Le operazioni fondamentali in R

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1 La REGOLA DEI SEGNI: 1. ADDIZIONE Le operazioni fondamentali in R + per + dà + per dà + + per dà per + dà Esempi: (+5) + (+9) = = + 14 (+5) + ( 3) = = + 2 ( 5) + ( 9) = 5 9 = 14 ( 5) + (+3) = = 2 quando 2 segni sono vicini si deve applicare la REGOLA DEI SEGNI e poi calcolare l operazione normalmente. Regola generale: 1) la somma di due numeri RELATIVI CONCORDI è il numero relativo che ha lo stesso SEGNO degli addendi e come valore assoluto la SOMMA dei VALORI ASSOLUTI; 2) la somma di due numeri RELATIVI DISCORDI è il numero relativo che ha per segno il SEGNO dell addendo, che ha il maggiore valore assoluto, e come valore assoluto la DIFFERENZA fra i VALORI ASSOLUTI degli addendi. Esempi: (+7) + (+4) = = + 11 concordi (- 7) + (- 4) = = - 11 concordi (+7) + (- 4) = = + 3 discordi (-7) + (+4) = = - 3 discordi Prop: La somma di due numeri relativi opposti è uguale a zero. ( + 5 ) + ( 5 ) = 0 infatti = 0 1

2 Prop: La somma di tre o più numeri relativi: (+8) + (-3) + (+4) + ( 5) = (+5) + (+4) + ( 5) = (+9) + ( 5) = + 4 per semplificare la scrittura si deve scrivere la somma in modo abbreviato: 1. togliere le parentesi 2. applicare la regola dei segni 3. calcolare la somma in modo normale Esempio: (+8) + (-3) + (+4) + ( 5) = = +4 (+5) + (-8) + (+10) + (-15) + (+7)= = - 1 Proprietà dell addizione: COMMUTATIVA: la somma di numeri relativi non cambia cambiando l ordine degli addendi. Esempio: = = = +9 ASSOCIATIVA: la somma di tre o più numeri relativi non cambia se, a due o più di essi si sostituisce la loro somma. Esempio: = ( ) + ( ) = ( 1 ) = +4-1 = + 3 Oppure: = = (prop. commutativa) ( ) + (- 2-5) = (prop. associativa) (- 7) = = +3 2

3 DISSOCIATIVA: la somma di numeri relativi non cambia se, a uno o più addendi si sostituiscono altri addendi, che hanno per somma l addendo sostituito. Esempio: = = (prop. dissociativa) ( )+ (+4-8) = (prop. associativa) (+ 5) + ( 4 ) = +5 4 = + 1 Semplificazioni di Calcolo: per calcolare la somma di più numeri relativi, si può calcolare prima la somma di tutti i numeri positivi, poi la somma di tutti i numeri negativi ed infine mettere insieme i due risultati. (+5) + (-8) + (-3) + (+10) + (-2) + (+7) = = togliere le parentesi ( ) + ( )= mettere prima i numeri positivi e poi quelli negativi (-13)= sommare i numeri in parentesi = +9 sommare i due risultati 2. SOTTRAZIONE Si dice DIFFERENZA fra due numeri relativi quel terzo numero relativo che, addizionato al secondo, dà come risultato il primo. (+8) (+3) = + 5 perché ( + 5 ) + ( + 3 ) = + 8 Regola pratica: Analogamente all addizione si deve eseguire la REGOLA DEI SEGNI fra i segni vicini e poi calcolare la somma se il risultato è +, la sottrazione se il risultato è : ( + 8 ) ( + 3 ) = +8 3 = +5 ( + 9 ) ( 2 ) = = +11 ( 12 ) ( + 5 ) = = - 17 ( + 12 ) ( 5 ) = = +17 3

4 Proprietà: quando tutta la parentesi è preceduta dal segno, si può togliere e cambiare il segno di tutti i termini contenuti nella parentesi. ( ) = ( ) = = = ( )= = = + 9 Si dice ADDIZIONE ALGEBRICA una successione di addizioni e di sottrazioni fra numeri relativi. Il risultato si dice SOMMA ALGEBRICA. 4

5 3. MOLTIPLICAZIONE Il PRODOTTO di due numeri relativi (entrambi diversi da zero) è il numero relativo che ha per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti e per segno quello ottenuto con la regola dei segni, ovvero: il segno + se i due fattori sono concordi (stesso segno) il segno se i due fattori sono discordi (segni diversi) ( + 5) ( + 2 ) = +10 ( 5 ) ( 2 ) = +10 ( 5 ) ( + 2 ) = 10 ( + 5 ) ( 2 ) = 10 PRODOTTO DI PIU NUMERI RELATIVI (-4) (+5) (-2)= (+5) (-4) (-2)= +40 (+5) (+8)= + 40 (+2) (-3) (-4) (+10) (-2) = (+2) (+10) (-3) (-4) (-2) = (+20) (+12) (-2)= (+240) (-2)=-480 (-2) (+1) (-3) (-5)= -30 (+6) (-5)(+1)= (-30)(+1)= -30 5

6 Prop: il prodotto di tre o più numeri relativi è il numero relativo che ha per valore assoluto il prodotto di tutti i valori assoluti e per segno: + se i fattori negativi sono in numero pari se i fattori negativi sono in numero dispari. Proprietà: COMMUTATIVA: il prodotto di numeri relativi non cambia cambiando l ordine dei fattori Esempio: ( 3 ) ( + 6 ) = ( + 6 ) ( 3 ) = 18 ASSOCIATIVA: il prodotto di tre o più numeri relativi non cambia se a due o più di essi si sostituisce il loro prodotto. ( 3 ) ( + 6 ) ( 2 ) = ( 18 ) ( 2 ) = +36 DISSOCIATIVA: il prodotto di due o più numeri relativi non cambia se uno o più di essi vengono sostituiti da fattori, il cui prodotto sia uguale al fattore sostituito. ( 3 ) ( + 24 ) ( 2 ) = ( 3 ) ( 4 ) ( 6 ) ( 2 ) = +144 DISTRIBUTIVA DEL PRODOTTO RISPETTO ALL ADDIZIONE ALGEBRICA: per moltiplicare una somma algebrica per un numero relativo, si può moltiplicare ciascun addendo per quel numero e addizionare poi i prodotti ottenuti. (+2 3) (+8)= (+2 8)+( - 3 8)= (- 24)= = - 8 ( ) ( 2) = [( + 7 ) ( 2 )] + [( + 4 ) ( 2 )] + [( 2 ) ( 2 )]= [ - 8 ] + [ + 4]= = 18 DISTRIBUTIVA DEL PRODOTTO RISPETTO A DUE SOMME ALGEBRICHE: per moltiplicare una somma algebrica per un altra, si può moltiplicare ciascun addendo di una somma per ciascun addendo dell altra e addizionare poi i prodotti ottenuti. ( ) ( 2 + 5) = [( + 7 ) ( 2 )] + [( + 4 ) ( 2 )] + [( 2 ) ( 2)] + [( + 7 ) ( + 5 )] + [( + 4 ) ( + 5 )] + [( 2 ) ( + 5 )] = = 14 + ( 8) + ( + 4 ) + ( + 35 ) + ( + 20 ) + ( 10 ) = 6

7 = = + 27 LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO: il prodotto di due o più fattori è uguale a ZERO se almeno uno dei fattori è uguale a zero, e viceversa. ( + 3 ) ( + 6 ) ( 21 ) ( 0 ) = 0 ELEMENTO NEUTRO: +1 ( + 3 ) ( + 1 ) = +3 ( 3 ) ( + 1 ) = 3 ATTENZIONE: il numero (-1) non è elemento neutro, perché inverte il segno! Due numeri si dicono INVERSI o RECIPROCI FRA LORO se il loro prodotto è uguale a e due numeri si dicono ANTIRECIPROCI se il loro prodotto è e

8 4. DIVISIONE Il QUOZIENTE di due numeri relativi è il numero relativo che ha per valore assoluto il QUOZIENTE DEI VALORI ASSOLUTI e per segno quello ottenuto con la REGOLA DEI SEGNI, ovvero: il segno + se il dividendo e il divisore sono concordi (stesso segno) il segno se il dividendo e il divisore sono discordi (segno diverso) concordi discordi Proprietà: Il quoziente fra due numeri relativi, di cui il secondo non nullo, si può ottenere moltiplicando il primo per il reciproco del secondo : : Casi particolari: se due numeri relativi sono uguali il loro quoziente è +1 ( 3 ) : ( 3 ) = +1 se due numeri relativi sono opposti il loro quoziente è 1 (+ 3 ) : ( 3 ) = 1 se il divisore è +1 il quoziente è uguale al dividendo ( + 5 ) : ( + 1 ) = +5 ( 12 ) : ( + 1 ) = 12 se il divisore è 1 il quoziente è uguale all opposto del dividendo ( + 5 ) : ( 1 ) = 5 ( 12 ) : ( 1 ) =

9 se il dividendo è 0 e il divisore è diverso da 0, il quoziente è 0 0 : ( + 4 ) = 0 0 : ( 3 ) = 0 se il divisore è 0 il quoziente non esiste (la divisione perde di significato) ( 8 ) : 0 = impossibile perché non c è nessun numero che moltiplicato per 0 dà come risultato -8 se dividendo e divisore sono entrambi uguali a 0 il quoziente è indeterminato, cioè può avere un valore qualsiasi. Es : 0 : 0 = indeterminato. Qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà come risultato 0, quindi non si può stabilire. Proprietà: 1) INVARIANTIVA: se moltiplichiamo (o dividiamo) dividendo e divisore per UNO STESSO NUMERO relativo diverso da zero, il quoziente non cambia. ( 14 ) : ( + 7 ) = - 2 ( 14 2 ) : ( ) = ( 28 ) : ( + 14 ) = 2 ( + 24 ) : ( 8 ) = - 3 ( + 24 : 2 ) : ( 8 : 2 ) = ( + 12 ) : ( 4 ) = 3 Osservazione: questa proprietà si utilizza ogni volta che si semplifica numeratore e denominatore in una frazione. Ho diviso numeratore e denominatore per 2 9

10 2) DISTRIBUTIVA RISPETTO ALL ADDIZIONE ALGEBRICA: per dividere una somma algebrica per un numero relativo, si può dividere ciascun termine per quel numero e addizionare i quozienti parziali ottenuti. ( ) : 2 = ( 4 : 2 ) + ( + 8 : 2 ) + ( 6 : 2 ) = ( 2) + (+4) + ( 3)= = = 1 LE ESPRESSIONI ALGEBRICHE NUMERICHE a) Espressioni senza parentesi Per prima si risolvono le moltiplicazioni e le divisioni In seguito le somme algebriche b) Espressioni con parentesi Si risolvono i calcoli all interno delle parentesi TONDE, poi QUADRE e poi GRAFFE Eliminate tutte le parentesi si risolvono i calcoli come al caso a). Esempio: si risolvono le parentesi tonde si risolvono prima le divisioni o moltiplicazioni si risolvono le somme algebriche togliendo le parentesi 10