5 + 8 = 13 5,2 + 8,4 = 13,6

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1 concetto di addizione i termini dell addizione sono gli addendi il risultato è la somma addendo addendo = 13 somma 5,2 + 8,4 = 13,6 proprietà commutativa se cambio l ordine degli addendi il risultato non cambia proprietà associativa la somma non cambia se a due o più addendi sostituisco la loro somma proprietà dissociativa la somma non cambia se a uno o più addendi sostituisco altri due addendi la cui somma dà l addendo stesso.

2 concetto di sottrazione il primo termine della sottrazione è il minuendo e il secondo è il sottraendo il risultato è la differenza o resto minuendo sottraendo 13-5 = 8 differenza o resto proprietà invariantiva se ai termini della sottrazione aggiungo o tolgo la stessa cifra il resto o differenza non cambia = 8 (13 + 4) (5 + 4) = = = 8 (13-3) (5-3) = = 8

3 divisori un numero è divisore di un altro se dà resto 0 15 : 5 = 3 15 è divisibile con il 3 5 è divisore del 15 per stabilire quali sono i divisori si prende il numero dato e lo si divide per tutti i numeri naturali discendenti, partendo dal numero dato, non deve esserci resto D 10 = 10:10=1 10:9=1 r 1 10:8=1 r 2, 10:7=1 r 3 10:6=1 r 4 10:5=2 10:4=2 r 2 10:3=3 r 1 10:2=5 10:1=10 D 10 = 1, 2, 5, 10 I numeri che come divisori hanno il numero 1 e se stessi si chiamano numeri primi D 7 = 7:7 = 1 7:1 = 7

4 elevazione a potenza o POTENZA elevare un numero a potenza (o fare la potenza di un numero) significa moltiplicare quel numero per se stesso tante volte quanto indica il numerino posto in alto a destra 6 3 si legge 6 alla terza significa che dobbiamo moltiplicare il numero 6 per se stesso tre volte così 6x6x6 esponente base 6 3 = 6 x 6 x 6 = 216 risultato esistono casi particolari: qualsiasi numero con esponente 1 ha come potenza (risultato) il numero stesso 8 1 = = = 2 una potenza con base 1 è uguale a = 1 una potenza con base 0 è uguale a = 0 una potenza con base 0 ed esponente 0 non ha significato 0 0 una potenza con base diversa da 0 con esponente 0 è = = 1 mentre 0 0 = 0

5 equazione ad 1 incognita quando in un equazione nel primo membro c è una sola incognita X e nel secondo membro c è un solo termine noto l equazione si dice ridotta in forma normale 8x = 16 8 è il coefficiente dell incognita 16 è il termine noto per risolvere un equazione ridotta in forma normale devi applicare i principi di equivalenza quindi dividere entrambi i membri per il coefficiente dell incognita 1 1 8x = semplificando l operazione puoi dividere direttamente il termine noto per il coefficiente dell incognita 16 : 8 x = x = 2

6 casi particolari un equazione ridotta in forma normale presenta i seguenti casi si dice determinata se il coefficiente dell incognita è diverso da 0 4x = 10 si dice indeterminata se il coefficiente dell incognita e il termine noto sono uguali è 0 0x = 0 si dice impossibile se il coefficiente dell incognita è 0 0x = 10

7 equazioni incognita sono tutte le lettere presenti simbolo di uguaglianza termine noto se non contiene l incognita termini o coefficienti 8x 3 + 5x 2 = 4x membro 2 membro si dice a 1, a 2, a 3 incognite a secondo di quante lettere ci sono nell equazione risolvere un equazione si dice soluzione o radice dell equazione un equazione è a termini interi se ci sono solo numeri interi un equazione è a termini frazionari se ci sono numeri interi, ma anche frazioni

8 si dice identità fra due espressioni quando, qualsiasi valore tu dai alla lettera X o Y o Z, le due espressioni risultano sempre uguali Y = 4 2y + y = 3y 2x4 +4 = 3x4 12=12 si dice uguaglianza fra due espressioni solo quando, dando un determinato valore alla lettera, X, o Y, o Z avrai due espressioni uguali y=3 2y + y = 21 2x3 +3 = 21 9 = 21 queste due espressioni non sono uguali quindi NON sono uguaglianze y=7 2y + y = 21 2x7 +7 = = 21 queste due espressioni sono uguali quindi sono uguaglianze

9 queste equazioni sono fra loro equivalenti perché la soluzione dell incognita è la stessa per entrambe cioè y = 3 y + 4y = 15 2y + 1 = y + 4 trasformo la y col numero 3 y = x3 = 15 2x3 + 1 = = 15 7 = 7 per risolvere le equazioni devi scriverle in forme più semplici seguendo delle regole dette principi di equivalenza 1 principio di equivalenza aggiungendo o sottraendo ad entrambi i membri uno stesso numero o una stessa espressione algebrica letterale otteniamo un equazione uguale a quella di partenza legge del trasporto ogni termine dell equazione può essere trasportato da un membro all altro purchè cambi il segno x -2 = 18 x =

10 N.B. i termini con l incognita devono stare a sinistra dell = e i termini noti a destra soppressione di termini uguali se nel 1 e nel 2 membro ci sono due termini uguali li puoi sopprimere (cancellare) 3x 20 = x principio di equivalenza moltiplicando o dividendo entrambi i membri con uno stesso numero o una stessa espressione algebrica letterale otteniamo un equazione uguale a quella di partenza cambiamento dei segni se cambi il segno a tutti i termini dell equazione ne ottieni un altra identica a quella di partenza riduzione a forma intera se hai un equazione con termini frazionari la puoi trasformare in un equazione intera se moltiplichi tutti i suoi termini con il m.c.m. di tutti i denominatori

11 espressioni algebriche letterarie sono espressioni che utilizzano numeri e lettere uniti da segni di operazione + - x : 2a + 4b ossia è un prodotto + x : un altro prodotto (il segno di moltiplicazione è sostituito da un punto perché spesso nelle espressioni algebriche si utilizza come lettera anche la X ics e puoi vedere come questo segno si confonderebbe con il segno del X per) 2. a + 4. b per risolvere questa espressione, dobbiamo sapere a quale numero corrisponde la lettera a e la lettera b per poterli sostituire se la a = 3 e se la b = 5 2. a + 4. b = 26 altro esempio a 2 + 5ab (-2) (-2). (+4) (-8) a = -2 b = +4

12 Per semplificare una frazione, cioè ridurre ai minimi termini devo applicare la proprietà invariantiva 40 : 10 = 4 : 2 = 2 60 : 10 = 6 : 2 = 3 m.c.d. minimo comune denominatore serve ad operare con le frazioni che hanno denominatori diversi significa che devo trovare un piccolo multiplo che vada bene a tutti i denominatori (con il metodo del mcm ) mcd (mcm) 5x3x2 = 30 30:2=15 x numeratore 5 = :3=10x8= :5=6x12= = si procede poi a ridurre ai minimi termini come sopra descritto trovando un divisore comune sia per il numeratore che per il denominatore

13 Frazione equivalente la ottengo moltiplicando o dividendo il numeratore ed il denominatore di una frazione con lo stesso numero ma diverso da zero 3 4 x 2 x : 2 : questo metodo rappresenta la proprietà invariantiva oppure due frazioni si dicono equivalenti se i loro prodotti in croce sono uguali a c b e d se a x d = b x c e 6 se 3 x 6 = 2 x 9 (18) (18)

14 Frazioni o numeri frazionari 1/5 2/4 8/6 5/3 3 4 numeratore dice quante parti devo prendere linea di frazione / fratto denominatore dice in quante parti è diviso l intero se la frazione come numeratore ha 1 si chiama unità frazionaria 1/5 1/6 1/8 frazioni proprie 2/6 3/7 4/8 sono frazioni il cui numeratore è minore del denominatore frazioni improprie 7/6 8/7 3/2 sono frazioni il cui numeratore è maggiore del denominatore frazioni apparenti 6/6 7/7 6/3 sono frazioni il cui numeratore è uguale al denominatore oppure è un suo multiplo

15 GRANDEZZE PROPORZIONALI se il loro rapporto può essere espresso con una proporzione numerica Esistono: grandezze costanti, sono quelle che non cambiano mai (peso di un oggetto, altezza di un palazzo ) grandezze variabili, che possono cambiare (la temperatura in una giornata, il costo di un prodotto ) grandezze variabili interdipendenti se cambia la prima grandezza, cambia anche la seconda grandezza se vendo 1 libro guadagno 5 se vendo 10 libri guadagno 50 la prima grandezza si chiama variabile indipendente e si indica con X la seconda grandezza si chiama variabile dipendente e si indica con Y il valore (risultato) di questo rapporto si indica con K variabile indipendente variabile dipendente X Y = K valore

16 GRANDEZZE direttamente PROPORZIONALI se raddoppia (o triplica o dimezza..) la prima raddoppia (o triplica o dimezza..) anche la seconda e il rapporto (:) fra x e y è costante X Y = K Coefficiente di proporzionalità diretta GRANDEZZE inversamente PROPORZIONALI se raddoppia (o triplica ) la prima dimezza (o 1/3 ) la seconda e il prodotto (moltiplicazione) fra x e y è costante X. Y = K Coefficiente di proporzionalità inversa

17 linea dei numeri

18 Massimo Comune Divisore o MCD è il numero divisore più grande trovato in comune tra due o più numeri come procedere: - si scompone in fattori primi - si cercano i fattori comuni - si moltiplicano fra loro solo i fattori comuni con l esponente più piccolo ottenendo così il MCD =2 2 x =2x3 2 x7 prendo i fattori comuni con esponente più piccolo 2x3 2 = è il MCD regola: due numeri si dicono primi fra loro se hanno in comune solo il numero 1

19 m.c.m. minimo comune multiplo è il multiplo più piccolo trovato in comune tra due o più numeri come procedere: - si scompone in fattori primi - si prendono i fattori comuni e non comuni con l esponente più alto e si moltiplicano fra loro ottenendo così il mcm = =2 4 x3 mcm 125, 48 = 5 3 x2 4 x3 = prendo i fattori comuni e non comuni una sola volta con esponente più grande mcm di 125 e 48 è 6.000

20 concetto di moltiplicazione i termini della moltiplicazione si chiamano fattori il risultato è il prodotto fattore fattore 25 x 3 = 75 prodotto se moltiplichi un fattore per 1 il risultato è il fattore stesso 25 x 1 = 25 se moltipliche un fattore per 0 il risultato è zero 25 x 0 = 0 se moltiplichi un fattore per 10, 100, 1000 devi aggiungere al fattore 0, 00, x 10 = x 100 = x 1000 = se moltiplichi un fattore per 0,1 0,01 0,001 devi spostare la virgola verso sinistra di 1, 2, 3 posti 2531 x 0,1 = 253, x 0,01 = 25, x 0,001 = 2,531 proprieta commutativa se cambi l ordine dei fattori il risultato non cambia proprieta associativa se sostituisci ai fattori il loro prodotto il risultato non cambia

21 somma o differenza fra monomi la somma o la differenza fra monomi può essere possibile solo se la parte letterale è identica quindi è possibile solo fra monomi simili questo non si può fare 2b abc questo si può fare 2b b 3 + (-5b 3 ) come procedere si eseguono le operazioni fra i coefficienti (numeri) lasciando inalterata la parte letterale (+2+4-5) b 3 = +1 b 3 il coefficiente 1 non si scrive mai quindi il risultato è = b 3 se i monomi sono opposti stessa parte letteraria, ma coefficienti opposti (segni, uno + e l altro -) questi si annullano +3 ab -3 ab = 0

22 prodotto fra monomi è un monomio che ha per coefficienti (numeri) il prodotto dei coefficienti e per la parte letterale devi prendere tutte le lettere presenti una sola volta e per esponente la somma degli esponenti della stessa lettera (-3a 2 b 2 c) x (+2a 2 b 3 c 2 ) -6 a 2+2 b 2+3 c a 4 b 5 c 3

23 divisione fra monomi è un monomio che ha per coefficiente (numeri) il quoziente (divisione) dei coefficienti e per la parte letterale devi prendere tutte le lettere presenti una sola volta e per esponente la differenza degli esponenti della stessa lettera (-6a 2 b 5 c 6 ) : (+2a 2 b 3 c 5 ) -3 a 2-2 b 5-3 c a 0 b 2 c 1-3 b 2 c

24 potenze fra monomi è un monomio che ha per coefficiente (numeri), il coefficiente elevato a potenza e per la parte letterale devi prendere tutte le lettere presenti e fare il prodotto tra l esponente della lettera e la potenza (-3a 2 b 3 c 4 ) 2 ricorda: quando avrai un numero negativo con esponente dispari (1, 3, 5, 7, 9) il segno finale è sempre negativo altrimenti se l esponente è pari (0, 2, 4, 6, 8) il segno finale è sempre positivo (-3) 2 a 2x2 b 3x2 c 4x2 +9 a 4 b 6 c 8

25 monomi un monomio è un espressione letterale fatta da numeri e lettere legati fra loro solo da moltiplicazioni 5ab 5 x a x b -¼ ab 2 questi sono monomi -¼ x a x b 2 questi non sono monomi perché al loro interno sono presenti 3x + 2ab un segno di addizione 3ab -2 un esponente negativo che equivale ad una divisione 2a - 4ab un segno di sottrazione un monomio è così composto: parte letterale +3 ab coefficiente se il coefficiente (numero) non è scritto come nell esempio sotto il numero da mettere davanti è il numero 1 ab = 1ab

26 il grado di un monomio è il numero che c è scritto sopra ogni lettera ¾ab 2 c 3 a è di grado 1 b è di grado 2 perché l esponente è 2 c è di grado 3 perché l esponente è 3 perché non ha esponenti il grado totale di un monomio è la somma degli esponenti in questo caso il grado totale del monomio è 6 ¾ab 2 c = 6 monomi simili quando hanno la stessa parte letteraria 3ab -5ab monomi uguali quando hanno la stessa parte letteraria e lo stesso coefficiente (uguali in tutto) 3 ab 2 3 ab 2 monomi opposti quando hanno la stessa parte letteraria, ma coefficienti opposti (segni, uno + e l altro -) +3 ab -3 ab

27 Multiplo Il multiplo di un numero è il prodotto di quel numero moltiplicato per tutti i numeri naturali ad esempio il multiplo di 5 può essere: 5 x (0,1,2,3,4,5,6 ) 5 x 6 = 30 5 x 8 = 40 M 5 = 40 M 5 = i numeri naturali sono infiniti di conseguenza i multipli dei numeri naturali sono infiniti i numeri pari si dividono sempre con il 2 quelli che non sono divisibili con il 2 sono dispari numeri pari finiscono con numeri dispari finiscono con i multipli di 2 formano l insieme dei numeri pari tutti gli altri formano l insieme dei numeri dispari

28 La notazione scientifica dei numeri GRANDI serve per scrivere numeri molto grandi di base 10 sotto forma di potenza 10 5 = = si scrive 1 seguito da tanti zeri quanti ne indica l esponente 10 0 = = = = = = = = = = è possibile avere anche una base diversa da 10 e si scrive: = 36 X = 6 X 10 7

29 NUMERI DECIMALI per ottenere i numeri decimali si deve dividere una unità in 10 parti unità 0 0,1 1 1 decimo se divido 1 decimo (1d) in 10 parti ottengo un centesimo (1c) se divido 1 centesimo (1c) in 10 parti ottengo un millesimo (1m) se divido 1 millesimo (1m) in 10 parti ottengo un decimillesimo il numero decimale ha una parte intera e una decimale separate da una virgola da u d c m 4 7, parte intera parte decimale

30 numeri naturali simbolo N o NN sono infiniti perché se aggiungo 1 avrò numeri sempre diversi sono interi e partono dallo 0 se aggiungo 1 ottengo un numero che si chiama successivo se tolgo 1 ottengo un numero che si chiama precedente non ci sono numeri prima dello 0 per confrontare i NN si usano i simboli < > = minore, maggiore, uguale i NN sono un insieme ordinato perché possiamo disporli in ordine crescente (dal piccolo al grande) e decrescente (dal grande al piccolo) usando la rappresentazione grafica su una semiretta orientata si può stabilire una corrispondenza biunivoca (sign. che ad ogni lettera corrisponde un numero)

31 numeri primi i numeri primi devono essere: - maggiori di 1 - divisibili solo per se stessi - divisibili per il numero 1 divisibile per se stesso divisibile per 1 2 : 2 = 1 2 : 1 = 2 3 : 3 = 1 3 : 1 = 3 5 : 5 = 1 5 : 1 = 5 la successione dei numeri primi inizia con 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, i numeri composti dono divisibili per se stessi, per 1 e per altri numeri, ad esempio 4 e 6 non sono primi perché sono divisibili anche per 2 e per 3 scomposizione in fattori primi serve a trasformare un numero composto in un prodotto di numeri primi si prende un numero e lo si divide per il più piccolo numero primo suo divisore, continuando a dividere fino ad ottenere come quoto = 2 3 x 3 x 27

32 la scrittura polinomiale esempio: prendiamo un numero qualsiasi 721 il valore di ogni singolo numero si chiama valore assoluto il valore assoluto di 721 è: sette due e uno invece il valore che assume ciascuna cifra per la posizione che occupa nel numero è il valore relativo 7 centinaia, 2 decine e 1 unità prendiamo questo numero e scriviamo il valore relativo delle sue cifre milioni centinaia di migliaia decine di migliaia migliaia centinaia decine unità per poterlo leggere lo scomponiamo in gruppi di tre cifre (classi) da destra verso sinistra, ponendo un puntino fra ogni gruppo e leggiamo cinquemilioni seicentosettantatremila novecentosette

33 ora scriviamo il valore relativo del numero decine di migliaia migliaia centinaia decine unità considerando il valore relativo di ogni cifra, possiamo scriverlo anche nel seguente modo: x X x x questa scrittura si chiama polinomiale sistema decimale si chiama così perché puoi formare qualsiasi numero unendo solo 10 cifre inoltre il sistema decimale si dice anche sistema posizionale perchè alle cifre viene attribuito un valore diverso a seconda della posizione che occupano ad esempio: 3 e 7 posso posizionarli così 37 oppure così 73 nel 37 la posizione del 3 indica le decine e quella del 7 le unità al contrario nel 73 la posizione del 7 indica le decine e quella del 3 le unità

34 numeri relativi i numeri preceduti da un segno si dicono numeri relativi /2-3/4 negativi se hanno segno positivi se hanno segno + li rappresento su una semiretta orientata con origine 0 a sinistra dello 0 sono negativi a destra dello 0 sono positivi il valore assoluto di un numero relativo è il numero stesso senza il segno - 3 il valore assoluto è 3 + 1/5 il valore assoluto è 1/5 per indicare il valore assoluto si usano due sbarrette verticali +3 = -3 = 3 due numeri relativi con lo stesso segno si dicono concordi due numeri relativi con segno diverso si dicono discordi quando hanno lo stesso valore assoluto ma segno diverso due numeri relativi si dicono opposti + 4-4

35 Numeri finiti decimali periodici una frazione che crea un numero decimale, naturale o periodico si chiama generatrice si divide il numeratore con il denominatore 8 8 : 4 = 2 2 è numero naturale : 25 = 0, ,64 è numero decimale finito : 6 = 2, ,16666 è numero numero decimale illimitato Una frazione è decimale se il denominatore è 10 o suo multiplo (denominatore con 10,20,30,40,50, ) Una frazione è ordinaria se il denominatore è diverso da 10 o suo multiplo (12,14,82,96,64,52 )

36 2,16666 è numero numero decimale illimitato periodico misto perché dopo la virgola c è un numero diverso prima della serie di numeri uguali il numero diverso si dice antiperiodo (in questo caso l 1) il numero uguale si dice periodo (in questo caso il ) 3, è numero numero decimale illimitato periodico semplice perché dopo la virgola il numero e sempre lo stesso e si chiama periodo (è il numero che continua a ripetersi) il periodo è evidenziato da un trattino solo sopra il numero che si ripete 2, ,16 periodico misto 3, ,1 periodico semplice

37 il piano cartesiano sono come le coordinate della battaglia navale ed hanno lo scopo di trovare un qualsiasi punto nel piano compreso fra gli assi cartesiani o semirette orientate ordinata (verticale) Y O A ascissa (orizzontale) X si compone di due assi cartesiani che sono due semirette orientate, una verso destra e una verso l alto - ascissa, orizzontale indicata con X - ordinata, verticale indicata con Y il punto di intersezione degli assi si chiama origine indicato con la lettera O le coordinate cartesiane indicano, in questo caso, il punto A prima si scrive la X (3) poi la Y (2) e viene scritto così A (3, 2)

38 possiamo costruire un piano cartesiano più ampio se utilizziamo anche i numeri relativi quelli con il segno + o - se prolunghiamo l asse X verso sinistra e l asse Y verso il basso otteniamo 4 settori di piano che chiamiamo quadranti partendo da quello in alto a destra e seguendo il senso antiorario avremo il 1, 2, 3 e 4 quadrante 2 quadrante ascissa negativa ordinata positiva A Y quadrante ascissa positiva ordinata positiva X 3 quadrante ascissa negativa ordinata negativa B 4 quadrante ascissa positiva ordinata negativa A (-3, 2) B (1, -2)

39 addizione di polinomi per fare l addizione devi togliere le parentesi utilizzando le stesse regole per i numeri relativi se davanti alla parentesi c è un + i segni all interno rimangono gli stessi es.: (5a 2 + 3a 2 b) + (-2 a 2 b + 3a 2 ) tolgo le parentesi ma i segni rimangono gli stessi 5a 2 + 3a 2 b -2 a 2 b + 3a 2 se davanti alla parentesi c è un i segni all interno cambiano es.: (- 5a 2 + 3a 2 b) - (-2 a 2 b + 3a 2 ) tolgo le parentesi e i segni cambiano - 5a 2 + 3a 2 b +2 a 2 b - 3a 2 poi si esegue la somma dei termini uguali - 5a 2 + 3a 2 b +2 a 2 b - 3a 2-5a 2-3a 2 + 3a 2 b +2 a 2 b - 8a 2 + 5a 2 b

40 polinomi le somme algebriche di monomi diversi non si possono fare, ma queste somme si chiamano polinomi un polinomio che ha tutti i monomi diversi fra loro si dice ridotto i monomi che formano un polinomio si chiamano termini con 2 termini si dice binomio con 3 termini si dice trinomio con 4 termini si dice quadrinomio con più di 4 si dice genericamente polinomio grado complessivo si sommano gli esponenti delle lettere di ogni monomio e si prende il monomio più grande (il maggiore) es.: 4a 2 bc 3 questo è di grado (2+1+3) 6 2a 3 bc 6 questo è di grado (3+1+6) 10 7b 2 c questo è di grado (2+1) 3 il grado complessivo è il 10

41 grado relativo si calcola sulle singole lettere e si prende sempre l esponente maggiore es.: 4a 2 bc 3 2a 3 bc 6 7b 2 c tra a 2 e a 3 il grado relativo di a è 3 (terzo) tra be b 2 il grado relativo di b è 2 (secondo) tra c 3 c 6 e c il grado relativo di c è 6 (sesto) polinomio omogeneo quando i suoi termini (i monomi) hanno tutti lo stesso grado es.: 4a 2 bc 3 (2+1+3=6) + 2a 3 bc 2 (3+1+2=6) - 7b 2 c 4(2+4=6) grado 6 grado 6 grado 6 questo è un polinomio omogeneo

42 Proprietà delle potenze Per ottenere il prodotto di potenze con la stessa base bisogna sommare gli esponenti e lasciare la stessa base 3 4 x 3 5 = 3 ( 4+5 ) = x 9 2 = 9 ( 6+2 ) = x 2 7 = 2 ( 4+7 ) = x 5 3 = 5 ( 2+3 ) = 5 5 Per ottenere il quoziente di potenze con la stessa base bisogna fare la differenza degli esponenti e lasciare la stessa base 3 5 : 3 3 = 3 ( 5-3 ) = : 6 3 = 6 ( 7-3 ) = : 8 2 = 8 ( 4-2 ) = 8 2 Per ottenere la potenza di una potenza si fa il prodotto degli esponenti e si lascia la stessa base (3 5 ) 3 = 3 ( 5x3 ) = 3 15 (7 2 ) 4 = 7 ( 2x4 ) = 7 8 (9 4 ) 5 = 9 ( 4x5 ) = = = = aggiungo al numero 1, tanti zeri quanti ne indica l esponente

43 potenze con relativi per eseguire una potenza su numeri naturali si deve moltiplicare il numero per se stesso tante volte quante ne dice l esponente 5 4 = 5 x 5 x 5 x 5 per i numeri relativi accade lo stesso, devi solo fare attenzione al segno quando avrai un numero negativo con esponente dispari ( 1, 3, 5, 7, 9 ) il segno finale è sempre negativo (-3) 3 = (-3) x (-3) x (-3) = -27 per tutti gli altri il segno finale è positivo (+3) 2 = (+3) x (+3) = +9 (-5) 2 = (-5) x (-5) = +25 (+6) 3 = (+6) x (+6) x (+6) = +216

44 La proporzione è un uguaglianza tra due rapporti si scrive così 60 : 4 = 30 : 2 1 rapporto 2 rapporto e si legge così 60 sta a 4 come 30 sta a 2 antecedenti 60 : 4 = 30 : 2 conseguenti medi 60 : 4 = 30 : 2 estremi

45 se i medi sono uguali la proporzione prende il nome di proporzione continua e i medi si chiamano medi proporzionali 125 : 25 = 25 : 5 medio proporzionale Proprietà fondamentale della proporzione il prodotto dei medi è sempre uguale al prodotto degli estremi 25 : 5 = 10 : 2 25x2 = 5x10 (50) (50)

46 radice quadrata estrarre la radice quadrata (fare la radice) di un numero è l operazione inversa dell elevamento a potenza 2 2 = 4 4 = radicando segno di radice 2 radice quadrata 2 indice (il due non si scrive mai) la radice quadrata di un numero è un numero che elevato alla seconda dà il radicando (il numero che vedi sotto la radice)

47 Quando la radice quadrata è un numero naturale, quindi senza virgola e non frazionario, si dice QUADRATO PERFETTO o RADICE QUADRATA ESATTA usando la scomposizione in fattori primi possiamo stabilire se un numero sarà un quadrato perfetto, devi guardare se gli esponenti dei fattori sono tutti pari x = 2 2 x5 2 x = 2 6 questi sono tutti fattori con esponente pari se solo uno di questi avesse un esponente dispari allora il quadrato non sarebbe perfetto a questo punto se voglio sapere qual è il risultato cioè la radice quadrata di 900 e di 64 devo moltiplicare i fattori, ma prima devo dimezzare gli esponenti 900 = 2 2 ( diventa 2 1 ) x5 2 ( diventa 5 1 ) x3 2 ( diventa 3 1 ) = 2x5x3 = = 2 6 diventa 2 3 = 8

48 il RAPPORTO fra due grandezze si calcola dividendo il primo numero con il secondo numero un rapporto si può scrivere in due modi 8 : 4 e si legge 8 a 4 e si legge come una frazione otto quarti i numeri si chiamano termini del rapporto il primo si chiama antecedente il secondo si chiama conseguente antecedente 8 : 4 conseguente termini il rapporto ha una sola proprietà ed è quella invariantiva se moltiplico o divido per uno stesso numero sia l antecedente che il conseguente ottengo la stessa proporzione il rapporto fra grandezze omogenee significa un rapporto con grandezze della stessa natura (stessa unità di misura) Es. tutti cm, km, kg, g, litri

49 Spesso puoi trovare grandezze con unità di misura diverse come ad es.: dm 45 : m 2 devi effetuare un equivalenza per operare su misure uguali, mettiamo tutto in metri o tutto in dm dm 45 = m 4,5 ed otteniamo grandezze omogenee m 4,5 : m 2 ora possiamo svolgere il rapporto invece il rapporto fra due grandezze non omogenee è un rapporto il cui risultato è una grandezza derivata es.: 7 kg : 200 cm 2 si può fare, ma il risultato si scrive così 7 : 200 = 0,035 kg/cm 2

50 le operazioni con i numeri relativi Addizione La somma di due numeri relativi con lo stesso segno (concordi) è un numero che ha lo stesso segno degli addendi e valore assoluto uguale alla somma dei loro valori assoluti (+3) + (+4) = +7 (-2) + (-5) = -7 La somma di due numeri relativi con segni diversi (discordi) è un numero che ha il segno dell addendo di valore assoluto maggiore e come risultato sarà la differenza dei loro valori assoluti (-3) + (+4) = + 1 differenza il segno è + perché 4 ha valore maggiore di 3 4 > 3 (+2) + (-5) = - 3 differenza il segno è - perché 5 ha valore maggiore di 2 5 > 2

51 moltiplicazione con relativi la moltiplicazione si calcola procedendo con il prodotto dei valori assoluti il segno da mettere sarà: se i numeri relativi sono concordi stesso segno il segno è sempre + se i numeri relativi sono discordi segno diverso il segno sarà sempre - concordi (+3) x (+4) = + 12 discordi (+3) x (-4) = - 12

52 sottrazione con relativi per fare la sottrazione con due numeri relativi si deve sommare il primo al secondo cambiando a quest ultimo il segno si applicano poi le regole dell addizione ossia il segno del risultato è quello del numero con valore assoluto maggiore (+2) (-3) = (+2) + (+3) = +5 (-6) (+4) = (-6) + (-4) = - 10 (+5) (+3) = (+5) + (-3) = +2

53 somma algebrica per eseguire una somma algebrica devo togliere il segno tra una parentesi e l altra e poi togliere anche le parentesi che racchiudono i numeri relativi con le seguenti modalità: se il segno tolto tra una parentesi e l altra è un + il segno del termine che segue rimane lo stesso (+5) + (-3) +5-3 se il segno tolto tra una parentesi e l altra è un - il segno del termine che segue cambia (-3) - (+2) -3-2 (+3) + (+2) (-2) + (+1)