SCHEMI DI MATEMATICA
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- Berto Casini
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1 SCHEMI DI MATEMATICA SCHEMA 1: somme algebriche tra numeri ( ci sono sia somme che sottrazioni) Obiettivo dello schema1: saper risolvere espressioni come : -3-6 Metodo: se il segno dei due numeri è uguale allora il segno del numero risultante sarà il segno stesso dei numeri di partenza( ad es. se devo risolvere +2+5 il segno sarà + oppure se devo risolvere -2-5 il segno sarà -) il numero risultante sarà dato dalla somma dei numeri (senza considerare il segno) ( nel caso di -5-2 il numero risultante sarà 7, quindi il risultato finale sarà -7) se invece il segno dei due numeri è diverso allora il segno del numero risultante sarà il segno dei numero più grande (ad es. nel caso di il segno sarà perché il 9>2) per trovare il numero risultante si dovrà sottrarre il numero più piccolo al più grande (nel caso di si dovrà considerare il 9 ed il 2 ed eseguire la seguente sottrazione: 9-2 e quindi il risultato finale sarà -7) N.B. se ho più operazioni da effettuare eseguo la prima e poi il risultato finale lo combino con la terza : es prima eseguo -6+2 che risulta -4 e poi eseguo: -4-1 che risulta -5 SCHEMA 2: somme algebriche tra numeri con le parentesi Obiettivo dello schema2 : risolvere espressioni come: -2-(+3) Metodo: se davanti alla parentesi ho un +: a) elimino il segno davanti alla parentesi b) elimino le parentesi (es. -3 +(-2) = e poi proseguo con lo schema1) Se invece davanti alla parentesi ho un - : a) elimino il segno davanti alla parentesi b) elimino le parentesi c) cambio il segno dentro la parentesi (es. -3 -(-2) = e poi proseguo con lo schema1) SCHEMA 3: SOMMA ALGEBRICA TRA MONOMI ( ci sono sia somme che sottrazioni) Obiettivo dello schema3: saper risolvere espressioni come: -3a +2ab -8a -6ab Per risolvere queste espressioni devo prima raggruppare i monomi simili: in questo caso il primo ed il terzo sono simili tra loro ed il secondo ed il quarto sono simili tra loro. Considero il primo gruppo di monomi simili: -3a -8a ed eseguo la somma algebrica con la tecnica vista nello schema 1 aggiungendo alla fine la parte letterale (a), dopo uso lo schema1 per il secondo gruppo (cioè +2ab -6ab). Scrivo i monomi risultanti che rappresentano il risultato dell esercizio. N.B. se ho più operazioni da effettuare con più di due monomi simili, eseguo la prima operazione coi primi due monomi e poi il risultato finale lo combino con il terzo monomio simile : es. -6a+2a-1a prima eseguo -6a+2a che risulta -4a e poi eseguo: -4a -a che risulta -5
2 SCHEMA 4: SOMMA ALGEBRICA TRA MONOMI CON LE PARENTESI( ci sono sia somme che sottrazioni) Obiettivo dello schema4: saper risolvere espressioni come: -3a +(+2ab) (+8a) -(-6ab) Metodo: togliere le parentesi come indicato nello schema2 e poi procedere con lo schema3 SCHEMA 5: MOLTIPLICAZIONE TRA MONOMI Obiettivo dello schema5: trovare il monomio che risulta da un espressione come: -3a * (-2ab)* (+2b) Se i monomi da moltiplicare sono solo due, devo trovare 3 elementi: il segno del monomio risultante, il numero del monomio risultante e la parte letterale 1 ) il segno si trova con la seguente regola: + * + risulta + - * - risulta + - * + risulta - +*- risulta (nel caso di -3a*(-2ab) il segno risultante è +) 2) si moltiplicano i coefficienti dei monomi (solamente i numeri senza i segni!) (nel caso di -3a*(-2ab) il coefficiente risultante è 6) 3) si scrivono tutte le lettere sia quelle del primo monomio che quelle del secondo monomio, senza però l esponente (nel caso di -3a*(-2ab) le lettere sono ab). Poi per ogni lettera risultante si scrive come esponente il numero che risulta dalla somma degli esponenti (per quella lettera) dei due monomi. Quindi il risultato nel caso di -3a*(-2ab) sarà a 2 b ESEMPIO: (-2a 2 b) * (-3a 3 c 4 ) = + 6 a 5 bc 4 N.B. se ho più monomi da moltiplicare tra loro, prima moltiplico i primi due monomi e poi il risultato lo moltiplico per il terzo monomio. Se ci fosse un quarto monomio da moltiplicare moltiplicherei il risultato finale dei tre monomi per il quarto monomio ecc. SCHEMA 6: espressioni con somme algebriche e moltiplicazioni tra monomi Obiettivo dello schema 6: risolvere espressioni come: -3b +4*(-2ab) -5ac*3b Metodo: prima di eseguire una somma algebrica bisogna controllare se gli operatori hanno un segno * vicino a loro ed in questo caso bisogna eseguire prima la moltiplicazione e dopo le somme. In questo caso prima si risolverà 4*(-2ab) ed anche -5ac*3b, i due monomi risultanti verranno sommati algebricamente tra loro. SCHEMA 7 : divisione tra monomi Obiettivo dello schema 7: risolvere un espressione come: (-20 a 5 b 3 cd) : (-2abc) Metodo: 1) si scrive il segno con la regola dei segni (vedere 1) dello schema5 2) si esegue la divisione tra i coefficienti dei monomi ( 20:2=10) 3) si scrivono SOLO le lettere del primo monomio (abcd) e poi si sottraggono, per ogni lettera che risulta, gli esponenti del secondo monomio a quelli del primo monomio e
3 si scrivono sulla lettera del monomio risultante Quindi (-20 a 5 b 3 cd) : (-2abc) = + 10a 4 b 2 d Schema : massimo comune divisore tra monomi Obiettivo: trovare tra due monomi (o più) il monomio che ha grado massimo che divide contemporaneamente tutti i monomi dati SIGNIFICATO DI CIO CHE DEVO TROVARE: quando abbiamo due monomi, ad es. 2ab e 8ab noi possiamo trovare un monomio tale che sia possibile dividere sia 2ab che 8ab per questo monomio. Ad esempio 2a divide entrambi i monomi infatti: 2ab:2a = b ed anche 8ab:2a = 4b quindi possiamo dire che entrambi monomi sono divisibile per 2a Però 2a non è l unico divisore, infatti anche 2b è un divisore : 2ab:2b = a ed anche 8ab:2b = 4a Anche 2 è un divisore, infatti 2ab:2=ab e 8ab:2=4ab Anche 2ab è un divisore, infatti 2ab:2ab=1 e 8ab:2ab=4 Tra tutti i divisori possibili io devo trovare quello di grado massimo che è 2ab METODO DI RISOLUZIONE: Per trovare il monomio risultante il processo da eseguire è: 1)trovare la parte numerica (nel caso visto sopra è 2) 2) trovare la parte letterale (nel caso visto sopra è ab) Mostriamo il processo con l esempio seguente: 3x3y 12xy2z 9y3z2 1) Prima di tutto troviamo il MCD tra 3, 12, 9 3=3 ; 12=3*2*2 9=3*3 2) Troviamo ora l MDC della parte letterale: devo considerare solo le lettere che cis ono in comune tra i monomi, in questo caso solo la y e poi devo guardare in tutti i monomi per vedere qual è l esponente MINOMO che ha la y, ed è 1 quindi il MDC è y 3) Infine uniamo i risultati trovati (che sono 3 ed y) ed il MCD finale è 3y SCHEMA 8 MINIMO COMUNE MULTIPLO FRA MONOMI Obiettivo: Trovare il mcm di due o più monomi il monomio di grado minimo che è divisibile contemporaneamente di tutti i monomi dati. METODO DI RISOLUZIONE: Mostriamo il processo con l esempio seguente: 3x 3 y 12xy 2 z 9y3z 2 1) Trovare il m.c.m tra i numeri 3, 12 e 9 che è 2 2 *3 3 =36 2) Trovare il m.c.m. della parte letterale: devo prendere tutte le lettere che sono presenti nei tre monomi, cioè xyz e considero per ogni lettera (quindi per la x, per la y e per la z) scrivo l esponente massimo presente nei 3 monomi: quindi
4 3) Uniamo i risultati ed ottengo mcm=36x 3 y 3 z 2 I POLINOMI Abbiamo visto che un monomio è costituito da : segno, parte numerica, parte letterale (es. 2ab) e abbiamo visto la somma algebrica di vari monomi (es. 3a + 2ab 5b). La somma algebrica di questi monomi si chiama anche POLINOMIO (poli ce ne è più di 1). Nell esempio ci sono 3 monomi che costituiscono il polinomio: si dice che il polinomio è costituito da 3 termini (al posto di dire 3 monomi). Se abbiamo 4a + 5ab è sempre un polinomio, ma più specificatamente si chiama binomio (bi ce ne sono 2). Quindi: 2ab + 3b è un polinomio, più precisamente un binomio 2ab + 3b + 7abc è un polinomio, più precisamente un trinomio 2ab + 3b + 8abc + a è un polinomio, più precisamente un quadrinomio 1 Termine 2 Termine 3 Termine 4 Termine POLINOMIO RIDOTTO A FORMA NORMALE 3a + 8ab questo è un polinomio ridotto a forma normale perché non posso più effettuare somme algebriche. Es. 3b + 8b + 2a non è un polinomio ridotto a forma normale, dato che posso ancora fare una somma, infatti il risultato è 11b +2a (ho sommato i primi due monomi, cioè 3b e 8b) PRODOTTI NOTEVOLI Differenza di quadrati (A-B) (A + B) = A 2 - B 2 Quadrato di un binomio (A + B) 2 = A * A * B + B 2 es. ( x - 2xy ) 2 = (A - B) 2 = A 2-2 * A * B + B 2 Per applicare la formula dobbiamo sapere chi è A e chi è B: x è A, mentre 2xy è B. Nella formula quindi al posto di A dobbiamo mettere x, al posto di B dobbiamo mettere -2xy. che appartiene alla formula ( x - 2xy ) 2 = (x) 2-2 *( x )* ( 2xy ) + ( 2xy ) 2 N.B. Ho effettuato le sostituzione SENZA mettere il segno meno
5 Quadrato di un trinomio (A + B + C ) 2 = A 2 + B 2 + C 2 +2*A*B + 2* A*C + 2*B*C Es. (x -2y -4) 2 A = x B= - 2y C= - 4 n.b. in questo caso dentro A, B e C ho messo i segni meno che sono i segni dei monomi; il + è quello delle formule (x -2y -4) 2 = (x) 2 + (-2y) 2 + (-4) 2 + 2* (x) *(-2y) + 2* (x) * (-4) + 2* (-2y) * (-4)
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