Monomi e polinomi. MATEMATICAperTUTTI. Monomi 1 ESERCIZIO SVOLTO

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1 MATEMATICAperTUTTI Monomi ESERCIZIO SVOLTO I monomi. Un espressione letterale come a b si dice monomia perché in essa non compaiono operazioni di addizione o sottrazione; in un monomio le lettere che compaiono hanno tutte esponenti interi positivi e non ci sono operazioni di divisione per qualche lettera. ax 5y 4 b xy sono monomi a b 4x xy 6 5ab non sono monomi Il grado di un monomio intero si determina sommando i gradi delle sue lettere; ad esempio 4a x è di quinto grado bx y è di settimo grado Se due o più monomi hanno la stessa parte letterale, identica sia nelle lettere che negli esponenti, si dice che sono simili; ad esempio, sono simili i seguenti gruppi di monomi ax 5ax 8 ax ; 6b y 5 b y 5 b y 5 Stabilisci se i seguenti monomi sono interi o frazionari e determina il grado di quelli interi: a. 5xy 5 a x y 7 xy b. 8 a b y 5x a 9 ay c. x y 4 z 7 a b 4 c 4 5 a c 4 Determina fra i seguenti quali sono i monomi simili: a. b. a b 4 x y 4 5 b a 4 8 x y yx b 4a b 4 b 0 a b 4 8a 4 b

2 4 ESERCIZIO SVOLTO L addizione e la sottrazione fra monomi. Due monomi si possono sommare o sottrarre solo se sono simili; in questo caso basta sommare le parti numeriche e lasciare inalterata la parte letterale. a y þ a y ¼ð þ Þa y ¼ 5a y b x 8b x ¼ð 8Þb x ¼ 5b x a þ 5 a non si possono sommare perché non sono simili 5 Calcola il valore delle seguenti espressioni in cui compaiono solo addizioni e sottrazioni fra monomi: a. 5ax ax þðax axþ ax ðax þ ax 6axÞ ( b. x x x 4 x þ x x ) x c. a b a b a b þ 4 a b ða b a b d. 6xy þ 4 xy xy xy xy þ 4 xy þ 4xy e. 8 b y b y 4 b y 5 4 b y þ b y 6 ESERCIZIO SVOLTO Þ b y 5 4 b y La moltiplicazione e la divisione fra monomi. Due monomi si possono sempre moltiplicare o dividere; basta seguire questa semplice regola: n si determina innanzi tutto il segno del prodotto o del quoziente n si determina il coefficiente numerico moltiplicando o dividendo i coefficienti dei due monomi n si determina la parte letterale sommando gli esponenti delle lettere uguali nel caso della moltiplicazione, sottraendo gli esponenti delle lettere uguali nel caso della divisione. ðþ5x yþð xyþ ¼ 0x y a b 6 7 a x ¼þ 6 7 a6 b x ¼þ 7 a6 b x þ8x y z : xy ¼ 4x z 4 a b 4 : þ 9 8 a b ¼ ab ¼ ab

3 7 Esegui le seguenti moltiplicazioni e divisioni fra monomi: a. a x y þ 4 5 a y ; þ 8 x y z b. 5 a b 4 z c. 4 5 x y 0 a x 8 ESERCIZIO SVOLTO þ 5 xy4 : 0 a bz ; þ 6 a b x : ab x : þ 4 axy ; þ a b 6 7 a x : þ a5 b La potenza di monomi. Per elevare a potenza un monomio si eleva a potenza la parte numerica e si moltiplicano gli esponenti delle lettere per l esponente che indica la potenza. xy ¼þ 4 x y 4 þ 4 a b x ¼þ 7 64 a6 b 9 x 5 a4 b x 5 ¼ 5 7 a b 6 x 5 9 Esegui le seguenti potenze di monomi: a. þ a b ; 4 a b ; ð a 4 bx Þ 4 b. 6 b y ; þ 4 x y 4 ; a xy 5 0 Esegui le seguenti espressioni e determina il loro valore: 5 a. 8 a y a 6 a ay 7 ay 5 a þ a 7 4 a b. b4 y þ 4 b4 y : 4 by 8 by 5 : 6 by by " c. 5 x yz : þ 5 # " xy z xz # xz " d. x y 5 9 x y þ # 5 x y : x y þx y 9 xy ESERCIZIO SVOLTO M.C.D. e m.c.m. fra monomi. Il M.C.D. fra due o più monomi si calcola prendendo solo le lettere comuni a tutti i monomi, una volta sola, con l esponente più piccolo con cui compaiono; per quanto riguarda il coefficiente, si calcola il M.C.D. fra i coefficienti se questi sono interi, si assume come coefficiente se sono frazionari. l 6ab; 8a ; a x Il coefficiente è M:C:D: ð6, 8, Þ ¼, la sola lettera comune è a, quindi M:C:D: ¼ a.

4 l a x y; 4 a x y ; þ6x 4 y Il coefficiente è, le lettere comuni sono x e y, quindi M:C:D: ¼ x y. Il m.c.m. fra due o più monomi si calcola considerando tutte le lettere che compaiono nei vari monomi, con l esponente più grande con cui compaiono; per quanto riguarda il coefficiente, si calcola il m.c.m. fra i coefficienti se questi sono interi, si assume come coefficiente se sono frazionari. Ad esempio: l 6ab; 8a ; a x Il coefficiente è m:c:m: ð6, 8, Þ ¼4, quindi m:c:m: ¼ 4a bx. l a x y; 4 a x y ; þ6x 4 y Il coefficiente è, quindi m:c:m: ¼ a x 4 y. Calcola M.C.D. e m.c.m. fra i seguenti gruppi di monomi: a. ax ; ax; 6a y b. x y ; 4 x; 5 x y Polinomi ESERCIZIO SVOLTO Sappiamo che un polinomio è la somma algebrica di più monomi e se in esso sono stati sommati tutti i monomi simili, si dice che il polinomio è ridotto in forma normale. Ad esempio a b þ 4a b ha forma normale 6a b b x a x þ x þ a x ha forma normale x a x Il grado complessivo di un polinomio è il massimo dei gradi dei monomi che lo formano; i due polinomi precedenti hanno rispettivamente grado complessivo e 4. Un polinomio si dice poi omogeneo se tutti i suoi monomi sono dello stesso grado; ad esempio 5a a b þ ab 4b è un polinomio omogeneo di terzo grado. Tale polinomio è anche ordinato secondo le potenze decrescenti di a e crescenti di b ed è completo rispetto a ciascuna lettera perché sia di a che di b compaiono tutte le potenze da quella di grado 0 a quella di grado. 4 Individua le caratteristiche dei seguenti polinomi (grado, se sono ordinati, se sono completi rispetto a qualche lettera, se sono omogenei): a. b b þ b 7 b. a a b þ 4ab þ b c. 4ax þ x b x d. x y xy þ y 4 4

5 5 ESERCIZIO SVOLTO Se un espressione algebrica contiene solo addizioni o sottrazioni di polinomi, basta togliere le parentesi ricordando che un segno þ davanti ad una parentesi non cambia i segni dei monomi che contiene, mentre un segno li fa cambiare tutti; ad esempio: ða b þ þ a 4 ðb þ a Þ ¼ ¼ a b þ þ a 4 b a þ ¼ ¼ 5 a b 6 Calcola il valore delle seguenti espressioni: a. ða 4bÞþðaþbÞ b. þ 7x y 4x y c. x y þðxy Þ x xy 4 d. x þ 4 y þ x y e. 4b 4 a b þ 4 f. a b 4 ab þ 5 a4 g. x ax þ x ax x 7 ESERCIZIO SVOLTO ða 5b Þ 5 a4 4 ab a b ax x Per moltiplicare un polinomio per un monomio si moltiplica il monomio per ciascun termine del polinomio; ad esempio: x ðx þ yþ ¼x x þ x y ¼ x þ xy a 9 a a x þ ¼ a 9 a a a x a ¼ a þ a x a Per moltiplicare un polinomio per un polinomio si moltiplica ciascun termine del primo polinomio per ciascun termine del secondo polinomio, riducendo poi eventualmente i monomi simili; ad esempio: ða þ bþða bþ ¼a a þ a ð bþþb a þ b ð bþ ¼ ¼ a ab þ ab b ¼ a þ ab b Vediamo altri due esempi. 5

6 ða xþða x Þ¼ a ax 6ax þ x ða þ a Þða þ Þ ¼a þ a 6a þ a þ a ¼ a þ a 5a 8 Esegui i seguenti prodotti di polinomi: a. ðx þ Þð x þ Þ; ða xþða þ 5x Þ b. ðx aþða b þ 7Þ; ðx yþ x þ xy þ b c. ða b þ Þða b Þ; ð7 aþð þ 4a þ bþ d. ða b þ cþða þ b cþ; ða þ xþð a þ þ xþ e. aða bþða þ bþ; ð bþðb þ Þðb Þ 9 Calcola il valore delle seguenti espressioni: a. ða þ bþða bþþða bþða þ 4bÞ b. ða Þða þ 4Þ ða þ Þ a Þ a ða Þ c. ðx þ bþð x þ b þ Þ ðx þ bþð4x b þ Þ d. x ðx 4y Þþx x 4 y þ 0 ESERCIZIO SVOLTO Ricordiamo le regole relative ai prodotti notevoli: n ða þ bþ ¼ a þ ab þ b ðx þ yþ ¼ðxÞ þ x y þðyþ ¼ 4x þ xy þ 9y a b ¼ a þ a b þ b ¼ a ab þ 4 b n ða þ b þ cþ ¼ a þ b þ c þ ab þ ac þ bc ða þ b Þ ¼ a þ b þ 9 þ ab 6a 6b ðx x yþ ¼ 4x þ x 4 þ y 4x 4xy þ x y n ða þ bþða bþ ¼a b ðx bþðx þ bþ ¼4x b x 4 y x þ 4 y ¼ 4 x 9 6 y 4 ð 5 þ xþð 5 xþ ¼5 9x 6

7 n ða þ bþ ¼ a þ a b þ ab þ b ðx þ Þ ¼ x þ x þ x þ ¼ x þ 6x þ x þ 8 ða bþ ¼ðaÞ þ ðaþ ð bþþðaþð bþ þð bþ ¼ 8a a b þ 6ab b Sviluppa i seguenti quadrati di binomi: a. ðx þ yþ ; ða bþ ; ð a þ Þ b. b þ ; ðx 7yÞ ; y þ y c. ðx y Þ ; x a ; y b Sviluppa i seguenti quadrati di trinomi: a. ða b þ Þ ¼ 4a þ b þ þ ðaþð bþþðaþðþþð bþðþ ¼::::::::::: ða þ x Þ ¼ a þ 4x þ 9 þ ð:::þð:::þþ ð:::þð:::þþð:::þð:::þ ¼:::::::::: ; b. a x þ y x y þ z c. ðx a þ bþ ; a þ b þ y d. ða x þ yþ ; a þ x Sviluppa i seguenti prodotti del tipo ða þ bþða bþ: a. ðx Þðx þ Þ ¼ðxÞ ðþ ¼ ::::::::::::::::: b. ð a þ bþð a bþ ¼ð aþ ðbþ ¼ ::::::::: c. ðx Þðx þ Þ; ða Þ a þ Þ d. x y x þ y ; y þ y e. ð4b þ 5aÞð4b 5aÞ; ð þ a Þð a Þ 4 Sviluppa i seguenti cubi di binomi: a. ðx þ Þ ¼ x þ x þ x þ ¼ ::::::::::: b. ðx Þ ¼ðxÞ þ ðxþ ð Þþ ðxþð Þ þð Þ ¼ :::::::::: c. ðx þ yþ ; ða bþ d. þ x ; a y e. a ; ð a b Þ f. a þ b ; ax 7

8 5 ESERCIZIO SVOLTO Per eseguire la divisione di un polinomio per un monomio si divide ciascun termine del polinomio per il monomio dato; ad esempio: 4x y 6xy : xy ¼ 4x y : xy 6xy : xy ¼ x y 5a b 4a b þ a b : ð a b Þ ¼ 5a b : ð a b Þ 4a b : ð a b Þþ a b : ð a b Þ ¼ ¼ 5a þ 4 b 6 Esegui le seguenti divisioni: a. ð6a b þ b Þ : ðbþ; 5x z 5x z þ 0xzÞ : ð5xzþ b. a x 4 a x þ 6 a x : a x ; a b þ ab 4a b : ab c. x 4 y 8x y þ 6x y 4 4x y : x y d. 4 5 a b x ab x 4 þ 6 a bx 5 a bx : 0 abx 7 Calcola il valore delle seguenti espressioni: a. x a x þ a þ x þ a x a b. x y x y x þ y ðx þ y Þ þ 5 xy x y " c. a # a a 4 þ a þ 4 a ða Þða þ Þ d. ða þ bþ þða bþ a ða bþ ðb þ Þð7b aþ h i e. ða xþ þðx aþð9x þ ax þ a Þ : ð 9axÞþða þ 5xÞ 8 ESERCIZIO SVOLTO Sappiamo che il resto della divisione di un polinomio PðxÞ per un binomio del tipo ðx aþ è dato da PðaÞ, cioè dal valore del polinomio quando alla variabile x si sostituisce il valore a. l PðxÞ ¼x x þ 4x calcoliamo il resto della divisione per ðx Þ: R ¼ PðÞ ¼ þ 4 ¼ l PðxÞ ¼x 4 x þ x calcoliamo il resto della divisione per ðx þ Þ: R ¼ Pð Þ ¼ ð Þ 4 ð Þ þ ð Þ ¼ þ ¼ 0 8

9 Il resto della divisione ci dà indicazioni sulla divisibilità di PðxÞ per ðx aþ: n se PðaÞ ¼0 allora PðxÞ è divisibile per ðx aþ n se PðaÞ 6¼ 0 allora PðxÞ non è divisibile per ðx aþ Il polinomio PðxÞ del primo esempio non è divisibile per ðx Þ; il polinomio PðxÞ del secondo esempio è divisibile per ðx þ Þ. 9 Calcola il resto della divisione dei polinomi P assegnati per i binomi indicati accanto e stabilisci la loro divisibilità: a. PðxÞ ¼x x þ 5 ðx Þ, ðx Þ, ðx þ Þ b. PðaÞ ¼a a ða Þ, ða Þ, ða þ Þ c. PðxÞ ¼x 6x x þ ðx þ Þ, ðx Þ, ðx Þ d. PðyÞ ¼y 4 y 7 ðy þ Þ, ðy Þ, ðy þ 4Þ e. PðaÞ ¼ a þ a 4 ða þ Þ, ða þ 4Þ, ða 4Þ 0 ESERCIZIO SVOLTO Eseguiamo la divisione di un polinomio PðxÞ per il binomio ðx aþ mediante la regola di Ruffini. Calcoliamo quoziente e resto di ð4x 5x þ x Þ : ðx Þ. 4 5 termine a! 4 fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} 4 " coefficienti del polinomio quoziente coefficienti del polinomio dividendo riga dei prodotti resto della divisione Per costruire la tabella ricorda che si sommano i numeri sulla stessa verticale e si moltiplicano man mano i numeri dell ultima riga per il termine a. Il polinomio quoziente è di secondo grado e si ha che QðxÞ ¼4x x þ e R ¼. Calcola quoziente e resto delle seguenti divisioni applicando la regola di Ruffini: a. ðy y Þ : ðy Þ manca il termine di secondo grado, il suo coefficiente è 0 QðyÞ ¼:::::::::: R ¼ :::::::::: b. ðx 4 x þ Þ : ðx þ Þ 0 0 mancano il termine di terzo e di primo grado QðxÞ ¼:::::::::: R ¼ :::::::::: 9

10 c. ðx 5x þ 4x Þ : ðx Þ d. ðx 4 x þ 5x 4Þ : ðx þ Þ e. ðx x þ Þ : ðx Þ f. ðx 4 x þ 5x þ Þ : ðx þ Þ g. ðx þ x 9Þ : ðx þ Þ h. ðx þ 5x 5x þ Þ : ðx Þ Risultati di alcuni esercizi. 5. a. 7 ax; b. 4 x ; c. 4 a b; d. xy ; e. 8 b y. 7. a. 5 a5 x y ; 0 x y 6 z ; b. 6b z; a; c. ax y; 6x. 9. a. 4 a6 b 4 ; 64 a6 b ;6a 6 b 4 x 8 ; b. 6 b6 y 9 ; 6 8 x y 6 ; a 0 x 5 y a. a y; b. 8 b y; c. x6 z 6 ; d. 4 y.. a. M:C:D: ¼ a, m:c:m: ¼ 6a x y; b. M:C:D: ¼ x, m:c:m: ¼ x y. 6. a. a þ 5b; b. x y; c. 5xy y þ ; d. 5 6 x 4 y ; e. 0b 5 4 a 4 ; f. a4 þ a b þ ab ; g. x ax. 9. a. 8a þ ab 5b ; b. a 4 þ a 0; c. 0x 6bx þ x þ 7b ; d. 5x þ x y þ 5 x. 4. a. x þ 9x þ 7x þ 7; b. 8x x þ 6x ; c. x þ 6x y þ xy þ 8y ; a 6a b þ ab 8b ; d. x þ x þ 4 x þ 8 ;7a 9a y þ ay 7 y ; e. 7 a6 a4 þ 4a 8; 8a a b 6ab 4 b 6 ; f. 7 8 a6 þ 7 4 a4 b þ 9 a b þ b ; 7 ax a x a x. 6. a. a þ b; 5x x þ 4; b. ax þ x ;a b þ 8ab ; c. 6x þ 4y 8xy þ xy; d. 8 ab 5 bx þ 5 9 a 4 ax 7. a. x þ 5ax 4a ; b. x 6 y ; c. 4 a4 ; d. 0ab þ a 7b; e. 7x þ a. 9. a. PðÞ ¼; PðÞ ¼6; Pð Þ ¼0; b. PðÞ ¼0 divisibile; PðÞ ¼; Pð Þ ¼; c. Pð Þ ¼ 44; PðÞ ¼0 divisibile; PðÞ ¼ ; d. Pð Þ ¼0 divisibile; PðÞ ¼ 60; Pð 4Þ ¼68; e. Pð Þ ¼ 54; Pð 4Þ ¼ 8; Pð4Þ ¼0 divisibile.. a. QðyÞ ¼y þ y þ ; R ¼ 0; b. QðxÞ ¼x x x þ ; R ¼ ; c. QðxÞ ¼x x ; R ¼ 5; d. QðxÞ ¼x x x þ 6; R ¼ 0; e. QðxÞ ¼x þ x ; R ¼ 0; f. QðxÞ ¼x x þ x þ ; R ¼ 6; g. QðxÞ ¼x x þ ; R ¼ 8; h. QðxÞ ¼x þ x þ 7; R ¼ 6. 0