DAC Digital Analogic Converter

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1 DAC Digital Analogic Converter Osserviamo lo schema elettrico riportato qui a lato, rappresenta un convertitore Digitale-Analogico a n Bit. Si osservino le resistenze che di volta in volta sono divise per 2, nel passaggio da una resistenza superiore a quella successiva inferiore. Le resistenze da un lato sono tutte collegate tra loro e collegate all ingresso invertente dell operazionale mentre dall altro capo sono collegate a commutatori che permettono il collegamento a un potenziale di riferimento V o o al potenziale di massa. Lo schema è un convertitore Corrente-Tensione, ciò significa che in qualche modo dobbiamo calcolare la corrente che è generata in funzione delle posizioni occupate dai commutatori e, quindi, calcolare l uscita che altro non è la tensione ai capi di R f. Osserviamo che se una resistenza viene commutata sul potenziale di massa, questa resistenza non ha più alcun effetto sullo schema. Infatti, se da un lato il commutatore collega la resistenza a massa, l altro capo della resistenza si trova già collegato al morsetto invertente dell operazionale che, come si vede dallo schema e per il principio della massa virtuale, si trova a potenziale nullo (massa virtuale). Quindi questa particolare resistenza non fornisce alcun contributo alla corrente generale in quanto sottoposta a una differenza di potenziale nulla. Detto questo, è intuitivo che la prima resistenza rappresenta l ingresso di un bit meno significativo (LSB) in quanto il contributo alla corrente generale è la metà di quella generata dalla resistenza successiva. Mentre è ¼ della corrente generata dalla resistenza ancora successiva. Ovviamente l ultima resistenza, poiché è divisa per un fattore 2 n-1 genera una corrente che è esattamente 2 n-1 volte quella generata della prima resistenza. Quindi, nell ordine indicato in figura, le resistenze vanno da una LS(B) a quella più significativa, cioè MS(B). In parentesi la B ricorda l analogia con i corrispondenti bit. I commutatori rappresentano gli ingressi binari: l ingresso B 0 è collegato alla resistenza R/2 0 ; l ingresso B 1 è collegato alla resistenza R/2 1, e così via di seguito. In generale possiamo dire che l ingresso B i è collegato alla resistenza R/2 i. Possiamo anche pesare che l ingresso B i altro non è che un coefficiente che può assumere solo due valori: 0 oppure 1, a secondo che il relativo commutatore sia collegato a massa o al potenziale di riferimento V 0. Calcoliamo i vari contributi alla corrente generale delle resistenze: !"$%&%'()*'% Nelle espressioni delle correnti riportate sopra, il coefficiente B i rappresenta il valore del bit i-esimo, con i che assume valore tra 0 e n-1. In altre parole determina se c è o non c è il contributo della corrente dovuto a quel bit, visto che può essere 0 oppure 1. Calcoliamo la corrente totale.,--, Pag. 1

2 Ossia: Mettendo a fattore:,--,.,--, / 0 L ultima espressione è semplicemente un modo compatto di scrivere la formula. L espressione racchiusa tra parentesi altro non è che un numero tra 0 e (2 n -1). Se indichiamo con N x tale numero si ha: Da questa formula si comprende che la corrente totale dovuta alla presenza di tutti i bit è: 1 Calcoliamo l uscita dell operazionale. Come abbiamo detto il circuito è un convertitore Corrente-Tensione. Pertanto dobbiamo calcolare l uscita dell operazionale per un dato numero qualsiasi N x. Pertanto abbiamo: Ossia: %*' %*' %*' Sostituendo a N x il suo valore massimo 2 n -1 si ottiene la massima tensione di uscita: $53 Il segno meno che appare nella formula può essere risolto o con una tensione di riferimento negativa oppure facendo seguire all operazionale un circuito amplificatore con guadagno -1. Il valore massimo calcolato ci permette di ricavare il valore di fondo scala. Il valore massimo è per definizione: $53 8 Dove V FSR è la tensione di fondo scala e Q rappresenta la risoluzione o quanto del DAC. La risoluzione è la minima variazione della tensione d uscita quando l ingresso passa da una configurazione binaria a quella successiva. Quindi, per confronto con la precedente espressione, possiamo ricavare: 1 Ed anche : 8 Si osservi che la risoluzione può essere espressa in termini di tensione di fondo scala: Ossia: 8 8 Il principale inconveniente di questo schema è la grande disomogeneità dei valori dei resistori. Ad esempio, un DAC a 12 bit se pensiamo di prendere un valore di 1K-Ohm per il resistore MSB, il valore del resistore LSB deve essere dell ordine di 2 12 volte il valore per la resistenza MSB, ossia dell ordine del M-Ohm. Valori troppo diversi che comportano problemi di instabilità del circuito nella conversione. Lo schema va bene per DAC con n piccolo (3,). Pag. 2

3 Calcoliamo la corrente che viene generata per una data configurazione dei bit. Si ha: Uno schema perfettamente equivalente può essere realizzato con i resistori i cui valori non si dimezzano, come nello schema appena trattato, ma bensì raddoppiano ad ogni passaggio successivo. Osserviamo lo schema riportato qui a lato. I valori dei resistori sono presi in modo che dal passaggio di un bit al successivo, iniziando dall alto, i valori raddoppiano. La prima resistenza è assunta 2R, la seconda R, la terza 8R, ecc. ecc. L ultima resistenza sarà 2 n R. In questo caso la resistenza determina il bit LSB e MSB. Infatti, poiché il contributo alla corrente generale è più alto nella prima resistenza, cioè quella di valore 2R, questo valore determina il bit MSB, mentre l ultima resistenza, quella 2 n R, individua il bit LSB.,,- L espressione calcolata fornisce la corrente dovuta alla configurazione dei bit in ingresso dovuto al numero N x. Si possono mettere a fattore alcuni termini. Infatti:.,,- / Conviene riscrivere l espressione facendo in modo che le potenze del 2 compaiano al numeratore. Infatti, mettendo in evidenza 2 n si ha:.,,- / Da cui si vede che l espressione in parentesi è proprio il numero N x. Per cui si ha: Questa espressione rappresenta la corrente fornita dal circuito per una configurazione binaria in ingresso. La corrente totale è Scriviamo adesso l espressione dell uscita dell operazionale. Ossia, ricordando che è un convertitore I-V: L uscita assume valore massimo: %*' % $53 % Da questa espressione possiamo ricavare la tensione di fondo scala e la risoluzione. Ossia: 8 % Bisogna ricordare che V max = V FSR Q. Pag. 3

4 Lo schema che segue è quello di un convertitore DAC con rete a scala, detto anche a commutazione di tensione. Osserviamo lo schema e cerchiamo di capire come è stato realizzato. Tutte le resistenze che possono essere collegate a massa hanno un valore pari a 2R. Tutte le altre hanno valore R. L operazione è in configurazione di adattatore di impedenza, per cui può far seguito un amplificatore. La tensione V o è la tensione di riferimento. I commutatori permettono di collegare le resistenze 2R o al valore della tensione di riferimento V 0 oppure a massa. Supponiamo che tutti i commutatori sono messi in modo che le resistenze 2R risultino collegate a massa. Si nota subito che il nodo A presenta due resistenze da 2R in parallelo: al nodo A è come se vi fosse una sola resistenza di valore R. In questo caso al nodo B fanno capo una resistenza da 2R, che tramite il commutatore è collegata a massa, e una serie di due resistenze di valore R collegate verso massa. Questo significa che al nodo B è come se vi fosse una sola resistenza R collegata verso massa. Continuando l analisi, possiamo dire che ogni nodo vede sottostante la sua posizione una sola resistenza di valore R, se tutti i commutatori sottostanti sono orientati verso massa. Nel caso che tutti i commutatori sono orientati verso massa, al nodo D vi è una sola resistenza di valore R sottoposta ad una tensione nulla. In quest ultimo caso l uscita V out è nulla. Sulla base di quanto detto cerchiamo di calcolare il contributo alla tensione di uscita in funzione di ciascun commutatore. Supponiamo che il solo commutatore indicato con B 1 è commutato verso la tensione di riferimento V 0 mentre tutti gli altri sono commutati verso massa. Per l analisi fatta prima, possiamo dire che sotto il noto C vi è una sola resistenza di valore R, essendo i commutatori orientati verso massa. Quindi il circuito si trasforma come quello riportato qui a lato. In questo caso possiamo ricavare il contributo di questo primo ingresso binario. E intuitivo che tale contributo è: Si osservi che il valore di ½ è stato scritto sotto forma di potenza del 2. Calcoliamo il contributo del secondo bit, indicato con B 2. In questo caso dobbiamo considerare che il primo commutatore è orientato verso massa, quindi la resistenza da 2R al nodo D è collegata a massa. Sempre dal nodo D esce una resistenza di valore R e al nodo C vi è una resistenza di 2R collegata alla tensione V 0 e, per l analisi fatta in precedenza, due resistenze di valore R messe in serie con collegamento a massa, come si vede dalla schema riportato qui a lato. Non è difficile dimostrare che il potenziale nel punto D è pari a ¼ della tensione di riferimento V 0, ossia: Questo risultato è vero perche guardando nel nodo C la rete elettrica è equivalente ad un generatore di valore pari a V o /2 con una resistenza in serie di valore pari a R (Thevenin). Da questi due risultati appena scritti possiamo ricavare l espressione generale del contributo relativo al bit B i. Ossia: Osserviamo adesso che la rete resistiva è una rete lineare, ciò vuol dire che per essa vale il principio di sovrapposizione degli effetti. Quindi, se in ingresso abbiamo un numero generico N x = (B o,b 1,B 2 B n-1 ), possiamo ricavare l espressione della tensione di uscita sommando semplicemente i vari contributi. Ossia: %*' 9 9, Pag.

5 In questa espressione abbiamo supposto il caso generale di n ingressi binari. Mettiamo in evidenza il Valore V 0 e seguiamo qualche passaggio matematico: %*' : 9 9,-- ; In questa espressione oltre a mettere in evidenza V 0 abbiamo anche moltiplicato e diviso per uno stesso numero senza cambiale il valore dell espressione. Moltiplichiamo 2 n che sta al numeratore per ciascun addendo dell espressione. Si ha: %*'. 9 9,-- / Dall espressione in parentesi ci accorgiamo che il valore del bit B n non è il MSB ma, bensì, è il valore LSB, poiché è legato alla potenza 2 0. Mentre B 1 è il MSB perché è legato al peso più grande, ossia 2 n-1. Quindi, cambiando semplicemente nome agli indici, possiamo scrivere: %*'. 9 9,-- / In questa espressione si riconosce facilmente che tra parentesi vi è l espressione binaria di un numero N x che può assumere valore tra 0 e 2 n-1, con n il numero di bit di ingresso al DAC. L espressione del valore massimo che assume l uscita, quando tutti i coefficienti B i valgono 1, è: $53. / Da questa espressione possiamo calcolare sia la tensione di fondo scala che la risoluzione o quanto Q: $53 8 Ossia : E quindi: 8 Pag. 5

6 Lo schema di un convertitore DAC con rete a scala e a commutazione di corrente è lo schema che segue. In linea di principio è molto simile a quello studiato in precedenza. I resistore con valori da 2R sono solo quelli che possono essere collegati a massa. Tutti gli altri resistori hanno valore R. Come per lo schema studiato in precedenza, anche qui vale la regola che se i commutatori sono orientati verso la massa la resistenza che si vede dal nodo è R. Quindi, se per ipotesi i commutatori sono tutti orientati verso massa, al nodo A è collegato una sola resistenza di valore R. Bisogno osservare che a differenza dello schema precedente i commutatori possono collegare gli ingressi binari una volta a massa reale e una volta alla massa virtuale dell operazionale, come si vede dallo schema. Quindi, sia che i commutatori siano orientato verso massa reale o virtuale risultano sempre orientati verso massa. Questo significa che la tensione di riferimento V o vede una sola resistenza di valore R e, pertanto, a prescindere dalla posizione dei commutatori si genere una corrente costante di valore pari a V o /R. Calcoliamo il contributo di corrente dato dal primo ingresso binario. Supponiamo che il commutatore B 1 è orientato verso massa virtuale, e tutti gli altri a massa reale. In questo caso nel nodo A fanno capo due resistenze di uguale valore 2R, come è evidente dall analisi dello schema elettrico. Poiché abbiamo detto che nel nodo A entra una corrente pari a V 0 /R, è evidente che questa si divide in due parti: una metà fluisce verso la massa reale e un altra metà fluisce verso l operazionale. Possiamo, quindi, scrivere: Calcoliamo il contributo del secondo ingresso binario. Se il solo commutatore B 2 è orientato verso la massa virtuale allora una metà della corrente I 1 fluisce attraverso la resistenza 2R per raggiungere l operazionale e l altra metà fluisce verso il nodo C. Il contributo di corrente dovuto a questo commutatore è: Con lo stesso ragionamento si può calcolare il contributo generico del commutatore binario B i : < < < E necessario fare una precisazione. I contributi calcolati, I 1, I 2 ecc.ecc, sono contributi che esistono sempre, a prescindere dalla posizione dei commutatori. Questi fanno sì da convogliare le quantità di corrente o nell operazione oppure verso massa, a secondo dei valori assunti da B i. L espressione della corrente che entra nell operazionale può essere scritta come segue:.= > /0 < < L espressione in parentesi può essere modificata nel seguente modo: <1? > A? / Nell ultima espressione si riconosce il numero binario N x. Per poterlo riconoscere facilmente è sufficiente cambiare il nome ai commutatori binari: B n diventa B 0, B n-1 diventa B 1 ecc. ecc. fino a B 0 che diventa B n-1. Quindi possiamo scrivere: Questa espressione rappresenta la corrente che entra nell operazionale in funzione della combinazione binaria dei commutatori. Calcoliamo la tensione di uscita, considerato che il circuito è un convertitore Corrente-Tensione. Si ha BCD E.= > / E Pag. 6

7 Questa è la tensione in funzione del numero N x che in forma binaria mettiamo in ingresso. Calcoliamo il valore massimo: $53 Ricordando la relazione: $53 8 Possiamo scrivere: E quindi in definitiva: $53. /. 8 / Ed anche: 8 Pag. 7