Ampliamento di N: le frazioni

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1 L insieme dei numeri Razionali ITIS Feltrinelli anno scolastico R. Folgieri Ampliamento di N: le frazioni Nell insieme N non possiamo fare operazioni quali 13:5 perché il risultato non è un numero Naturale (la divisione non è un operazione interna ad N). Dobbiamo introdurre dei nuovi numeri, le frazioni, ampliando l insieme dei numeri naturali. Le frazioni rappresentano anche le divisioni che non possiamo fare, e si indicano in generale (ponendo a e b al posto di numeri) con a con l avvertenza che b deve essere diverso da zero. b Il numero a si dice numeratore; il numero b si dice denominatore. Vi sono: frazioni proprie: denominatore < numeratore es. 3/7 frazioni improprie: numeratore > denominatore es. 5/3 frazioni apparenti: numeratore multiplo del denominatore es. 10/2, 5/5 Due frazioni a/b e c/d si dicono equivalenti se a d=b c R. Folgieri

2 L insieme dei numeri Razionali Ogni insieme costituito da una frazione e da tutte quelle che le sono equivalenti (es. 2/3, 4/6, ecc..) si dice classe di equivalenza. Ogni classe di equivalenza si dice numero razionale assoluto e si indica con una delle frazioni dell insieme. L insieme dei numeri razionali (per il momento consideriamo quelli assoluti, cioè quelli positivi) si indica con Q. Per le frazioni vale la proprietà invariantiva: se si moltiplicano o si dividono il numeratore o il denominatore di una frazione per uno stesso numero (diverso da 0), si ottiene una frazione equivalente. In base alla proprietà invariantiva, se il denominatore e il numeratore di una frazione possono essere divise per uno sesso numero, la frazione può essere semplificata. Così 12/6 diventa 6/3 Ridurre ai minimi termini una frazione significa semplificarla il più possibile. R. Folgieri M.C.D. e m.c.m. Ricordiamo due concetti importanti nelle operazioni di semplificazione e di riduzione ai minimi termini di una frazione. Il M.C.D. (Massimo Comun Divisore) tra più numeri si calcola prendendo i fattori comuni ai numeri, presi con l esponente maggiore. Es. M.C.D. tra 6, 4 e 12, è 2, cioè quel numero per cui tutti sono divisibili. Nel nostro caso ci serve per ridurre ai minimi termini una frazione. Es. presa la frazione 6/9 il M.C.D. tra 6 e 9 è il numero 3, per cui la frazione può essere ridotta al massimo a 2/3 Il m.c.m. (minimo comun multiplo) tra più numeri, si calcola prendendo i fattori comuni e non comuni tra i numeri, presi con il maggior esponente. Es. m.c.m. tra 2, 4, 12 è 12, cioè Nel nostro caso ci p utile per effettuare la somma e la sottrazione tra due frazioni. Es. 1/2 + 1/6 Si calcola il m.c.m. che è 6. Lo si divide per il denominatore della prima frazione e si moltiplica il valore ottenuto per il primo numeratore. Poi si divide il m.c.m. per il secondo denominatore e si moltiplica il valore ottenuto per il secondo numeratore. A questo punto si sommano i due valori: = R. Folgieri

3 Moltiplicazione e divisione Il prodotto di due frazioni si effettua moltiplicando tra loro i due numeratori e tra loro i due denominatori. Es. 2 3 = Prima di effettuare la moltiplicazione si deve verificare se è possibile effettuare semplificazioni. Nel caso della moltiplicazione la semplificazione si effettua secondo le diagonali. Es = 4 = Due frazioni si dicono inverse se il loro prodotto è uguale a 1. Es = Ne consegue che l inversa di una frazione è la stessa frazione capovolta Es. 2 è l inversa di La divisione si effettua moltiplicando la prima frazione per l inversa della seconda. Poi si svolge la moltiplicazione come illustrato sopra. Es 4 : 2 = = 4 = R. Folgieri Elevamento a potenza L elevamento a potenza si ottiene elevando a potenza sia il denominatore, sia il numeratore. n n a a n b b Es Anche per le frazioni si conviene che: a b 0 = 1 1 a b a b R. Folgieri

4 Frazioni e numeri decimali In una frazione apparente, dividendo il numeratore per il denominatore si ottiene un numero naturale. Negli altri casi, si ottengono numeri decimali. I vari casi sono riassunti nella tabella. Frazioni decimali che contiene solo i fattori 2 e 5 che non contiene né il fattore 2 né il fattore 5 che contiene i fattori 2 o 5 insieme ad altri fattori Numeri decimali finiti Es. 2/10 che diventa 0,2 Numeri decimali periodici semplici Es. 2/3 che diventa 0,6666 Cioè 0,6 Numeri decimali periodici misti Es. 5/6 che diventa 0,8333 Quindi 0,83 (si dice antiperiodo 8, periodo 3) R. Folgieri Da numero decimale a frazione Nel caso di un numero decimale finito, la frazione generatrice è la frazione decimale che ha per numeratore il numero scritto senza la virgola e per denominatore il numero 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali. Es. 6,75 = 675/100 Quando abbiamo un numero decimale periodico (semplice o misto), si procede così: -Al numeratore si scrive la differenza fra il numero senza la virgola e il numero formato da tutte le cifre che precedono il periodo - Al denominatore si scrive il numero formato da tanti 9 quante sono le cifre del periodo e da tanti 0 quante sono le cifre dell antiperiodo (sempre se esiste) Es. 0,817 = (817 81)/900 = 736/900 0,43 = 43/99 R. Folgieri

5 Valore approssimato di un numero decimale Ai decimi Ai centesimi Ai millesimi. Per eccesso 36,9762 diventa 36,98 R. Folgieri