Insiemi numerici. Teoria in sintesi NUMERI NATURALI

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1 Insiemi numerici Teoria in sintesi NUMERI NATURALI Una delle prime attività matematiche che viene esercitata è il contare gli elementi di un dato insieme. I numeri con cui si conta 0,,,. sono i numeri naturali, e vengono indicati con N. È definita in N un operazione, detta addizione, che ai numeri naturali x e y, associa il numero naturale somma di x e y, che si scrive x+y. Valgono le seguenti proprietà. a + b = b + a per ogni a, b (proprietà commutativa dell addizione);. (a + b)+ c = a + ( b + c) per ogni a, b, c (proprietà associativa dell addizione);. a + 0 = a = 0 + a per ogni a (si dice che il numero naturale 0 è elemento neutro per l addizione);. (a + b = c) (c a, c b); 5. Se a b, c è un numero naturale h tale che a + h = b, viceversa se c è un numero naturale h tale che a + h = b, allora a b. In simboli (a b) esiste h tale che a + h = b. 6. a = b a + c = b + c ( legge di semplificazione) È definita in N anche la moltiplicazione, che associa ai numeri a, b il numero naturale a b, detto prodotto di a e b. Valgono le seguenti proprietà. ab = ba per ogni a,b (proprietà commutativa);. (ab)c = a(bc) per ogni a,b,c (proprietà associativa);. a = a = a, per ogni a ( è elemento neutro per la moltiplicazione);. se almeno uno dei numeri a,b è nullo, tale è pure a b; se a b è nullo, lo è pure almeno uno dei due numeri a,b; in simboli (a = 0 b = 0) (a b = 0) (legge di annullamento del prodotto) 5. se c 0, a = b a c = b c ( legge di semplificazione). Vi è inoltre in N una proprietà che si riferisce alla moltiplicazione e alla addizione (a + b) c = (a c) + (b c) (proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all addizione). E la proprietà comunemente usata nella moltiplicazione per esempio di un polinomio per un monomio. È importante fare attenzione al fatto che, nella legge di semplificazione della moltiplicazione, si suppone c0. Dimenticarsene porta spesso a relazioni assurde (tipo 0=). In N vi è inoltre un ordinamento totale, nel senso che presi due naturali qualunque è sempre possibile confrontare due elementi e stabilire quale sia il maggiore. Rappresentazione dei numeri Naturali Data una retta r, fissiamo su di essa un verso. Una retta su cui sia stato fissato un verso si dice orientata. Ora sulla retta orientata r fissiamo un punto O a cui associamo il numero 0, segniamo poi a ugual distanza l uno dall altro i punti A,B,C,. Al numero associamo il punto A, al numero il punto B, e così via. In tal modo otteniamo una corrispondenza tra l insieme N e i punti della retta r. Naturalmente vi sono punti di r che non sono immagine di alcun elemento di N fra il punto O e il

2 punto A c è almeno un punto X di r, ma non c è nessun numero naturale al quale sia associato X. I numeri 0,,,,, sono le ascisse rispettivamente dei punti 0, A, B, C, D,. Potenza Comunemente, l elevamento a potenza si definisce come prodotto di un certo numero di fattori uguali 5 =. In generale a b = a a a a (b fattori). Definendo la potenza in questo modo, però, a 0 e a non hanno senso, e si debbono fare opportune convenzioni per estendere anche a questi casi la definizione di potenza. Possiamo scrivere così la definizione di potenza con esponente maggiore o uguale a Definizione a = a, a n = a n- a ; a 0 =. Ritroviamo dunque la potenza a b, con b, come prodotto di b fattori uguali ad a. Proprietà delle potenze. a m. a n = a m + n ;. (a. b) n = a n. b n ;. (a m ) n = a m n ;. (abc) n =a n b n c n ; 5. (ab) n =a n b n Divisione Solitamente si dice che la divisione è l operazione inversa della moltiplicazione. Infatti, affermare che a b = q equivale a dire che a = b q. () Innanzitutto non può essere b = 0. Infatti se fosse b = 0, per la () dovrebbe pure essere a = 0, ma allora q potrebbe essere un numero qualsiasi! Tuttavia, in N non esiste sempre il quoziente a b anche se b 0. Però, se tale quoziente esiste, esso è unico. Se x = qy, diciamo che x è multiplo di y, che x è divisibile per y, che y è un divisore di x. Un numero p N si dice primo se ammette come divisori solo e p. Se un numero non è primo, e quindi ammette almeno un divisore diverso da e da sé stesso, si dice composto.

3 Nell insieme N i numeri primi sono particolarmente importanti perché ogni numero naturale può essere espresso come prodotto di numeri primi; questa scrittura prende il nome di fattorizzazione in fattori primi, e questa fattorizzazione è unica (Teorema fondamentale dell aritmetica). Il Massimo Comun Divisore di due o più numeri si ottiene scomponendo i numeri in fattori primi e moltiplicando tra di loro solo i fattori comuni elevati al minimo esponente. Quando MCD (a, b) =, si dice che a e b sono primi fra loro (cioè non hanno fattori primi in comune). Il minimo comune multiplo di due o più numeri si ottiene scomponendo i numeri in fattori primi e moltiplicando tra loro i fattori comuni e non comuni elevati al massimo esponente. Esempio MCD (, 5, 8) = 6 mcm (, 7, 98) = 96 Dati i numeri naturali a, b (con ab, b 0), esistono un solo numero naturale q e un solo numero naturale r tali che a = bq + r, con r < b. Se risulta r = 0, è possibile la divisione esatta. Un numero si dice pari se è multiplo di e lo si può indicare con n, nn, dispari altrimenti, in tal caso lo si indica con n +, o con n-, nn. Esercizi. Scrivere il più piccolo numero naturale che abbia come divisori distinti da e sé stesso i numeri,,. [66]. E possibile trovare un numero n i cui unici divisori distinti da e da sé stesso siano,,. [F]. Dire, senza eseguire i calcoli, se le seguenti uguaglianze possono essere vere, e per quali proprietà = [F] 6. 0 =. 5 [V] = ( + 5). + 7 [F] + 5. ( + 7) = [V]. In N la divisione gode della proprietà commutativa? [no perché ]

4 NUMERI INTERI I numeri interi, detti anche interi relativi, sono 0,,,,. Definizione un numero intero relativo è una coppia formata da un segno, + o -, e da un numero naturale (+0 = -0 solo in questo caso c è coincidenza). E possibile estendere ai numeri interi tutte le proprietà viste per i naturali. Definizione si dice valore assoluto di un numero intero relativo, il numero stesso privato del suo segno; il valore assoluto di un numero è quindi un numero positivo. 5 Definizione la somma di due numeri a e b di ugual segno è un numero dello stesso segno; il suo valore assoluto è la somma dei valori assoluti di a e b. La somma di due numeri c e d di segno diverso è un numero che ha il segno dell addendo di valore assoluto maggiore; il suo valore assoluto è la differenza dei valori assoluti di c e d. Esempio + = 5; - 7 = -9; = 5 L insieme dei numeri interi si indica con Z, e in esso si può sempre eseguire la differenza tra due numeri qualunque. (cosa che non era possibile eseguire in N) In questo insieme valgono tutte le proprietà viste per N e inoltre per ogni zz esiste un elemento che si dimostra essere unico e si indica con z, tale che z + (-z) = 0. Quanto a 0, chiamiamo suo opposto zero stesso, dato che = 0. Invece in N solo 0 ammette l opposto (0 stesso). Definizione il prodotto di due numeri relativi, in valore assoluto, deve essere il prodotto dei loro valori assoluti ab ab. Resta da determinare il segno del prodotto, come è spiegato nella regola seguente +a (+b) = +ab; +a (-b) = -ab; -a (+b) = -ab; -a (-b) = +ab; È molto importante osservare che quando scriviamo b, +ab, -z con a, b, z interi, non stiamo affermando che il primo e il terzo sono numeri negativi, ed il secondo positivo. Ad esempio, potrebbe essere b = -, a =, z = 5. Allora b>0, +ab<0, -z<0.

5 Rappresentazione dei numeri interi Data una retta r, fissiamo su di essa un verso. Una retta su cui sia stato fissato un verso si dice orientata. La freccia indica un verso che diciamo positivo; il verso opposto è detto negativo. Ora sulla retta orientata r fissiamo un punto O a cui associamo il numero 0, segniamo poi a ugual distanza l uno dall altro i punti A,B,C,. associando ai numeri negativi i punti che precedono O nel verso prefissato. In tal modo abbiamo una corrispondenza tra l insieme Z e i punti della retta r. Essa però non è una biiezione; vi sono infatti punti di r che non sono immagine di alcun elemento di Z. Esercizi. Scrivere tre numeri negativi il cui valore assoluto non sia maggiore di -5 e due numeri positivi maggiori di -.. Scrivere due coppie di interi concordi e due discordi.. Verificare con qualche esempio la proprietà associativa dell addizione. NUMERI RAZIONALI I numeri razionali sono le frazioni, della forma a/b con a, b Z, b 0. Osserviamo che due frazioni distinte possono rappresentare lo stesso numero. Esempio 5 0 Se a e b sono primi fra loro la frazione a/b si dice ridotta ai minimi termini. L insieme di tali numeri si indica con Q. In Q si può sempre seguire la divisione tra due elementi qualunque, a patto che il secondo sia diverso da zero (Cosa che non era possibile in Z) Eseguendo la divisione fra due interi si possono ottenere o un numero decimale finito o un numero decimale illimitato periodico. Nell insieme dei razionali valgono tutte le proprietà viste per i numeri interi, inoltre per ogni qq che sia diverso da zero, esiste un numero razionale che si indica con /q o con q, detto reciproco di q tale che q(/q) =. 5

6 Ecco le regole per l addizione e la moltiplicazione di due numeri razionali a b a b c d c d ad bc bd ac bd Si ha inoltre che a b c d ad bc nel caso in cui b, d siano positivi. (Considerate voi accuratamente gli altri casi). All infuori di 0(=0/) ogni elemento di Q ha l inverso e quindi r s, con s 0, è il prodotto di r per l inverso di s; in Q 0 l insieme dei razionali privato dello zero) la divisione è sempre possibile. Il quoziente r s è quel numero razionale q tale che q s = r. r/s è anche chiamato rapporto fra r e s. Rappresentazione dei numeri Razionali Sulla retta orientata r fissiamo un punto O a cui associamo il numero razionale 0, e un punto A, che segue O nel verso positivo fissato, a cui associamo. Come trovare il punto B di r da associare al numero razionale assoluto m/n? Si tratta di dividere la lunghezza di OA in n parti uguali per poi costruire il multiplo secondo m di una di queste parti. r si dice l ascissa di B. Come nel caso dei naturali e degli interi i numeri razionali non esauriscono tutti i punti della retta questo però è un po più difficile da vedere che non nel caso di N e Z. 6

7 Insieme in cui si opera Nome dell'operazione che alla coppia ordinata (a, b) fa corrispondere c Condizione per effettuare l'operazione Proprietà fondamentali N Addizione nessuna commutativa, associativa, dotata dell'elemento neutro Moltiplicazione nessuna commutativa, associativa, dotata dell'elemento neutro, distributiva rispetto all'addizione, legge di annullamento del prodotto Sottrazione ab invariantiva Divisione b0; a multiplo di b invariantiva, distributiva rispetto all'addizione Z Addizione nessuna come in Q Moltiplicazione nessuna come in N Sottrazione nessuna come in Q Divisione b0; a multiplo di b come in N Q Addizione nessuna Moltiplicazione nessuna Sottrazione nessuna come in N Divisione b0 come in N come in N; inoltre tutti gli elementi ammettono l'opposto come in N; inoltre tutti gli elementi diversi da zero ammettono l'inverso 7

8 8 Esercizi. Scrivere in ordine crescente i seguenti numeri +/, -5/,.,.., 0, -/5.. Calcolare il valore di ab + ac + bc con a = -, b = -, c = - [9] a = -/, b = + c = -/ [-6/9]. Scrivere tre numeri razionali negativi maggiori di e tre razionali positivi minori di -5.. Completare con i segni <, =, > +/ /. / 5. Provate che se a>b e c<0, allora ac < bc. 6. Si può affermare che a > - se a > -? 7. Calcolare