Rappresentazioni numeriche

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1 Rappresentazioni numeriche Un numero è dotato di un valore una rappresentazione La rappresentazione di un numero è il sistema che utilizziamo per indicarne il valore. Normalmente è una sequenza (stringa) di simboli provenienti da un alfabeto es. il sistema di rappresentazione dei numeri utilizzato dai romani era un sistema additivo: ad ogni simbolo corrisponde un valore; il valore del numero si otteneva sommando e/o sottraendo i valori dei simboli: VII = 5+1+1=7 LIX = 50+(10-1) = 59

2 Rappresentazioni numeriche Il sistema che utilizziamo normalmente è un sistema posizionale La rappresentazione del numero è data da una stringa di simboli (cifre) provenienti da un alfabeto la cui cardinalità b costituisce la base della rappresentazione Ogni cifra di una stringa ha un peso che dipende dalla posizione della cifra nella stringa La posizione viene numerata da 0 a partire dalla cifra delle unità Es. per il numero 5435: posizione cifre

3 Rappresentazioni numeriche Il peso della cifra di posto k è pari a b k Il valore del numero è dato dalla somma di ciascuna cifra moltiplicata per il proprio peso La definizione si estende anche ai numeri con parte frazionaria considerando le posizioni negative es =

4 Rappresentazioni numeriche In generale il valore x del numero avente n cifre intere e m frazionarie, rappresentato dalla sequenza: c n 1 c n 2...c 1 c 0. c 1...c m in cui le cifre provengono da un alfabeto A avente b cifre, è dato da: k=n 1 k= m c k b k

5 Rappresentazioni numeriche Il valore del numero non cambia cambiando la base. Le operazioni che eseguiamo sui numeri sono invarianti rispetto ai cambiamenti di base La somma, moltiplicazione etc. si eseguono con le stesse modalità (stesso algoritmo) in tutte le basi Per effettuare i calcoli dobbiamo 'imparare' le operazioni con i numeri di una cifra (le tabelline pitagoriche) Dobbiamo avere a disposizione un alfabeto

6 Conteggio in base 10, 2, 5 e A A B A B C B C D C D E D E F E F F

7 Somma e sottrazione Il meccanismo dei riporti e dei prestiti funziona nel modo consueto: riporti prestiti = = riporti prestiti = =

8 Moltiplicazione e divisione Gli algoritmi della moltiplicazione e della divisione sono i soliti: * = * =

9 Somma e sottrazione In esadecimale abbiamo 16 cifre: si utilizzano le lettere da A a F: A B C D E F riporti A B C D E F A 8 F A B C D E F 10 B 2 C = A B C D E F B A B C D E F A B C D E F prestiti A B C D E F A C A B C D E F F 6 D = A B C D E F B A B C D E F A B C D E F A A B C D E F B B C D E F A C C D E F A 1B D D E F A 1B 1C E E F A 1B 1C 1D F F A 1B 1C 1D 1E

10 Moltiplicazione e divisione In esadecimale abbiamo 16 cifre: si utilizzano le lettere da A a F: * A B C D E F A 8 F 6 * C = A B C D E F 7 E B A C E A 1C 1E B C F B 1E A 2D 5 C C C C C A F E D C B C E 24 2A C E 54 5A E 15 1C 23 2A F 46 4D 54 5B A C 2 2 F E 2 F B 24 2D 36 3F A 63 6C 75 7E 87 2 C C A 0 A 14 1E C A 64 6E C 96 2 C 1 B 0 B C D E F 9A A5 B 2 C 0 C C C C A8 B4 8 D D 0 D 1A E 5B F 9C A9 B6 C3 2 5 E 0 E 1C 2A E 8C 9A A8 B6 C4 D2 F 0 F 1E 2D 3C 4B 5A A5 B4 C3 D2 E1

11 Conversioni di base La formula he fornisce il valore di un numero può essere utilizzata per ottenere le rappresentazioni nelle varie basi: se la applichiamo al numero 283 e usiamo l'aritmetica della base 10 (la consueta) otteniamo ovviamente: 283=

12 Conversioni di base Se utilizziamo invece l'aritmetica in base 5, ricordando che: = =13 5 dall'espressione in base = = otteniamo, operando in base 5, = = =2113 5

13 Conversioni di base Se l'espressione la calcoliamo in base 2: 283= = ma: = = = =11 2 otteniamo, operando in base 2, = = =

14 Conversioni di base Se l'espressione la calcoliamo in base 16: 283= = ma: =A 16 A 2 =64 16 otteniamo, operando in base 16, 2 A 2 8 A 3= =C8 50 3=11B

15 Conversioni di base D'altronde se calcoliamo le tre espressioni in aritmetica decimale otteniamo: = = = = = =283 11B 16 = = =283

16 Conversioni di base La formula polinomiale ci risulta più facile da applicare se dobbiamo lavorare in base 10 Quindi ogni volta che dobbiamo convertire un numero da una base b diversa da 10, in base 10. Per effettuare la conversione da base 10 a una altra base, ma usando l'aritmetica decimale, si ricorre al metodo delle divisioni successive

17 Conversioni di base Consideriamo la parte intera del numero: x=c n 1 b n 1 c n 2 b n 2.. c 1 b c 0 mettendo in evidenza b x=b c n 2 b n 2 c n 3 b n 3..c 1 c 0 = b q 1 c 0 ovvero c 0 é il resto della divisione di x per b In tal caso la divisione e il calcolo del resto vengono effettuati in base 10

18 Conversioni di base Riferendoci all'esempio precedente, organizzando le divisioni in colonna e scrivendo solo i resti: Base 5 Base 2 Base B X = X = 11B 16 X =

19 Parte frazionaria Consideriamo ora la parte frazionaria del numero: x=c 1 b 1 c 2 b 2... moltiplicando per b x b=c 1 c n 2 b 1 c n 3 b n 2...= c 1 x 1 ovvero c 1 é la parte intera del prodotto di x e b mentre x 1 ne é la parte frazionaria. Anche in tal caso i calcoli vengono effettuati in base 10

20 Parte frazionaria Applicando ricorsivamente la stessa procedura otteniamo la sequenza delle cifre: x b=c 1 x 1 x 1 b=c 2 x 2 x 2 b=c 3 x 3 x 3 b=c 4 x 4... In tal caso la sequenza potrebbe non finire ossia il numero risulta periodico.

21 Parte frazionaria Base 5 Base 2 Base 16 0,23 1,15 0,23 0,46 0,23 3,68 3 0,15 0,75 0,46 0,92 0,68 10,88 A 0,75 3,75 0,92 1,84 0,88 14,08 E 0,75 3,75 0,84 1,68 0,08 1,28 1 0,75 3,75 0,68 1,36 0,28 4,48 4 0,75 3,75 0,36 0,72 0,48 7,68 7 0,72 1,44 0,68 X = 0,10(3) 5 0,44 0,88 0,88 1,76 X = 0,3(AE147) 16 0,76 1,52 0,52 1,04 0,04 0,08 0,08 0,16 0,16 0,32 0,32 0,64 0,64 1,28 0,28 0,56 0,56 1,12 0,12 0,24 0,24 0,48 0,48 0,96 0,96 1,92 0,92 X = 0,00( ) 2

22 Parte frazionaria Un numero può diventare periodico cambiando la base di rappresentazione Es. 0.1 in base 10 diventa periodico quando lo si converte in base 2 Ne segue che la semplice rappresentazione in binario di un numero, anche se razionale, può dare origine ad errori di approssimazione. Infatti i registri della CPU e la memoria sono costituiti da un numero finito di bit.

23 Base 2 e base 16 Per convertire un numero da una base b ad una b k è sufficiente raggruppare le cifre a gruppi di k. (Dimostrare per esercizio) Es. da base 2 a 16=2 4 si raggruppano le cifre in gruppi di 4 e ad ogni gruppo si sostituisce la cifra esadecimale corrispondente C D A

24 Base 2 e base 16 La base esadecimale è utilizzata normalmente per esprimere in forma compatta le sequenze binarie Anche in Java è possibile esprimere costanti numeriche esadecimali usando il prefisso 0x : 0xA82B 0xF02A Per rappresentare caratteri Unicode si usa il prefisso \u : \u03b1

25 Numeri con segno I numeri negativi si possono rappresentare in modulo e segno (come facciamo normalmente) Un bit (es. quello più a sinistra) rappresenta il segno I restanti bit il modulo Non è una rappresentazione efficiente: Ci sarebbero 2 zeri; es. a 8 bit: e I circuiti aritmetici sarebbero più complicati Per la sottrazione bisogna determinare il numero con il modulo più grande ecc.

26 Complemento alla base Quando si opera con un numero finito di cifre si rappresentano i numeri negativi con il metodo del complemento alla base. In binario, se abbiamo N bit a disposizione, possiamo rappresentare 2 N numeri diversi: Es. da 0 a 2N -1 : solo numeri positivi da -2 N-1 a 2 N-1-1 : metà sono positivi e metà negativi (complemento a 2) Lo 0 è considerato positivo senza particolari conseguenze, ma ha una sola rappresentazione.

27 Complemento alla base r(x) 0 2 N N 1 2 N 1 x 2 N N 1 1 r x = x se 0 x 2N 1 2 N x=2 N x se 2 N 1 x 0

28 Complemento a 2 r(x) x Es. con 4 bit I numeri andranno da -8 a +7 Qualsiasi operazione che fornisca un risultato che ecceda questi limiti origina un errore di overflow Il bit più a sinistra indica il segno E' facile dimostrare che se il peso del bit di segno si considera negativo si può utilizzare la formula polinomiale per ottenere il valore. se x 0 allora r x 2 N 1 e quindi il bit più a sinistra di r x vale1; da x=r x 2 N otteniamo che il suo peso da 2 N 1 diventa 2 N 1 2 N = 2 N 1

29 Cambio di segno Definiamo l'operazione di complemento a 2 C 2 y =2 N y Fare il complemento a 2 equivale a cambiare di segno il numero. Vale: C 2 r x =r x Infatti: C 2 r x = 2N x = 2 N x = r x se 0 x 2 N 1 2 N 2 N x = x = r x se 2 N 1 x 0

30 Cambio di segno Se analizziamo l'operazione C 2 y =2 N y= 2 N 1 y 1 Osserviamo che 2N -1 è un numero formato da N bit di valore 1 es = = Per cui l'operazione tra parentesi equivale a invertire i bit di y: C 2 6 = = = =1010 2

31 Cambio di segno pesi = = Inversione dei bit Somma = =-90

32 Cambio di segno (alt.) Passo 1: lascia invariati i bit fino al primo 1 (compreso) Passo 2: inversione dei bit rimanenti Dimostrare l'equivalenza dei due metodi

33 Le operazioni In pratica le operazioni si eseguono in sulle rappresentazioni trascurando i riporti oltre la N-esima cifra In particolare la sottrazione si realizza sommando al minuendo il complemento a 2 del sottraendo Si ha overflow quando sommando 2 numeri di stesso segno si ottiene un numero di segno opposto