Gli insiemi N e Z. MATEMATICAperTUTTI. L insieme N 1 ESERCIZIO GUIDATO

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1 MATEMATICAperTUTTI L insieme N 1 ESERCIZIO GUIDATO L insieme N. Sappiamo che i numeri naturali sono 0, 1, 2, 3, 4... Dato un qualunque numero naturale tranne lo zero, esiste sempre un numero naturale che lo precede (detto precedente) ed un numero naturale che lo segue (detto successivo). Ad esempio dato il numero 23, il suo precedente è 22 e il suo successivo è 24. Il numero 0 è l elemento minimo dell insieme dei numeri naturali e non esiste elemento massimo. Sappiamo, inoltre, che due numeri naturali come 10 ed 11 si dicono consecutivi e che dati due numeri naturali qualsiasi come, per esempio, 5 e 15, si dice che 5 è minore di 15 o anche che 15 è maggiore di 5. Tenendo presente quanto ricordato, completa le seguenti frasi: a. dato il numero 46, il suo precedente è... b. il numero 0 è l elemento... dell insieme c. i numeri 72 e 73 si dicono... d. il numero 10 è... di 8. 2 ESERCIZIO SOLTO Le proprietà delle operazioni. Abbiamo visto che le operazioni si possono eseguire spesso in modi diversi; ad esempio: l calcolare 3 þ 5èla stessa cosa che calcolare 5 þ 3, mentre non è la stessa cosa calcolare 8 2e 2 8 l per calcolare 14 þ 27 þ 3 si può eseguire prima 27 þ 3 e poi sommare 14 al risultato ottenuto, si esegue cioè 14 þð27 þ 3Þ l per calcolare 5 ð2 þ 5 4Þ si può anche calcolare 5 2 þ Le operazioni di addizione e moltiplicazione godono delle seguenti proprietà: n proprietà commutativa: 5 þ 6 ¼ 6 þ ¼ 7 3 n proprietà associativa: ð2 þ 6Þþ4 ¼ 2 þð6þ4þ ð4 5Þ8 ¼ 4 ð58þ Le operazioni di moltiplicazione e divisione godono della seguente proprietà: n proprietà distributiva rispetto all addizione (o sottrazione): ð30 þ 10Þ : 5 ¼ 30 : 5 þ 10 : 5 ð6 3Þ12 ¼

2 3 Stabilisci se le seguenti uguaglianze sono vere e in tal caso quali proprietà sono state applicate: a. 7 þ 5 ¼ 5 þ 7 b. ð3 þ 2Þþ1 ¼ 3 þð2þ1þ c. 5 þ 3 4 ¼ 3 þ 5 4 d. 15 : 3 ¼ 3 : 15 e. 4 þð38 : 6Þ ¼ð4þ3Þð4þ8Þ : ð4 þ 6Þ f. 12 ð5 9þ7Þ ¼ þ ESERCIZIO SOLTO L elemento neutro. Quando si eseguono delle operazioni, può capitare che esistano degli elementi che non hanno influenza sul risultato dell operazione stessa. Ad esempio: 3 þ 0 ¼ 0 þ 3 ¼ ¼ 1 6 ¼ 6 Si dice allora che quell elemento è l elemento neutro dell operazione. L elemento neutro dell addizione è lo zero, l elemento neutro della moltiplicazione è l unità. 5 ESERCIZIO SOLTO La sottrazione e la divisione non sono commutative e non sono associative; per queste operazioni vale però la proprietà invariantiva; ad esempio: l ¼ð25 4Þ ð14 4Þ ¼21 10 ¼ 11 l ¼ð32 þ 2Þ ð18 þ 2Þ ¼34 20 ¼ 14 l 342 : 18 ¼ð342 : 2Þ : ð18 : 2Þ ¼171 : 9 ¼ 19 l 125 : 25 ¼ð125 2Þ : ð25 2Þ ¼250 : 50 ¼ 5 6 Stabilisci se le seguenti uguaglianze sono vere o sono false: a. 20 : 4 ¼ 4 : 20 b. ð36 : 6Þ : 3 ¼ 36 : ð6 : 3Þ c. 120 : 20 ¼ð120 : 10Þ : ð20 : 10Þ d. 35 : 5 ¼ð35 2Þ : ð5 2Þ L insieme Z 7 ESERCIZIO GUIDATO L insieme Z. Sappiamo che numeri come þ5 e 8 sono discordi, mentre due numeri come 3 e 9 oppure þ2 eþ14 sono concordi; inoltre numeri come 7 eþ7 si dicono opposti. La scrittura jþ5j indica il modulo del numero þ5 e sappiamo che il modulo di un numero è il numero stesso considerato senza segno. Tenendo presente quanto ricordato, completa i seguenti esercizi: a. 3 e 7 sono... b. þ8 èl opposto di... c. j 12j ¼... d. þ10 e 25 sono... 2

3 8 ESERCIZIO GUIDATO Le operazioni in Z. Calcola il risultato delle seguenti operazioni: ðþ2þþðþ3þ ¼þ2 þ 3 ¼þ5 se due numeri sono concordi si sommano i valori assoluti ed il segno rimane lo stesso. ð 2Þþð 4Þ ¼ 2 4 ¼ :::::::::: ð 7Þþðþ2Þ ¼ 7 þ 2 ¼ 5 se due numeri sono discordi si calcola la differenza fra i valori assoluti e ad essa si attribuisce il segno del numero che ha il valore assoluto maggiore. ðþ4þþð 5Þ ¼þ4 5 ¼ :::::::::: ðþ7þ ðþ8þ ¼þ7 8 ¼ :::::::::: ð 12Þ ð 24Þ ¼ 12 þ 24 ¼ :::::::::: ð 8Þ ð 4Þ ¼:::::::::::: ð 3Þðþ2Þ ¼ 6 il prodotto di due numeri discordi è negativo ð 4Þð 8Þ ¼þ32 il prodotto di due numeri concordi è positivo ð 1Þð 1Þ ¼:::::::::::::: ð 8Þðþ4Þ ¼:::::::::::::: ðþ5þðþ6þ ¼:::::::::::::: ðþ7þð 12Þ ¼:::::::::::: 9 ESERCIZIO GUIDATO Calcola il valore delle seguenti espressioni: a. ðþ2 1Þþ½ 3ðþ2 7Þþ4Š ð 3þ1Þ ¼ esegui i calcoli nelle parentesi tonde ¼þ1þ½ 3ð 5Þþ4Š ð 2Þ ¼ esegui il calcolo nella parentesi quadrata ¼ 1 þ :::::::::: þ 2 ¼ ::::::::: b. f ð3 þ 4Þ ½2þ7 ð8 9ÞŠg ½4 ð3þ5þš c. ½2 ð 3Þð 6ÞŠ f4 ½ 3þ7ðþ5 4 1ÞŠg 10 ESERCIZIO SOLTO Le potenze. Sappiamo che la scrittura 2 4 è un modo abbreviato di scrivere il prodotto ; in generale, qualunque sia il numero a (naturale, intero), si ha che: n a n ¼ a fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} a :::::::::: a n volte 8n intero maggiore di 1 Ad esempio: 3 2 ¼ 3 3 ¼ 9 ð 2Þ 3 ¼ð 2Þð 2Þð 2Þ ¼ 8 3

4 Si pone poi n a 0 ¼ 1 se a 6¼ 0 n a 1 ¼ a Non si attribuisce invece alcun significato alla scrittura Completa, se è possibile, le seguenti uguaglianze in modo che risultino vere. a. 3 ::::: ¼ 81 b. 5 ::::: ¼ 1 c. 7 ::::: ¼ 14 d. ::::: 4 ¼ 1 e. 2 ::::: ¼ 4 f. ð 3Þ :::::: ¼ 1 g. ð 5Þ :::: ¼þ25 h. ð 2Þ ::::: ¼ ESERCIZIO SOLTO Le proprietà delle potenze. Ricordiamo che, indicato con a un qualunque numero (naturale, intero) e con n e m due numeri naturali (senza che si presenti la situazione in cui a ¼ 0en ¼ 0 oppure m ¼ 0), si ha che n a n a m ¼ a nþm n a n : a m ¼ a n m n ða n Þ m ¼ a nm prodotto di potenze con la stessa base, si sommano gli esponenti quoziente di potenze con la stessa base, si sottraggono gli esponenti potenza di potenza, si moltiplicano gli esponenti Inoltre, se b è un secondo numero sul quale facciamo le stesse ipotesi fatte su a : n a n b n ¼ðabÞ n n a n : b n ¼ða : bþ n Ad esempio: ¼ 4 3þ2 ¼ : 7 3 ¼ ¼ 7 2 ð3 2 Þ 3 ¼ 3 23 ¼ ¼ð3 4Þ 2 ¼ : 4 2 ¼ð8 : 4Þ 2 ¼ 2 2 Attenzione agli errori: a n b n 6¼ða bþ n ; ad esempio 3 2 þ 5 2 6¼ð3 þ 5Þ Calcola, applicando le proprietà delle potenze: a b. 3 4 : 3 3 c. ð Þ : 3 d. ð5 2 Þ 3 : ð5 2 Þ 2 e. ð Þ : 15 f : 6 4 g. ð Þ : 3 5 h : Stabilisci se le seguenti uguaglianze sono vere o sono false correggendo quelle errate: a. 2 3 þ 4 3 ¼ 6 3 b. 2 4 þ 2 5 ¼ 2 9 c : 2 5 ¼ 8 5 d. ð5 3 Þ 2 : 5 6 ¼ 0 4

5 e. ð2 3 Þ 2 ¼ 2 9 f ¼ 8 3 g. 3 6 : 3 3 ¼ 3 6:3 ¼ 3 2 h ¼ 2 2 i ¼ 3 42 ¼ 3 8 l ¼ Calcola i valori delle seguenti espressioni applicando le proprietà delle potenze dovunque è possibile: a. ð 2Þ 5 ð 2Þ 3 : ð 2Þ 4 ; ðþ4þ 4 : ðþ4þ 3 ðþ4þ 6 h i 2 b. ðþ18þ 2 : ð 2Þ 2 ð 9Þ 2 h i 0 h i 5 c. ð 6Þ 2 ð 6Þ 4 : ð 6Þ 12 h i 2 5 h i 0 4 d. ð 3Þ 2 : ð 3Þ 3 h i h i 2 h i 2 e. ð 5Þ 3 ð 5Þ 0 5 ð 5Þ 4 : ð 5 Þ 4 Risultati di alcuni esercizi. 3. a. commutativa; b. associativa; c. commutativa; d. ; e. ; f. distributiva. 6. a. ; b. ; c. ; d.. 9. a. þ22; b. þ68; c a. 3 4 ; b. 5 0 ; c. impossibile; d. 1 4 ; e. impossibile; f. ð 3Þ 0 ; g. ð 5Þ 2 ; h. ð 2Þ a ; b. 3; c. 3 8 ; d. 5 2 ; e. 15; f. 5 4 ; g. 3 5 ; h a. ; b. ; c. ; d. ; e. ; f. ; g. ; h. ; i. ; l a. 16, 4 7 ; b. 9 6 ; c. ð 6Þ 8 ; d. ð 3Þ 20 ; e. ð 5Þ 8. 5