Dott. Dallavalle Riccardo UNITA DIATTICA nr. 5 Gli argomenti di oggi:

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1 Gli argomenti di oggi: Le operazioni matematiche con i numeri INTERI RELATIVI

2 Come facciamo a fare la ADDIZIONE con i numeri interi relativi? Consideriamo un esempio: (+5) + (+7) =? Come potrei fare? Prova a dare tu una risposta!

3 Prova adesso a fare la seguente operazione matematica: (+5) + (-7) =? Come potrei fare? Prova a dare tu una risposta!

4 Sei riuscito? Proviamo a ragionare insieme: Nel primo caso dobbiamo aggiungere «7 unità positive» al numero (+5). Bisognerà spostarmi verso destra (perché i numeri positivi sono a destra) della retta dei numeri, esattamente di 7 posti: Come si vede «cado» nel punto +12, allora posso affermare che: (+5) + (+7) = (+12)

5 Nel secondo caso dobbiamo aggiungere «7 unità negative» al numero (+5). Bisognerà spostarmi verso sinistra (in quanto le unità sono negative) della retta dei numeri, esattamente di 7 posti: Come si vede «cado» nel punto -2, allora posso affermare che: (+5) + (-7) = (-2)

6 Quindi: Devo spostarmi a destra o a sinistra della retta dei numeri a seconda che sto aggiungendo un numero positivo o uno negativo. Hai capito? Proviamo ad eseguire le seguenti addizioni: (-5) + (-3) =? (-6) + (+4) =? (+5) + (-12) =? (+8) + (+5) =?

7 Cerchiamo adesso di riorganizzare le idee: CONCORDI STESSO SEGNO DISCORDI SEGNO DIVERSO NUMERI INTERI RELATIVI MODULO IL NUMERO PRESO SENZA SEGNO OPPOSTI MODULO UGUALE SEGNO OPPOSTO

8 Troviamo un modo veloce di eseguire le addizioni NUMERI CONCORDI NUMERI DISCORDI SI SOMMANO I MODULI STESSO SEGNO SI SOTTRAGGONO I MODULI SEGNO DEL MODULO PIU GRANDE Ad esempio: (-5)+(-8) =? SI SOMMANO I MODULI: 5+8=13 STESSO SEGNO: «-» (-5)+(-8) = -13 Ad esempio: (-5)+(+8) =? SI SOTTRAGGONO I MODULI: 8-5=3 SEGNO DEL MODULO PIU GRANDE: «+» (-5)+(+8) = +3

9 Troviamo un modo veloce di eseguire le sottrazioni UNA SOTTRAZIONE LA POSSIAMO TRASFORMARE IN UNA ADDIZIONE. BASTA CAMBIARE IL SEGNO DEL SOTTRAENDO Ad esempio: (-5)-(-8) = (-5)+(+8) = +3 Ad esempio: (-5)-(+8) = (-5)+(-8) = -13 ABBIAMO CIOÈ RICONDOTTO LA SOTTRAZIONE AD UNA ADDIZIONE, CHE ABBIAMO GIÀ IMPARATO A ESEGUIRE ADDIZIONE E SOTTRAZIONE SONO QUINDI STRETTAMENTE LEGATE. PER TAL MOTIVO L OPERAZIONE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE SI CHIAMANO GENERICAMENTE SOMMA ALGEBRICA

10 Troviamo un modo veloce di eseguire le moltiplicazioni NUMERI CONCORDI NUMERI DISCORDI SI MOLTIPLICANO I MODULI SEGNO POSITIVO Ad esempio: (-5) (-8) =? SI MOLTIPLICANO I MODULI: 5 8=40 SEGNO POSITIVO: «+» (-5) (-8) = +13 SI MOLTIPLICANO I MODULI SEGNO NEGATIVO Ad esempio: (-5)+(+8) =? SI MOLTIPLICANO I MODULI: 5 8=40 SEGNO NEGATIVO: «-» (-5) (+8) = -40

11 Troviamo un modo veloce di eseguire le divisioni NUMERI CONCORDI NUMERI DISCORDI SI DIVIDONO I MODULI SEGNO POSITIVO SI DIVIDONO I MODULI SEGNO NEGATIVO Ad esempio: (-25) (-5) =? SI DIVIDONO I MODULI: 25 : 5=5 SEGNO POSITIVO: «+» (-25) (-5) = +5 Ad esempio: (-25)+(+5) =? SI DIVIDONO I MODULI: 25:5=5 SEGNO NEGATIVO: «-» (-25) (+5) = -5

12 CONCORDI SOMMA DEI MODULI STESSO SEGNO ADDIZIONE DISCORDI SOTTRAZIONE DEI MODULI SEGNO DEL MODULO PIU GRANDE CONCORDI MODULO UGUALE AL QUOTO DEI MODULI SEGNO POSITIVO DIVISIONE NUMERI INTERI RELATIVI SI TRASFORMA LA SOTTRAZIONE IN UNA ADDIZIONE, CAMBIANDO IL SEGNO DEL SOTTRAENDO SOTTRAZIONE CONCORDI MODULO UGUALE AL PRODOTTO DEI MODULI SEGNO POSITIVO MOLTIPLICAZIONE DISCORDI MODULO UGUALE AL QUOTO DEI MODULI SEGNO NEGATIVO DISCORDI MODULO UGUALE AL PRODOTTO DEI MODULI SEGNO NEGATIVO

13 Proprietà delle operazioni matematiche ADDIZIONE MOLTIPLICAZIONE COMMUTATIVA 5+2=2+5 5X2=2X5 ASSOCIATIVA 5+2+3=5+5 5X2X3=5X6 DISSOCIATIVA 5+8= X8=5X4X2 ELEMENTO NEUTRO 0 1

14 Proprietà delle operazioni matematiche COMMUTATIVA scambiando l ordine degli addendi (fattori) il risultato non cambia. ASSOCIATIVA se al posto di alcuni addendi (fattori) si sostituisce la loro somma (prodotto) il risultato non cambia. DISSOCIATIVA se a uno o più addendi (fattori) se ne sostituiscono altri la cui somma (prodotto) è uguale all addendo (fattore) sostituito il risultato non cambia. ELEMENTO NEUTRO È il numero che se sommato (moltiplicato) non fa cambiare il risultato della somma (prodotto)

15 Proprietà delle operazioni matematiche SOTTRAZIONE DIVISIONE 5-2=(5+3)-(2+3) 27:9=(27:3):(9:3) INVARIANTIVA 5-2=(5-1)-(2-1) 27:9=(27X2):(9X2) la differenza (quoziente) tra due numeri non cambia se ad entrambi si addiziona (divide) o si sottrae (moltiplica) lo stesso numero.

16 Proprietà delle operazioni matematiche (5+2)X4=5X4+2X4 (16+4):2=16:2+4:2 DISTRIBUTIVA scomponendo un fattore, si può moltiplicare (dividere) l altro fattore per ciascun termine dell addizione (o sottrazione) ed addizionare poi i prodotti (quozienti) parziali ottenuti.

17 ADDIZIONE MOLTIPLICAZIONE SOTTRAZIONE DIVISIONE COMMUTATIVA SI SI NO NO ASSOCIATIVA SI SI NO NO DISSOCIATIVA SI SI NO NO ELEMENTO NEUTRO INVARIANTIVA NO NO SI SI DISTRIBUTIVA NO SI NO SI

18 Le POTENZE Un altra importante operazione matematica è LA POTENZA. La potenza non è altro che una moltiplicazione ripetuta. Se devo scrivere: 6x6x6x6x6x6x6x6x6= 9 VOLTE è più facile e comodo scrivere: 6 9 nell esempio posto il numero 6 si chiama base mentre il numero 9 si chiama esponente. Complessivamente 6 9 si chiama potenza

19 Le POTENZE DEFINIZIONE: una potenza è il prodotto della base tante volte quant è l'esponente. PRODOTTO DI POTENZE CON LA STESSA BASE REGOLA: il prodotto di due potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. 2 3 X 2 2 = 2 X 2 X 2 X 2 X 2 = 3 VOLTE 2 VOLTE 5 VOLTE 2 3 X 2 2 = 2 5 = 2 (3+2)

20 Le POTENZE QUOZIENTE DI POTENZE REGOLA: il quoziente di due potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti. POTENZA DI UNA POTENZA REGOLA: la potenza di una potenza è ancora una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti. POTENZA DI UN PRODOTTO REGOLA: la potenza tra due potenze con stesso esponente è una potenza che ha lo stesso esponente e per base il prodotto delle basi

21 Le POTENZE Potenza con base negativa Nel calcolo delle potenze occorre considerare i segni: (-2) 2 =(-2)x(-2)=+4 (-2) 3 =(-2)x(-2)x(-2) =-8

22 Le POTENZE REGOLA: se il segno della base è negativo, per calcolare il segno del risultato occorre guardare l esponente: ESPONENTE PARI RISULTATO POSITIVO «+» ESPONENTE DISPARI RISULTATO NEGATIVO «-»

23 Le POTENZE Potenza con esponente uguale a 0 Quanto vale una potenza con esponente uguale a 0? (-2) 0 =1 Infatti applicando la regola del quoziente di due potenze: (-2) 3 :(-2) 3 = (-2) 3-3 =(-2) 0 =+1 Regola: Qualunque base, tranne il numero 0, elevata ad esponente 0 dà come risultato +1.