I NUMERI NATURALI E RELATIVI

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1 Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca ISTITUTO DI ISTRUZIONE SUPERIORE B. PASCAL PRE - CORSO DI MATEMATICA I NUMERI NATURALI E RELATIVI DOCENTI: PROF.SSA DAMIANI PROF.SSA DE FEO PROF. MENGHINI PROF.SSA MORBINI PROF.SSA PARLATO 1

2 I NUMERI NATURALI N N PROPRIETÀ di N N è infinito Ogni numero naturale ha un successivo Ogni numero naturale, escluso lo 0, ha un precedente 0 è l elemento minimo di N N non ha l elemento massimo PROPRIETÀ delle operazioni in N Operazione Termini Risultato Proprietà Commutativa Addizione a,b addendi Somma Associativa Elemento neutro Sottrazione a minuendo b sottraendo Differenza Invariantiva Commutativa Associativa Moltiplicazione a, b fattori Prodotto Distributiva Elemento neutro Elemento annullatore Legge dell annullamento del prodotto Invariantiva Divisione esatta a dividendo b divisore quoto Distributiva NOTA BENE: NON È POSSIBILE DIVIDERE PER 0. Le scritture 2

3 L OPERAZIONE DELL ELEVAMENTO A POTENZA Elevare a potenza significa moltiplicare il numero a tante volte quante indicate dall esponente: OSSERVAZIONE: PROPRIETÀ delle POTENZE 1. Prodotto fra potenze con la stessa base: 2. Quoziente fra potenze con la stessa base: 3. Prodotto fra potenze con lo stesso esponente: 4. Quoziente fra potenze con lo stesso esponente: 5. Potenza di potenza: 6. Proprietà distributiva dell elevamento a potenza: 3

4 PROVA TU! 4

5 Se desideri rinforzare la tua capacità di calcolo, questa scheda è proprio ciò che ti serve! BUON LAVORO! 5

6 MULTIPLI E DIVISORI Un numero n è divisibile per un numero m quando la divisione di n per m ha resto 0. Si dice che m è divisore, o sottomultiplo, di n se n è multiplo di m. Si dice numero primo un numero divisibile solo per se stesso o per 1. Si dice numero composto un numero che non è primo. SCOMPOSIZIONE DI UN NUMERO COMPOSTO Scomporre un numero significa scrivere tale numero come il PRODOTTO di fattori che sono POTENZE di numeri PRIMI. Per scomporre un numero è necessario dividerlo per il suo più piccolo divisore diverso da 1, si divide poi il quoto ottenuto per il suo più piccolo divisore di verso da 1, e così via fino ad ottenere il quoto uguale a 1: proviamo a scomporre il numero 378: quindi scriveremo Ricorda di ripassare i criteri di divisibilità di un numero!!! Due numeri si dicono PRIMI fra loro quando NON hanno divisori in comune all infuori dell unità 1. Si dice MASSIMO COMUNE DIVISORE fra due o più numeri (MCD) il maggiore fra i divisori comuni. Per determinare il MCD è necessario: 1. Scomporre i numeri in fattori primi; 2. Scrivere quindi il prodotto fra i fattori comuni presi una sola volta con il MINOR esponente. Vediamo un esempio. Determinare MCD (36,90): i fattori comuni sono solo il 2 ed il 3; il minor esponente per 2 è 1 e per 3 è 2, pertanto: 6

7 Si dice MINIMO COMUNE MULTIPLO fra due o più numeri (mcm) il minore fra i multipli comuni. Per determinare il mcm è necessario: 1. Scomporre i numeri in fattori primi; 2. Scrivere quindi il prodotto fra i fattori comuni e non comuni presi una sola volta con il MASSIMO esponente. Vediamo un esempio. Determinare mcm (36,90): Consideriamo TUTTI i fattori ; il maggior esponente per 2 è 2 e per 3 è 2, pertanto: PROVA TU! 7

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9 I NUMERI INTERI RELATIVI insieme interi positivi insieme interi negativi I numeri relativi preceduti dal segno + sono detti NUMERI POSITIVI I numeri relativi preceduti dal segno sono detti NUMERI NEGATIVI Ogni numero relativo si compone di un segno e di un numero, che prende il nome di modulo o valore assoluto: Segno - Segno Modulo 2 Modulo 5 Per indicare il modulo di un numero relativo si scrive: Due numeri relativi si dicono: CONCORDI: se hanno lo stesso segno; DISCORDI: se hanno segno diverso; OPPOSTI: se hanno stesso modulo e segno opposto; UGUALI: se hanno stesso modulo e stesso segno. Come si rappresentano sulla linea dei numeri? 9

10 Operazioni in ADDIZIONE operazione interna a La somma di due numeri CONCORDI ha come modulo la somma dei moduli e come segno lo stesso segno: La somma di due numeri DISCORDI ha come modulo la differenza fra i moduli e come segno il segno del numero con modulo maggiore: SOTTRAZIONE operazione interna a La differenza fra due numeri relativi è la somma fra il primo e l opposto del secondo: Si dice SOMMA ALGEBRICA differenze fra numeri relativi. fra numeri relativi un insieme di somme e di Regola per togliere la parentesi: se una parentesi è preceduta dal segno + allora si toglie la parentesi e si riscrivono tutti i termini con il medesimo segno; se una parentesi è preceduta dal segno - allora si toglie la parentesi e si riscrivono tutti i termini con il segno opposto. Vediamo alcuni esempi: 10

11 PROVA TU! MOLTIPLICAZIONE operazione interna a Il prodotto fra due numeri relativi è il numero che ha: per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti dei due numeri, per segno il segno + se sono concordi, il segno se sono discordi: 11

12 PROVA TU! 12

13 DIVISIONE operazione NON interna a Il quoziente di due numeri relativi è quel numero che ha: per valore assoluto il quoziente dei valori assoluti per segno il segno + se sono concordi, il segno se sono discordi: PROVA TU! 13

14 POTENZA La potenza di un numero intero relativo con esponente INTERO POSITIVO si ottiene elevando a potenza il modulo del numero e per determinare il segno : Se l esponente è 0 allora la potenza varrà sempre 1; se il numero è positivo la potenza avrà sempre segno + : se il numero è negativo allora : o se l esponente è PARI allora la potenza avrà segno + : o se l esponente è DISPARI allora la potenza avrà segno - : Per la potenza dei numeri relativi valgono tutte le proprietà dei delle potenze già imparate per l insieme N. 14

15 Ora che abbiamo trattato tutte le operazioni in Z risolviamo i seguenti esercizi conclusivi: 15

16 GLI INSIEMI NUMERICI Finora abbiamo parlato di insiemi numerici N e Z, ma cos è un insieme? Il termine insieme indica un gruppo, una raccolta di oggetti ( persone, animale, cose, numeri, punti) che si dicono ELEMENTI dell insieme. Gli insiemi si indicano con una lettera stampata maiuscola: N, Z. Gli elementi si indicano con una lettere minuscola: a,b,x,t.. Per indicare se un elemento fa parte di un insieme si utilizza il simbolo di appartenenza o di non appartenenza: : l elemento a appartiene all insieme A : l elemento a non appartiene all insieme A Un insieme può essere FINITO, se composto da un numero finito di elementi, INFINITO, se composto da un numero infinito di elementi ( gli insiemi numerici N e Z). Un insieme si dice VUOTO se non ha alcun elemento; si indica con il simbolo. Due insiemi sono UGUALI se costituiti dagli stessi elementi. RAPPRESENTAZIONE Un insieme si può rappresentare in tre modi: 1. GRAFICAMENTE: mediante un diagramma di Venn; rappresentiamo l insieme A delle vocali: ogni elemento è un punto all interno del diagramma.a.e.i.o.u A 2. PER ELENCAZIONE: elencando tutti gli elementi, senza ripetizioni: 3. PER CARATTERISTICA: enunciando la proprietà che li accomuna, 16

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19 Due operazioni molto importanti con gli insiemi sono: 1. intersezione si dice intersezione di due insiemi A e B l insieme costituito dagli elementi comuni ad A e B, ovvero. Con i diagrammi di Venn si rappresenta nel seguente modo: A B Se due insiemi non hanno elementi in comune, la loro intersezione sarà vuota: i due insiemi di dicono DISGIUNTI. 2. unione Si dice unione di due insiemi A e B l insieme costituito da tutti gli elementi di A e di B, ovvero. Con i diagrammi di Venn si rappresenta nel seguente modo: A B Ora prova tu a svolgere degli esercizi per verificare quanto hai appreso sugli insiemi! 19

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