale intera, Equazioni di primo grado letterali Equazioni frazionarie riducibili a equazioni di primo grado Discussione di equazioni letterali fratte di primo grado La discussione di un equazione parametrica, 469 Proprietà delle equazioni, 472 Equazioni letterali intere di primo grado, 473 di riepilogo, 481 Equazioni frazionarie. Dominio, 483 Risoluzione di equazioni fratte, 483 Risoluzione di equazioni in un dato insieme, 487 Applicazione alle funzioni, 488 di repilogo, 489 Equazioni parametriche frazionarie, 490 di riepilogo, 495

7 capitolo 9 Funzioni e leggi di proporzionalità 1. Funzione reale di variabile reale La funzione lineare f (x) = ax 499 Rappresentazione grafica, 500 Proporzionalità diretta, 503 Percentuali, La funzione affine f (x) = ax + b 506 Rapporto incrementale, 507 Rappresentazione grafica, La funzione quadratica f (x) = ax Rappresentazione grafica, 512 Simmetria rispetto all asse delle ordinate, 513 Concavità verso l alto o verso il basso, 513 Proporzionalità diretta al quadrato, 514 a 5. La funzione reciproca f (x) = 516 x Rappresentazione grafica, 517 Simmetria rispetto all origine, 518 Proporzionalità inversa, La funzione cubica f (x) = ax Rappresentazione grafica, 520 Simmetria rispetto all origine, 521 Proporzionalità al cubo, Le funzioni affini con DERIVE, Il comando grafico IMPOSTA, Le funzioni quadratiche con DERIVE, Il grafico della proporzionalità inversa, Le cubiche, 525 Funzione lineare: f (x) = ax, 526 Proporzionalità diretta, 529 Problemi geometrici, 530 Percentuali, 532 Problemi di fisica, 535 Funzione affine: f (x) = ax + b, 536 Rapporto incrementale, 539 Problemi geometrici, 544 Percentuali, 546 Problemi di fisica, 547 Funzione quadratica: f (x) = ax 2, 548 Problemi geometrici, 551 Problemi di fisica, 553 Funzione reciproca: f (x) = a/x, 554 Problemi geometrici, 556 Problemi di fisica, 557 Funzione cubica f (x) = ax 3, 559 Problemi geometrici, 560 capitolo 10 Sistemi lineari 1. Equazioni lineari in due incognite Sistemi lineari di due equazioni in due incognite 565 Grado di un sistema algebrico intero, 567 Sistemi equivalenti, Metodo di sostituzione Metodo del confronto Metodo di riduzione o di addizione e sottrazione Matrici. Determinanti Regola di Cramer Sistemi lineari letterali Sistemi riconducibili a sistemi lineari Sistemi di primo grado con tre o più incognite Collegamenti, grafi, matrici Approfondimento Problemi di primo grado in più incognite Equazioni lineari in due incognite, Sistemi lineari di due equazioni in due incognite, Sistemi di primo grado con tre (o più) incognite, 603

8 Equazioni lineari in due incognite, 604 Sistemi lineari di due equazioni in due incognite, 605 Metodo di sostituzione, 606 Metodo del confronto, 609 Metodo di riduzione o di addizione e sottrazione, 611 Matrici e determinanti, 614 Metodo di Cramer, 617 di riepilogo, 621 Sistemi lineari letterali. Discussione, 622 Scomposizione di una frazione algebrica in fattori semplici, 626 Sistemi fratti riconducibili a sistemi lineari, 628 Sistemi riconducibili a sistemi lineari con l utilizzo di opportune sostituzioni, 629 Sistemi lineari di tre equazioni in tre o più incognite, 632 Problemi risolubili con sistemi lineari di due equazioni in due incognite, 638 Problemi risolubili con sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite, 645 capitolo 11 Elementi di statistica 1. Generalità 647 Terminologia statistica, Frequenze statistiche 649 Frequenza assoluta, 649 Frequenza relativa e frequenza percentuale, 650 Rappresentazioni grafiche di una distribuzione di frequenze, 651 Frequenza cumulata, Progettare un questionario Media aritmetica. Moda. Mediana 659 Media aritmetica, 659 Moda, 661 Mediana, 662 Quartili, Indici di dispersione 668 Range o campo di variazione, 668 Scarto semplice medio, 668 Scarto quadratico medio, I caratteri in un testo Approfondimento 671 Crittografia, Il valore della media, La rappresentazione dei dati, 675 Frequenze, 678 Media aritmetica, 682 Moda, 684 Mediana, 684 Indici di dispersione, 689 di riepilogo, 691 Formulario 697 Siti web 698 Soluzioni 699 Indice analitico 707