Lezione 2. Percentuali. Equazioni lineari

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1 Lezione 2 Percentuali Equazioni lineari

2 Percentuali Si usa la notazione a % per indicare a/100 Esempio: 25%= 25/100= % = 30/100=0.30 Inoltre: Applicare la percentuale a % a un numero b è come moltiplicare b per a/100.

3 La percentuale è una delle possibili rappresentazioni numeriche del rapporto tra due quantità (a e b), in cui una (a) viene espressa in centesimi (centesime parti) dell'altra (b); operativamente si ottiene moltiplicando per 100 il quoziente (a/b) della divisione tra le due quantità: o anche: che rappresenta la proporzione a:b = n:100 La quantità "base" b, che si vuole rappresenti il 100%, deve essere posta al denominatore, mentre la quantità a, che deve essere rapportata, va posta al numeratore, e il risultato deve essere interpretato nel senso che a è uguale a n centesime parti di b

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7 Percentuali, decimali e frazioni Trasformazione da percentuale a decimale Si scrive il numero senza il segno di percentuale, spostando la virgola di due posti a sinistra12%=0,12 Trasformazione da decimale a percentuale Si scrive il numero decimale spostando la virgola a destra di due posti e aggiungendo il simbolo % 0,35=35% Trasformazione da percentuale a frazione Si scrive la frazione decimale con denominatore 100 ed eventualmente si semplifica15% = Trasformazione da frazione a percentuale Si trasforma la frazione in decimale e poi questo in percentuale 2 5 0, 4 40%

8 Esercizi: Trasforma da percentuali a decimali a) 25% 8% 0,2% 2,3% b) 33% 120% 12% 2,04% Trasforma da decimali a percentuali a) 0,8 1,2 4,4 0,03 b) 20 0,2 0,02 3,1 Trasforma da percentuali a frazioni a) 22% 15% 40% 32% b) 7% 2% 4,5% 2,3% Trasforma da frazioni a percentuali a)

9 Problemi con somme o operazioni tra percentuali Le somme e le sottrazioni di percentuali possono avere senso solo se la base è la stessa, altrimenti si otterrà un risultato che non ha nessun senso. Ad esempio: se ho una stazione con due binari e poi ne aggiungo uno, ho incrementato i miei binari del 50%, il mio valore di riferimento è infatti 2 (i due binari presenti) e il mio aumento è 1 (se due è il mio 100%, 1 che è la metà di 2 sarà il 50%).

10 Equazioni lineari Le equazioni sono uguaglianze fra due espressioni in cui compare una lettera detta incognita e che sono verificate per valori opportuni dell'incognita, detti soluzioni o radici. Pertanto le radici o soluzioni di un'equazione sono quei particolari valori che sostituiti al posto dell'incognita verificano l'uguaglianza. Esempio: 5x+7=3x+13 ha come soluzione x=3, infatti sostituendo si ottiene: 5*3+7=3*3+13 mentre x=2, non è soluzione infatti 5*2+7 è diverso da 3*2+13 Le due espressioni che compaiono a sinistra e a destra dell'uguale sono dette membri dell'equazione. Def. Si chiamo grado di un'equazione l'esponente massimo con cui compare l'incognita. Un'equazione di primo grado è detta anche lineare.

11 Proprietà delle equazioni 1. Aggiungendo o sottraendo una stessa quantità al primo ed al secondo membro si ottiene una equazione equivalente. Esempio 1: data l'equazione 5x+7=3x+13 che per quanto visto prima ha come soluzione x=3. Se aggiungiamo 12 ad entrambe i membri otteniamo l'equazione 5x+7+12=3x cioè 5x+19=3x+25 che ha anch'essa x=3 come soluzione infatti facendo i calcoli si ha 5*3+19=3*3+25 Esempio 2: data l'equazione 5x+4=3x+13 se togliamo 4 al primo ed al secondo membro otteniamo 5x+4-4=3x x=3x+13-4 in definitiva il termine 4 che si trovava al primo membro ora si trova al secondo membro cambiato di segno. Si può enunciare la legge del trasporto: Si può trasportare un termine da un membro all'altro cambiandone il segno.

12 2. Moltiplicando o dividendo per una stessa quantità diversa da zero al primo ed al secondo membro si ottiene una equazione equivalente. Esempio: data l'equazione 5x+7=3x+13 che per quanto visto prima ha come soluzione x=3. Se moltiplichiamo per 3 ad entrambe i membri otteniamo l'equazione 15x+21=9x+39 ha anch'essa x=3 come soluzione infatti facendo i calcoli si ha 15*3+19=6*3+25. Nelle equazioni letterali si deve prestare attenzione quando moltiplichiamo o dividiamo per una quantità in cui compare una lettera (variabile). In tal caso dobbiamo imporre che che questa quantità sia diversa da zero, pertanto occorre trovare quei particolari valori della variabile che annullano la quantità per cui si moltiplica o si divide.

13 Risoluzione delle equazioni Un'equazione lineare si risolve separando i termini che contengono l'incognita dagli altri termini. La separazione si realizza mediante il trasporto dei termini da un membro all'altro, che si ottiene applicando Esempio: data l'equazione 5x+7=3x+13 si deve trasportare il termine 7 al secondo membro ed il termine 3x al primo membro cambiandoli di segno. 5x-3x=13-72x=6 dividendo primo e secondo membro per 2 si ricava l'incognita x=6/2=3