Equazioni di primo grado ad un incognita. Identità
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- Teresa Lillo
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1 Def: Equazioni di primo grado ad un incognita Identità Si dice IDENTITÀ un uguaglianza fra due espressioni letterali che è verificata per ogni valore attribuito alle lettere. 2a = 2a è un identità a = = = 6 a = 5 10 = 10. Verificare un identità (a + 2b)x 5bx = (a 3b)x è un identità? 1. eseguire tutte le operazioni del primo e del secondo membro dell uguaglianza; ax + 2bx 5bx = ax 3bx ax 3bx = ax 3bx 2. confrontare le due espressioni letterali ottenute e verificare che siano uguali. 1
2 3. dare dei valori casuali alle lettere e verificare che i risultati ottenuti siano uguali: a = 2 x = 6 b = ( 1) 6 = 2 6 3( 1) = = 30 È un identità! Def: Equazioni Si dice EQUAZIONE un uguaglianza fra due espressioni letterali che si verifica solo per determinati valori attribuiti alle lettere, che si dicono INCOGNITE. 5a 3 = 12 Questa uguaglianza è verificata solo se a = 3, infatti: = = = 12 2
3 Quindi a = 3 è l unica soluzione dell equazione Def: Se nell equazione vi è una sola incognita con esponente 1, si dice che l equazione è di primo grado ad un incognita e la soluzione è UNICA. Def: Due equazioni si dicono EQUIVALENTI se hanno la stessa soluzione. L equazione: 2a 4 = 3a + 5 ha per soluzione a = 9, infatti: 2( 9) 4 = 3( 9) = = 22 Anche l equazione 6a 12 = 9a
4 ha per soluzione a = 9, infatti: 6( 9) 12 = 9( 9) = = 66 Quindi le due equazioni sono EQUIVALENTI. Osservazione: Il concetto di equazioni equivalenti viene applicato nella risoluzione delle equazioni, trasformando un equazione in un altra più semplice, ad essa equivalente. La trasformazione avviene applicando due PRINCIPI DI EQUIVALENZA: PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA ADDIZIONANDO O SOTTRAENDO DAI DUE MEMBRI DI UN EQUAZIONE UNO STESSO NUMERO O UNA STESSA ESPRESSIONE ALGEBRICA CONTENENTE L INCOGNITA, OTTENIAMO UN EQUAZIONE EQUIVALENTE A QUELLA DATA. 4
5 Consideriamo l equazione x + 3 = 5 e ad entrambi i membri sommiamo -3: x = 5 3, eseguiamo i calcoli e otteniamo: x = 2 soluzione dell equazione data. Consideriamo l equazione 5x 4 = 4x + 2 eliminiamo la parte letterale dal membro di destra, aggiungiamo 4x ad ambo i membri: 5x 4 4x = 4x + 2 4x eseguiamo i calcoli e otteniamo: x 4 = +2 eliminiamo la parte numerica dal membro di sinistra, aggiungiamo 4 ad ambo i membri: x = eseguiamo i calcoli e otteniamo: x = +6 soluzione dell equazione data. REGOLA: 1) In ogni equazione un termine può essere trasportato da una parte all altra dell uguale, cambiando il suo segno. 5
6 2) Se nei due membri di un equazione compaiono due termini uguali, essi possono essere semplificati. 2x 8 = x x = x + 2 2x x = +2 x = 2 OSSERVAZIONE: L obiettivo è spostare a sinistra tutte le incognite e a destra tutti i numeri. SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA MOLTIPLICANDO O DIVIDENDO I DUE MEMBRI DI UN EQUAZIONE PER UNO STESSO NUMERO (DIVERSO DA ZERO), OTTENIAMO UN EQUAZIONE EQUIVALENTE A QUELLA DATA. x + 1 = 4 moltiplichiamo entrambi i membri per 1 6
7 ( 1) ( x + 1) = +4 ( 1) ovvero si cambiano tutti i segni +x 1 = 4 applichiamo il primo principio e spostiamo 1 dall altra parte dell uguale: Esempio: 3x x = = = 1 6 per risolverla conviene eliminare i denominatori facendo il m.c.m.: m. c. m. (2,3,6) = 6 riduciamo ambo i membri ad una sola linea di frazione, con denominatore uguale all m.c.m.: 3x = x = moltiplichiamo ambo i membri per 6: 7
8 6 3 3x = semplifichiamo i denominatori e eseguiamo i calcoli: 9x + 2 = 1 applichiamo il primo principio: 9x = 1 2 9x = 1 dividiamo ambo i membri per 9: 9x REGOLA: 9 = 1 9 x = 1 9 1) si può cambiare di segno a tutta l equazione, moltiplicando per (-1) da ambo le parti; 2) se un equazione contiene delle frazioni si deve: trovare l m.c.m. dei denominatori 8
9 ridurre tutte le frazioni allo stesso denominatore (m.c.m.) moltiplicare entrambi i membri dell equazione per il denominatore Def: un equazione si dice RIDOTTA A FORMA NORMALE se al primo membro c è un solo termine in x e al secondo membro un solo termine noto: ax = b a è il coefficiente dell incognita b è il termine noto. Osservazione: se l equazione non è ridotta in forma normale, si devono utilizzare i due principi di equivalenza per ridurla in forma normale. 9
10 SOLUZIONE DI UN EQUAZIONE DI PRIMO GRADO AD UN INCOGNITA ax = b ax a = b a x = b a DISCUSSIONE EQUAZIONE DI PRIMO GRADO I CASO_EQUAZIONE DETERMINATA: a 0 La soluzione è x = b a In particolare, se b = 0 la soluzione sarà x = 0 a = 0 In questo caso l equazione è determinata e ha una sola soluzione. Esempio: 3x = 5! xεr / ax = b x = 5 3 Esempio: 10
11 3x = 0 x = 0 3 = 0 II CASO_EQUAZIONE IMPOSSIBILE: a = 0 e b 0 L equazione non ha soluzioni perché l uguaglianza 0x = b non è possibile, non esiste alcun numero x che moltiplicato per 0 dia come risultato un numero b, diverso da 0. L equazione non ha soluzioni: Esempio: x R / ax = b 0x = 5 impossibile: x R (non esistono x appartenenti all insieme dei numeri reali che sono soluzioni dell equazione data) III CASO_EQUAZIONE INDETERMINATA: a = 0 e b = 0 0x = 0 11
12 L equazione è INDETERMINATA perchè è verificata per qualsiasi valore attribuito alla x, ovvero qualsiasi numero moltiplicato per 0 da come risultato 0. L equazione ha infinite soluzioni. OSSERVAZIONE: xεr / ax = b Ogni equazione indeterminata è un identità. Esempio: 0x = 0 indeterminata: x R (per ogni x appartenente all insieme dei numeri reali) a 0 Equazione in forma normale ax = b DETERMINATA x = b a a = 0 e b 0 IMPOSSIBILE Nessuna soluzione xεr a = 0 e b = 0 INDETERMINATA Infinite soluzioni xεr 12
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