INSIEME N. L'insieme dei numeri naturali (N) è l'insieme dei numeri interi e positivi.

Transcript

1 INSIEME N L'insieme dei numeri naturali (N) è l'insieme dei numeri interi e positivi. N = {0;1;2;3... Su tale insieme sono definite le 4 operazioni di base: l'addizione (o somma), la sottrazione, la moltiplicazione (o prodotto) e la divisione. A parte il funzionamento di queste operazioni, noto già dalle scuole elementari e medie, è importante conoscere una particolare classificazione che suddivide le quattro operazioni in due gruppi. L'addizione e la moltiplicazione vengono definite OPERAZIONI CHIUSE sull'insieme N, mentre la divisione e la sottrazione sono definite OPERAZIONI APERTE sull'insieme N. Un'operazione è detta CHIUSA sull'insieme N se scegliendo a piacere due numeri in esso, il risultato dell'operazione continua ad essere un numero N. In base a tale definizione è semplice verificare che sia l'addizione che la moltiplicazione sono operazioni chiuse su N: se sommo o moltiplico due numeri naturali, infatti, il risultato è certamente un numero naturale. Ciò non accade invece per le altre due operazioni: non è detto che se sottraggo o divido due numeri naturali, il risultato è certamente un numero naturale. Possiamo verificare questa affermazione con alcuni controesempi : 3 2 = 1 In tal caso la sottrazione tra due numeri naturali è ancora un numero naturale 2 3 =? In questo caso invece il risultato non è certamente un numero naturale, ma un numero al momento ignoto che scopriremo essere un numero negativo con lo studio dell'insieme Z dei numeri interi. 4 : 2 = 2 In tal caso la divisione tra due numeri naturali è ancora un numero naturale 3 : 4 =? In questo caso invece il risultato non è certamente un numero naturale, ma un numero al momento ignoto che scopriremo essere un numero frazionario con lo studio dell'insieme Q dei numeri razionali. Lo 0 e l'operazione di divisione Qualche spiegazione è necessaria per ricordare cosa accade nell'esecuzione dell'operazione di divisione se è presente il numero 0. Va ricordato che la divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione per cui: se 10 : 5 = 2 allora 2 * 5 = 10. Tale proprietà può essere sfruttata per scoprire cosa accade con lo 0. Caso 1 0 : 2 = 0 vero perchè 0 * 2 = 0 0 : 3 = 0 vero perchè 0 * 3 = 0 In generale possiamo affermare che 0 : a = 0 dove a rappresenta un qualsiasi numero naturale. Caso 2 3 : 0 = Impossibile visto che non esiste nessun numero che moltiplicato per zero restituisce 3 come risultato. 4 : 0 = Impossibile visto che non esiste nessun numero che moltiplicato per zero restituisce 4 come risultato.

2 In generale possiamo affermare che a : 0 = Impossibile dove a rappresenta un qualsiasi numero naturale. Caso 3 0 : 0 = 1 vero perchè 1 * 0 = 0 0 : 0 = 2 vero perchè 2 * 0 = 0 Da questi esempi possiamo verificare che l'operazione 0 : 0 può avere più di un risultato. In matematica, quando ciò si accade, si definisce l'operazione Indeterminata. Quindi 0 : 0 = Indeterminata. Regole di precedenza nelle operazioni La risoluzione di espressioni con i numeri N segue alcune regole di precedenza che indicano quali operazioni devono essere obbligatoriamente eseguite per prime, e quali, invece, possono essere eseguite in un secondo momento. Esempi: Le parentesi vanno risolte dall'interno verso l'esterno indipendentemente dalla loro forma. Le operazioni del primo gruppo (* e :) hanno precedenza sulle operazioni del secondo gruppo (+ e -). Le operazioni dello stesso gruppo vanno eseguite da sinistra verso destra. 7 * [2 + 4] = 7 * 6 = 42 7 * = = 18 8 * 2 : 4 = 16 : 4 = 4 Regola generale ed esempio Uno dei processi più importanti da apprendere per comprendere al meglio il simbolismo matematico è, senz'altro, l'astrazione. Saper astrarre significa essere capaci di uscire da contesti pratici fatti di numeri e situazioni reali, ed entrare in formule e regole generali, fatte di lettere e simboli, che generalizzano le situazioni esemplificative. Bisogna, quindi, saper distinguere tra regola generale ed esempio, saper fare esempi in base a regole generali, saper ricavare regole generali partendo da esempi. L'area di un rettangolo si calcola in base alla formula A = b*h. Tale formula, utilizzando delle lettere, dice che per calcolare l'area di un rettangolo devo moltiplicare la base per l'altezza. Questa regola generale vale per qualsiasi rettangolo, ma non dice quanto vale l'area di un rettangolo in termini numerici. Per fare un esempio di applicazione di questa formula ho bisogno di una situazione pratica, di un caso reale, definendo quanto valgono la base e l'altezza di un ben preciso rettangolo di cui voglio calcolare l'area. Esempio: un campo ha forma rettangolare; la sua base misura 30 metri e la sua altezza misura 20 metri. Calcolare la sua area. E' evidente che per calcolare l'area del campo è necessario applicare la formula generale utilizzando come base ed altezza le misure del rettangolo fornite dal problema. A = 30 * 20 A = 600.

3 La potenza Oltre le quattro operazioni elementari sui numeri N esiste un'altra operazione che prende il nome di potenza. Una potenza viene espressa attraverso due numeri che prendono il nome di base ed esponente. Esponente Base 2 3 La definizione di una potenza prevede di moltiplicare la base per se stessa tante volte quante indica la quantità espressa dall'esponente. Quindi, ad esempio: 2 3 = 2*2*2 = 8 e 4 2 = 4*4 = 16 Possiamo scrivere la regola generale utilizzando la lettera a come base e la lettera n come esponente. a n =a a a... a n volte Ricorda che stiamo lavorando nell'insieme N e quindi sia la base a che l'esponente n sono numeri interi e positivi. Lo 0 e l'operazione di potenza Come per la divisione, anche per l'operazione di potenza è necessario specificare cosa accade se la base e l'esponente assumono il valore 0. Anche in questo caso dobbiamo distinguere 3 casi diversi: 0 n = 0 zero elevato ad un qualsiasi esponente dà come risultato sempre 0. a 0 = 1 un qualsiasi numero elevato a zero dà come risultato sempre = IND zero elevato a zero ha più risultati ed è quindi una forma indeterminata. Proprietà delle potenze Per il calcolo con le potenze esistono 5 proprietà che consentono, talvolta, di semplificare i procedimenti nella risoluzione di espressioni. a n * a m = a n+m Il prodotto di potenze che hanno la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. Esempio: 2 3 * 2 4 = = 2 7 a n : a m = a n-m Il quoziente di potenze che hanno la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti. Esempio: 5 6 : 5 4 = = 5 2

4 (a n ) m = a n*m La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti. Esempio: (3 4 ) 3 = 5 4*3 = 5 12 a n * b n = (a * b) n Il prodotto di potenze che hanno lo stesso esponente è una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il prodotto delle basi. Esempio: 4 3 * 2 3 = (4 * 2) 3 = 8 3 a n : b n = (a : b) n Il quoziente di potenze che hanno lo stesso esponente è una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il quoziente delle basi. Esempio: 10 3 : 2 3 = (10 : 2) 3 = 5 3 Osservazione1: ricordiamo ancora una volta che stiamo lavorando nell'insieme N in cui le operazioni di sottrazione e divisione non sono chiuse. Ciò significa che non è detto che tali operazioni diano un risultato. Osservando le proprietà possiamo notare che alcune di esse contengono operazioni di sottrazione e divisione, di conseguenza anche tali proprietà potrebbero rimanere senza risultato Esempio1: 5 3 : 5 4 = =? L'operazione 3 4 non ha alcun risultato nell'insieme N!!! Esempio2: 7 3 : 2 3 = (7 : 2) 3 =? L'operazione 7 : 2 non ha alcun risultato nell'insieme N!!! Osservazione2: E' molto importante saper riconoscere le situazioni in cui una certa proprietà è applicabile, ma è altrettanto importante saper riconoscere il motivo per cui una certa proprietà non è applicabile. Ricordiamo che, a parte la potenza di potenza che è facilmente riconoscibile, le altre proprietà richiedono la presenza della stessa base o dello stesso esponente e lavorano solo sulle operazioni di moltiplicazione e divisione. Esempio: per calcolare il risultato di non posso applicare nessuna delle proprietà studiate perchè la somma tra potenze non compare in nessuna delle proprietà. Per calcolare tale risultato non mi resta che applicare la definizione di potenza, e quindi = = 12 Osservazione3: Per affrontare espressioni contenenti potenze è necessario verificare la possibilità di applicare le proprietà e, solo quando ciò non è possibile, passare al calcolo usando la definizione. Talvolta è possibile evitare il calcolo tramite definizione anche se nessuna proprietà sembra applicabile. Esempio: per calcolare 2 2 * 4 3 non è possibile applicare alcuna proprietà in quanto le due potenze non hanno stessa base e nemmeno stesso esponente. Tuttavia possiamo osservare che 4 = 2 2 quindi l'espressione da calcolare diventa 2 2 * (2 2 ) 3 A questo punto possiamo applicare la potenza di potenza 2 2 * 2 6 e poi la prima proprietà studiata 2 2 * 2 6 = 2 8

5 Scomposizione e fattorizzazione Scomporre un numero in fattori vuol dire scriverlo sotto forma di moltiplicazione di due o più numeri, ognuno dei quali viene definito fattore. Dato un numero è possibile che esistano più scomposizioni diverse. Esempio: 12 = 1 * = 2 * 6 12 = 3 * 2 2 Di queste tre scomposizioni diverse del numero 12 solo l'ultima viene definita fattorizzazione in quanto è l'unica che, nella scomposizione, prevede solo fattori primi. In definitiva possiamo, quindi, affermare che possono esistere più di una scomposizione di un qualsiasi numero, ma un'unica fattorizzazione. Esempio: 18 = 1 * = 2 * = 3 * 6 Ancora una volta osserviamo che la prima e la terza scomposizione non sono fattorizzazioni in quanto in esse compaiono numeri non primi (18 nella prima e 6 nella terza). La seconda, invece, è una fattorizzazione visto che tutti i fattori che compaiono in essa sono numeri primi eventualmente elevati ad un certo esponente ( 2 e 3). Osservazione: la correttezza della scomposizione di un numero può essere verificata semplicemente moltiplicando di nuovo i fattori ottenuti. Esempio: 60 = 2 2 * 3 * 5 è una scomposizione corretta perchè è vero che 2 2 * 3 * 5 = 60 Per scrivere la fattorizzazione di un numero è necessario applicare il metodo delle divisioni successive Il metodo consiste nel dividere il numero da fattorizzare per i numeri primi partendo dai più piccoli. Nell'esempio iniziamo a dividere il 60 per 2 ottenendo 30, il 30 è divisibile per 2 ed ottengo 15, il 15 non è divisibile per 2 allora provo il successivo numero primo che è il 3, e così via. Il procedimento termina quando ottengo 1. Leggendo la colonna di destra dello schema precedente possiamo osservare i fattori primi che compongono la fattorizzazione. 60 = 2 * 2 * 3 * 5 scrivendo poi 2 * 2 come 2 2 avremo 60 = 2 2 * 3 * 5 Massimo Comun Divisore e Minimo Comune Multiplo Le scomposizioni servono, tra le altre cose, a calcolare il MCD ed il mcm tra due o più numeri. Vediamo quali sono i passaggi da seguire per effettuare questo calcolo. MCD (è il più grande tra i divisori comuni a tutti i numeri) 1. Scomporre tutti i numeri in fattori primi (Fattorizzare) 2. Selezionare solo i fattori comuni

6 3. Prenderli una sola volta 4. Con il minimo esponente Esempio: Calcolare MCD (12; 18; 60) Sarà il più grande divisore comune a 12, 18 e 60. Iniziamo con le scomposizioni in fattori primi Quindi 12 = 2 2 * 3 18 = 2 * = 2 2 * 3 * 5 I fattori da selezionare sono solo quelli comuni, quelli, cioè, che compaiono in tutte le scomposizioni. In questo caso dobbiamo selezionare il 2 ed il 3 visto che il fattore 5 compare solo nella scomposizione del 60 e non in quelle del 12 e del 18. L'esponente da scegliere è il più piccolo, quindi l'1 sia per il due 2 per il 3. Avremo perciò che: MCD (12; 18; 60) = 2 * 3 mcm (è il più piccolo tra i multipli comuni a tutti i numeri) 1. Scomporre tutti i numeri in fattori primi (Fattorizzare) 2. Selezionare i fattori comuni ed anche quelli non comuni 3. Prenderli una sola volta 4. Con il massimo esponente Esempio: Calcolare mcm (12; 18; 60) Sarà il più piccolo multiplo comune a 12, 18 e 60. Iniziamo con le scomposizioni in fattori primi Quindi 12 = 2 2 * 3 18 = 2 * = 2 2 * 3 * 5

7 I fattori da selezionare sono solo quelli comuni e quelli non comuni. In questo caso dobbiamo selezionare il 2, il 3 ed il 5. L'esponente da scegliere è il più grande, quindi l'1 per il 5 ed il 2 sia per il due 2 per il 3. Avremo perciò che: mcm (12; 18; 60) = 2 2 * 3 2 * 5