LA TRASMISSIONE DELLE INFORMAZIONI SECONDA PARTE 1

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1 LA TRASMISSIONE DELLE INFORMAZIONI SECONDA PARTE 1 La rappresentazione dei numeri con la virgola 1 Conversione da decimale in altre basi di numeri con virgola 2 La moltiplicazione in binario 9 Divisione binaria 10 Il problema dell overflow 17 La trasmissione delle informazioni Seconda Parte La rappresentazione dei numeri con la virgola Anche in basi diverse da quella decimale, si possono avere numeri con la virgola, che presentano cioè una parte il cui valore è minore dell unità. Ad esempio 1A3F, , , La conversione di questi numeri in base 10 è immediata. Basta fare l analogia con i numeri in base 10. ad esempio, nel numero 112,18 10 la cifra 1 dopo la virgola ha peso 10-1, la cifra 8 ha peso 1/100 cioè In maniera analoga 1A3F,32 16 = 1* A* *16 + F + 3* *16-2 = = 1* * * * * = = =

2 374,453 8 = 3* * * * * *8-3 = = 3* * * * = = = = , = 0* * * *2 4 +1* * * *2 0 +0* * * * *2-5 = /4 + 1/8 + 1/32 = = Conversione da decimale in altre basi di numeri con virgola Vediamo come si converte un numero con virgola in base 10 in altre basi. Notiamo che un numero con virgola si può esprimere in una base generica qualsiasi nella maniera seguente N,M = c n b n + c n-1 b n c 1 b 1 + c 0 b 0 + c -1 b -1 + c -2 b c -k b -k [Ad esempio = 0* * * *2 4 +1* * * *2 0 +0* * * * *2-5 = , quindi N = 43 e 0,M = ] Notiamo che la parte intera è N = c n b n + c n-1 b n c 1 b 1 + c 0 b 0 [ nel nostro esempio 43 = 0* * * *2 4 +1* * * *2 0 ] si può convertire in altre basi con il metodo delle divisioni successive già visto in precedenza mentre la parte decimale è 0,M = c -1 b -1 + c -2 b c -k b -k [nel nostro esempio 0,M = = 0* * * * *2-5 ] 2

3 Moltiplicando tale parte per b si ha 0,M*b = c -1 + c -2 b c -k b -k+1 = c -1,M [nel nostro esempio *2= 0,8125 quindi c -1 = 0 e 0,M = ] per cui otteniamo la prima cifra dopo la virgola nella nuova base. Se prendiamo la parte che si trova a destra della virgola si ha 0,M = c -2 b c -k b -k+1 [nel nostro esempio 0,8125 = 1* * * *2-4 ] e lo moltiplichiamo ancora per 2 si ha 0,M *2 = c -2 + c -3 b -1 + c -k b -k+2 = c -2,M [nel nostro esempio 0,8125*2 = 1,625 = * * *2-3 per cui c -2 = 1 e 0,M = 0.625] Allora abbiamo trovato il procedimento per convertire la parte decimale del numero. Si moltiplica per 2 e si prende come prima cifra della conversione ciò che appare a sinistra della virgola, poi si considera il numero costituito dalla parte prima della virgola nulla e dalla parte che si trova dopo la virgola e si moltiplica ancora per due. La seconda cifra sarà data da ciò che appare a sinistra della virgola, si prende il numero che ha la parte prima della virgola nulla e e che ha a destra della virgola la parte che si trova a destra della virgola nel numero precedente e si prosegue. Il procedimento si arresta quando anche la parte dopo la virgola è diventata nulla (naturalmente se abbiamo numeri reali con un numero infinito di cifre decimali il procedimento non ha termine e si prosegue fino all approssimazione ritenuta accettabile). 3

4 Ad esempio convertiamo in binario il numero parte intera 43, parte decimale Convertiamo prima la parte intera Passiamo ora alla parte decimale disponiamo i numeri in colonne ponendo sulla prima le parti decimali dei vari risultati delle moltiplicazioni per 2 mentre nella terza colonna mettiamo le parti intere dei risultati delle moltiplicazioni Il risultato della conversione della parte decimale si ottiene scrivendo da sinistra a destra le cifre della terza colonna a partire dalla prima. Il numero convertito è allora ,

5 Vediamo altri esempi 1458, Numero da convertire 1458,4578 Parte intera 1458 Parte decimale 0,

6 0 1 0, , , , , , , , , , , , , , , , , ,

7 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

8 0, ,75 1 0, , = , Procedimento analogo per la conversione in altre basi. Ad esempio Numero da convertire 1.785,45000 Parte intera 1785 Parte decimale 0,45 In esadecimale F , ,2 33 8

9 0,2 33 0,2 33 0,2 33 0,2 33 0, , , , , = 6F9, La moltiplicazione in binario Le operazioni di moltiplicazione in binario si possono effettuare con lo stesso algoritmo utilizzato per quelle decimali. Ad esempio

10 Si moltiplica il primo termine per la prima cifra del secondo termine della moltiplicazione, poi lo si moltiplica per il secondo termine ma il risultato va incolonnato spostato a sinistra di una posizione e così via. Infine si sommano tutti i risultati parziali. Divisione binaria Anche la divisione binaria avviene con lo stesso metodo che si utilizza per la divisione in base 10. Facciamo un esempio 10

11 quoziente dividendo divisore 1 dividendo parziale complemento a 2 divisore Si abbassa, a partire da sinistra, un numero di cifre del divisore pari a quelle del divisore. Si sottrae al dividendo parziale il divisore effettuando la somma fra dividendo e complemento a due del divisore. Se il risultato viene positivo (basta analizzare il bit più significativo MSB) si pone ad 1 il primo bit del quoziente altrimenti lo si pone a 0. Se il risultato della sottrazione è stato positivo esso costituisce il nuovo dividendo parziale a altrimenti si ripristina il vecchio dividendo. In ogni caso si abbassa un altro bit e lo si affianca al dividendo, ripetendo la sottrazione fra dividendo parziale e divisore. 11

12 quoziente dividendo divisore 1 0 dividendo parziale complemento a 2 divisore Si ripete l operazione quoziente dividendo divisore dividendo parziale complemento a 2 divisore Tabella 1 quoziente dividendo divisore dividendo parziale

13 complemento a 2 divisore

14 quoziente dividendo divisore dividendo parziale complemento a 2 divisore

15 quoziente dividendo divisore dividendo parziale complemento a 2 divisore

16 quoziente dividendo divisore dividendo parziale complemento a 2 divisore Il procedimento termina quando abbiamo abbassato tutte le cifre. Otteniamo allora il quoziente con in basso a sinistra il resto della divisione 16

17 Il problema dell overflow Si ha overflow quando un operazione da un risultato che non può essere rappresentato correttamente poiché fuoriesce dal range di valori codificabili dai registri del microprocessore. Se, ad esempio, abbiamo un microprocessore con registri ad 8 bit, questi possono contenere soltanto numeri compresi fra 128 e +127, ma se facciamo la somma fra due registri che contengono, ad esempio, +110 e +80, la somma dovrebbe fra +190 che è un numero non esprimibile in un registro ad 8 bit. E evidente che deve succedere qualcosa di anomalo, proviamo ad eseguire l istruzione Bit 7 Bit 6 Bit 5 Bit 4 Bit 3 Bit 2 Bit 1 Bit 0 PRIMO NUMERO SECONDO NUMERO 8 RIPORTI RISULTATO Notiamo che il risultato ha il MSB (Most Significant BiT) ad 1, per cui per il microprocessore la somma di due numeri postivi da un numero negativo! In realtà vediamo che il riporto sul bit 6 ha sporcato il bit 7 cambiandone il segno. Vediamo altri esempi Bit 7 Bit 6 Bit 5 Bit 4 Bit 3 Bit 2 Bit 1 Bit 0 PRIMO NUMERO SECONDO NUMERO RIPORTI RISULTATO

18 Cosa analoga può aversi se sommiamo due enumeri negativi troppo piccoli Bit 7 Bit 6 Bit 5 Bit 4 Bit 3 Bit 2 Bit 1 Bit 0 PRIMO NUMERO SECONDO NUMERO RIPORTI RISULTATO In questo caso è il riporto sul bit 7 a causare l errore cambiando il segno del risultato. Dobbiamo dedurne che si avrà overflow ogni volta che vi è un riporto sul bit 6 o 7? Non è sempre vero. Vediamo il seguente esempio Bit 7 Bit 6 Bit 5 Bit 4 Bit 3 Bit 2 Bit 1 Bit 0 PRIMO NUMERO SECONDO NUMERO RIPORTI RISULTATO Notiamo che in questo esempio si ha un risultato corretto poiché il riporto sul bit 6 rimette a posto il segno del risultato nonostante vi sia stato un riporto sul bit 7. Si da allora la regola generale che se vi è un riporto soltanto sul bit 6 o soltanto sul bit 7 vi è overflow mentre non vi se vi è riporto su entrambi o su nessuno. 18