Equazioni. Istituto San Gabriele 3 Liceo Scientifico 3 Liceo Scientifico sez. Scienze Applicate A.S. 2016/2017 Prof.

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1 Equazioni Istituto San Gabriele 3 Liceo Scientifico 3 Liceo Scientifico sez. Scienze Applicate A.S. 2016/2017 Prof. Andrea Pugliese

2 Definizione ed esempi Un equazione è un uguaglianza tra due espressioni che contengono numeri e lettere, che possono essere incognite (x,y, ) e parametri (m,k, ). Un equazione contenente solo numeri ed incognite si chiama numerica. x(1+ x(2 + x)) = 4 x 4x 2 + 3y = 5(x y) Un equazione contenente altre lettere oltre alle incognite si chiama letterale o parametrica. (m +1)(m 1)x = m 2 1 6kx(4 + x) = 5k x 2

3 Definizione ed esempi Un equazione in cui le incognite compaiono solo al numeratore si chiama equazione intera 4x 3 + 2x = x 2 1 5ax 3(1 a)x = 4(a 2 1) altrimenti, se le incognite compaiono anche al denominatore, si chiama equazione frazionaria. x 2 1 (x 1)(x +1) + 3 x x 2 9 = 1 x 2 3ax 1 (4a +1)x = 5+ ax2 ax

4 Definizione ed esempi Un equazione in una incognita si dice scritta in forma canonica o forma normale quando è scritta nella forma A(x) = 0. A(x) è un polinomio i cui termini sono ordinati secondo potenze decrescenti della variabile x. 5x 3x 2 = 3 5x 2 + 6x 2x 2 x 3 = 0 Si chiama grado di un equazione il grado massimo dell esponente con cui appare l incognita all interno dell equazione. Esempi. 2x 2 x 3 = 0 ha grado 2. 5x x 4 3x 2 + 2x 3 = 0 ha grado 4.

5 Soluzioni di un equazione Si chiama soluzione di una equazione un valore che, sostituito ad ogni occorrenza dell incognita, trasforma l equazione in una uguaglianza. Esempio. Consideriamo la seguente equazione. 5x + 3 = 6x 4 Verifichiamo che x = 7 è soluzione. 5x + 3 = 6x 4 5(7)+ 3 = 6(7) 4 38 = 38 VERO Verifichiamo che x = 8 non è soluzione. 5x + 3 = 6x 4 5(8)+ 3 = 6(8) 4 43 = 44 FALSO

6 Soluzioni di un equazione Si chiama insieme delle soluzioni, e si indice generalmente con S, l insieme costituito da tutte le soluzioni di una equazione. Le equazioni sono classificate in base al numero delle loro soluzioni. Un equazione che non ha nessuna soluzione si dice impossibile. Un equazione che ha soluzioni si dice possibile. In particolare se ha un numero finito di soluzioni si dice determinata. se ha un numero infinito di soluzioni si dice indeterminata.

7 Equazioni equivalenti Due equazioni si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. Esempi. 3x + 4 = 7 5x 3 = 2 ha soluzione x = 1. ha soluzione x = 1. sono equivalenti! x 2 5x + 6 = 0 (x 2)(x 3) = 0 ha soluzioni x = 2 e x = 3 ha soluzioni x = 2 e x = 3 sono equivalenti!

8 Principi di equivalenza I principi di equivalenza sono delle regole che permettono di trasformare una equazione assegnata in una ad essa equivalente. Principio preliminare di equivalenza. Se si svolgono i calcoli in uno o in entrambi i membri di una equazione si ottiene una equazione equivalente a quella data. Primo principio di equivalenza. Se si somma o si sottrae ad entrambi i membri di una equazione uno stesso numero o una stessa espressione algebrica si ottiene un equazione equivalente a quella data. Secondo principio di equivalenza. Se si moltiplicano o si dividono entrambi i membri di una equazione per uno stesso numero o una stessa espressione algebrica diversa da zero si ottiene un equazione equivalente a quella data.

9 Equazioni di 1 grado (anche dette equazioni lineari) In un equazione di 1 grado l incognita ha al massimo esponente 1. Utilizzando i principi di equivalenza è possibile sempre riscrivere un equazione di primo grado in forma normale: ax + b = 0 A seconda dei coefficienti a e b, l equazione ammette soluzioni diverse. a 0 x = b a l equazione è determinata. ax + b = 0 a = 0 b = 0 b 0 l equazione è indeterminata. l equazione è impossibile.

10 Equazioni di 2 grado (anche dette equazioni quadratiche) In un equazione di 2 grado l incognita ha al massimo esponente 2. Utilizzando i principi di equivalenza è possibile sempre riscrivere un equazione di secondo grado in forma normale: a si chiama primo coefficiente e deve per forza essere diverso da zero (altrimenti l equazione diventa di primo grado). b si chiama secondo coefficiente. ax 2 + bx + c = 0 c si chiama terzo coefficiente o termine noto.

11 Equazioni di 2 grado (anche dette equazioni quadratiche) Le equazioni di secondo grado si classificano in base ai coefficienti. b = 0 c = 0 ax 2 = 0 equazione monomia c 0 ax 2 + c = 0 equazione pura a 0 b 0 c = 0 c 0 ax 2 + bx = 0 ax 2 + bx + c = 0 equazione spuria equazione completa

12 Equazioni di 2 grado (formula risolutiva) Data un equazione di 2 grado completa si definisce il discriminante. Δ = b 2 4ac A seconda del segno del discriminante cambia il numero delle soluzioni. Δ = b 2 4ac > 0 Δ = b 2 4ac = 0 Δ = b 2 4ac < 0 l equazione ammette due soluzioni distinte l equazione ammette due soluzioni coincidenti l equazione non ammette soluzioni x 1,2 = b ± b2 4ac 2a x 1 = x 2 = b 2a S =

13 Equazioni di grado superiore (risolubili mediante scomposizione) Un equazione di grado superiore al secondo è un equazione della forma A(x) = 0, dove A(x) è un polinomio di grado maggiore o uguale a 2. Se il polinomio A(x) è scomponibile in fattori, ovvero si può scrivere A(x) = p 1 (x) p 2 (x)... p n (x) allora, in base alla legge di annullamento del prodotto l insieme delle soluzioni dell equazione A(x) = 0 è l unione degli insiemi delle soluzioni di ciascuna delle equazioni p 1 (x) = 0, p 2 (x) = 0,..., p n (x) = 0

14 Esempio. Consideriamo l equazione Poiché il polinomio si annulla in x = -1, utilizzando la regola di Ruffini e riconoscendo successivamente il quadrato di un binomio e la differenza di due quadrati dobbiamo risolvere l equazione Quindi risolviamo le singole equazioni x 5 + x 4 x 3 13x 2 48x 36 = 0 (x +1)(x 2 + x + 6)(x 2 x 6) = 0 x +1= 0 x = 1 x 2 + x + 6 = 0 nonha soluzioni (Δ < 0). x 2 x 6 = 0 x 1 = 3, x 2 = 2 Le soluzioni dell equazione sono quindi x = -3, x = -1 e x = 2.

15 Equazioni di grado superiore (equazioni binomie) Un equazione binomia è un equazione della forma ax n + b = 0, a 0 Se n è dispari, l equazione ammette l unica soluzione. x = n b a Se n è pari e ab > 0 allora l equazione non ammette soluzioni reali. Se n è pari e ab < 0 allora l equazione ammette le due sole radici reali x 1 = + b n e x 2 = b n a a

16 Esempio. Consideriamo l equazione binomia Utilizzando i principi di equivalenza l equazione diventa E quindi 81x 4 16 = 0 x 4 = x = ± 16 4 = ± 81 4! 2 $ 4 # & = ± 2 " 3% 3

17 Equazioni di grado superiore (equazioni trinomie) Un equazione trinomia è un equazione della forma ax 2n + bx n + c = 0, a 0 in particolare per n = 2 l equazione prende il nome di biquadratica. y = x n ay 2 + by + c = 0 Se poniamo l equazione iniziale diventa Se questa equazione ammette le due soluzioni y 1 e y 2, le soluzioni dell equazione di partenza si ottengono risolvendo le equazioni x n = y 1 x n = y 2

18 Esempio. Consideriamo l equazione trinomia x 6 3x = 0 Posto y = x 3 l equazione diventa y 2 3y + 2 = 0 y =1 e y = 2 Risolviamo quindi le equazioni x 3 = y 1 =1 x =1 x 3 3 = y 2 = 2 x = 2

19 Esercizi sulle equazioni di 1 grado 1. 5x(x 3)+ 2(x 1) = x(5x +1) 2x 3 [1/12] 2. 3x +[x 2(3 x)]+[ 5x ( x + 5)] = 4(3 x) [23 / 6] " 3. 2x 1 % $ # 3& ' " 2x + 1 % $ # 3 ' (2 + x) 2 + 3x 1 & 7 (4x 7) = 3x x [impossibile] 4. 5 x x x + 5 = 1 x 5 [22 / 3] 5. 2 x x 4 2 7x x 2 12 = 0 [impossibile] 3x(x +1) 2 x 6. 4x 2 1 2x +1 = x2 + 2x 1 4x 2 1 [impossibile] 7. 3x 3 x 2 3x +1= 0 [ 1,1,1/ 3] 8. 8x 4 +12x 3 + 6x 2 + x = 0 [0, 1/ 2] 9. x + 4x 2 + x 3 6 x 1 = 0 [ 3, 2]

20 Esercizi sulle equazioni di 2 grado 1. (x 2 2x +1) 2 (x 2 2)(x 2 + 2) = 4x 2 (3 x)+ 3x [ 5 / 3,1/ 2] 2. 3(x +1) (x 3)(x + 3) = 2x2 + 6x [impossibile] " 3. 3x 1 % $ # 2 & ' " 3x + 1 % $ # 2 '+ 6x = 0 [± ] & x x x 1 x 2 + x 6 x x + 3 = x(1 x) (x + 3)(x 2) x x 2 2x x 2 = x + 3 x x 1 x + 9 x = x x x [ 1, 3] [impossibile] [0, 11/ 3] = 0 [± ] 8. 4x 2 (x 6 2) = 21x (3+ 4x 2 ) [± 2 2,± 4 5 ]