Corso di Sistemi di Elaborazione delle informazioni

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1 Corso di Sistemi di Elaborazione delle informazioni I sistemi di numerazione Francesco Fontanella

2 La Rappresentazione dell'informazione La prima necessità che si ha quando si vuole elaborare dell informazione è quella della sua rappresentazione; Si usa il sistema di numerazione binario perchè: Massima semplicità realizzativa dei circuiti; Massima livello di affidabilità; 2

3 Il Concetto di Numero Il concetto di numero naturale è un astrazione che sorge dalla comune esperienza che gli oggetti possono essere presenti in quantità diverse. Ogni numero naturale fa riferimento ad una delle diverse quantità possibili. Nasce l esigenza di comunicare, memorizzare e calcolare numeri; C è bisogno di un modo per rappresentare i numeri 3

4 I sistemi di numerazione Sono stati inventati i SISTEMI DI NUMERAZIONE: Forme di rappresentazione dei numeri che impiegano sequenze di cifre; Una cifra è un simbolo appartenente ad un alfabeto finito; La rappresentazione di un numero naturale (numerale); assume forme diverse a seconda del sistema di numerazione utilizzato. 4

5 Il Sistema di Numerazione Romano Questo sistema di numerazione usa le cifre: I, V, X, L, C, D, M e si basa sul principio di additività: ogni cifra dà un contributo pari al suo valore. preso positivamente se rispetto l ordinamento decrescente, negativamente altrimenti. MCCDXIV rappresenta il numero 1314 Problemi Non è adatto a rappresentare numeri molto grandi; I non consente di effettuare calcoli in maniera agevole. 5

6 Il Sistema di Numerazione Arabo Il sistema di numerazione arabo, si è rapidamente diffuso a partire dal Medio Evo ed è quello che usiamo ancora oggi. Utilizza dieci cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; Si basa su un principio posizionale: la stessa cifra assume valori diversi a seconda della posizione assunta nella rappresentazione; Nei sistemi posizionali il numero di cifre utilizzato definisce la base del sistema: il sistema di numerazione arabo è a base 10. 6

7 La Rappresentazione Posizionale Il sistema numerico arabo è detto posizionale perché: ciascuna cifra rappresenta una quantità diversa a seconda della sua posizione all interno della stringa; questa quantità è il prodotto del valore numerico della cifra per una potenza intera della base; quanto più la cifra è a sinistra nella stringa tanto più essa è significativa perchè maggiore è la potenza per cui va moltiplicata; n=c k 1 b k 1 c k 2 b k 2 c 1 bc 0 7

8 Esempi di Sistemi di Numerazione Ecco alcuni dei sistemi di numerazione più usati: sistema binario (b = 2); sistema ottale (b = 8); sistema decimale (b = 10) sistema esadecimale (b = 16); Quando si usano sistemi di numerazione con basi differenti, la base b viene specificata con un pedice: =

9 Sistemi Posizionali: Esempi Decimale (es ) cifre pesi Cifre x pesi Binario (es = 7 2 ) cifre pesi Cifre x pesi

10 Conversione da binario a decimale Per quanto già visto nell'esempio precedente, la conversione da binario a decimale si effettua moltiplicando il valore della cifra i-esima per quello del peso corrispondente. ESEMPIO cifre pesi Cifre x pesi = =

11 Conversione da Binario a Decimale: Metodo Semplificato Da base 2 a base 10 (es ) è possibile sommare solo le potenze: = =

12 Conversione da Decimale a Binario La conversione da decimale a binario avviene per dividendo in maniera iterativa per 2 e utilizzando i resti: Esempio Convertire la rappresentazione di in base Cifra a destra (meno significativa) = Cifra a sinistra (più significativa)

13 Conversione da Decimale a Binario: metodo semplificato =

14 Sistemi di numerazione ottale ed esadecimale Quando per la rappresentazioen di un numero binario si usano molte cifre conviene utilizzare altri sistemi di numerazione. I sistemi ottale ed esadecimale sono usati principalmente per rappresentare in maniera compatta i numeri binari I simboli del sistema ottale sono 8: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 I simboli del sistema esadecimale sono 16: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, A, B, C, D, E, F 14

15 Cambiamenti di Base Binario ottale Per passare dalla codifica binaria a quella ottale, si raggruppano le cifre binarie a gruppi di 3 (2 3 = 8) a partire da destra e le si sostituiscono con una cifra del sistema ottale Esempio: = ottale binario Per passare dalla codifica ottale a quella binaria, si sostituisce ad ogni cifra ottale la corrispondente cifra binaria (composta da 3 cifre): Esempio: =

16 Cambiamenti di Base Binario esadecimale Per passare dalla codifica binaria a quella esadecimale, si raggruppano le cifre binarie a gruppi di 4 (2 4 = 16) a partire da destra e le si sostituiscono con una cifra del sistema esadecimale Esempio: = 91F 8 esdecimale binario Per passare dalla codifica esadecimale a quella binaria, si sostituisce ad ogni cifra esadecimale la corrispondente cifra binaria (composta da 4 cifre): Esempio: A7F 8 =

17 Tabella di conversione Decimale binario ottale esadecimale A B C D E F 17

18 Esercitazione: conversione binario-decimale Convertire in decimale le seguenti rappresentazioni binarie dei numeri relativi (segno e modulo):

19 Esercitazione: conversione binario-decimale Convertire in decimale le seguenti rappresentazioni binarie dei numeri relativi (segno e modulo):

20 Esercitazione: conversione decimale-binario Convertire in binario (segno e modulo) le seguenti rappresentazioni decimali, utilizzando 8 bit: