Abilità Informatiche e Telematiche

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1 Abilità Informatiche e Telematiche (Laurea Triennale + Laurea Magistrale) Marco Pedicini mailto:marco.pedicini@uniroma3.it Corso di Laurea Magistrale in Informazione, Editoria e Giornalismo, Università Roma Tre 23 Febbraio Maggio 2012

2 Parte VIII UD 5.1 La rappresentazione dell informazione

3 Alla fine di questa UD sarai in grado di Sapere come l informazione viene memorizzata in un calcolatore Conoscere i sistemi di numerazione posizionali ed in particolare il sistema di numerazione in base dieci e il sistema di numerazione in base due Effettuare operazioni in binario saper convertire un numero dalla base due alla base dieci e viceversa

4 Contenuti Vincoli per la rappresentazione dell informazione all interno di un calcolatore bit e byte Strategie per la codifica dei dati Sistemi di numerazione posizionale Base dieci Base due Operazioni in algebra binaria Conversione di un numero Conversione dal sistema decimale al binario Conversione dal sistema binario al sistema decimale

5 La codifica dei dati

6 L informazione all interno del calcolatore La possibilità di rappresentre informazione in un calcolatore è condizionata da due vincoli: 1 il calcolatore gestisce solo sequenze di bit in quanto i dispositivi elettronici possono facilmente rappresentare le due cifre 0 e 1 2 il calcolatore ha una memoria limitata ne segue che la quantità di memoria dedicata alla rappresentazione di una singola informazione è anch essa limitata Questi due vincoli sono largamente indipendenti tra loro anche se il calcolatore avesse una memoria infinita dovremmo comunque studiare il modo di rappresentare i dati in binario anche se il calcolatore potesse memorizzare direttamente informazioni generiche (per esempio numeri decimali) avremmo comunque il problema della limitatezza della sua memoria

7 Codifica dei dati il bit In un calcolatore i dati e le istruzioni di un programma sono codificati in forma binaria, ovvero come sequenze finite di cifre 0 e 1 il bit è la forma elementare (atomica) di dato memorizzabile in un calcolatore un bit può avere valore 0 oppure 1 la parola bit è una forma contratta per binary digit (cifra binaria) ciascun bit è memorizzato in una cella elementare di memoria, fisicamente realizzata come dispositivo elettronico bistabile (in cui sono chiaramente distinguibili due stati) questi due stati vengono fatti corrispondere allo 0 e all 1 Un bit è quindi un dato che può essere utilizzato soltanto per rappresentare una informazione binaria Per rappresentare altre tipologie di informazioni sono necessarie sequenze di bit

8 Codifica dei dati il byte Il byte è la più piccola sequenza di bit un byte è una sequenza di 8 bit Le possibili combinazioni degli 8 bit in un byte sono 2 8 = 256 un byte può essere utilizzato per rappresentare un valore tra 256 diversi possibili valori ad esempio, un piccolo numero intero, un carattere in un alfabeto che contiene non più di 256 caratteri,... in generale, sono possibili diverse scelte sull insieme dei valori possibili ad esempio, con un byte si può rappresentare un numero naturale compreso nell intervallo da 0 a 255, oppure un numero intero relativo nell intervallo da -128 a +127 Per rappresentare altre tipologie di informazioni sono necessarie sequenze di bit più grandi

9 Strategie per la codifica dei dati Nel codificare una informazione in un dato binario possiamo usare due diverse strategie codifica tabellare applicabile quando l insieme dei valori che può assumere l informazione è finito si fa corrispondere ad ogni valore dell informazione una diversa combinazione di 0 e di 1 conversione di base applicabile quando l informazione è un numero in base 10 si premette una fase di traduzione in cui il numero viene convertito in base 2

10 L aritmetica binaria con memoria illimitata

11 Sistema di numerazione posizionale i numeri naturali sono di solito rappresentati tramite un sistema di numerazione posizionale i simboli utilizzati nella rappresentazione del numero hanno un peso dipendente dalla loro posizione all interno della stringa il sistema di numerazione abituale utilizza la base dieci (detto anche decimale) la numerazione in base dieci fa uso di dieci simboli (cifre): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 un numero è denotato da una sequenza di cifre il valore di una cifra dipende dalla cifra stessa e dalla sua posizione nella sequenza per esempio la sequenza di cifre 563 corrisponde al numero = 563

12 Sistema di numerazione in base dieci La sequenza di cifre Rappresenta il numero = = 563 la cifra 5 pesa di più della cifra 6 perché si trova in una posizione più a sinistra (più significativa)

13 Base generica b Il sistema di numerazione posizionale può essere generalizzato a qualsiasi base b, disponendo di b simboli diversi la sequenza di cifre rappresenta il numero XY Z X b 2 + Y b 1 + Z b 0

14 Esempi di basi di uso frequente Sistema di numerazione in base dieci (o decimale) utilizza i simboli 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 adottato per gli ovvi rapporti con la rappresentazione tramite flessione delle dita

15 Esempi di basi di uso frequente Sistema di numerazione in base dieci (o decimale) utilizza i simboli 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 adottato per gli ovvi rapporti con la rappresentazione tramite flessione delle dita Sistema di numerazione in base due (o binario) utilizza i simboli 0 e 1 adottato dai calcolatori elettronici per la facilità di rappresentare mediante grandezze elettromagnetiche due stati, corrispondenti ai due simboli 0 e 1

16 Esempi di basi di uso frequente Sistema di numerazione in base dieci (o decimale) utilizza i simboli 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 adottato per gli ovvi rapporti con la rappresentazione tramite flessione delle dita Sistema di numerazione in base due (o binario) utilizza i simboli 0 e 1 adottato dai calcolatori elettronici per la facilità di rappresentare mediante grandezze elettromagnetiche due stati, corrispondenti ai due simboli 0 e 1 Sistema di numerazione in base sedici (o esadecimale) utilizza i simboli 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F adottato per la sua compattezza e per la facilità di conversione con la rappresentazione binaria

17 Esempi di basi di uso frequente Sistema di numerazione in base dieci (o decimale) utilizza i simboli 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 adottato per gli ovvi rapporti con la rappresentazione tramite flessione delle dita Sistema di numerazione in base due (o binario) utilizza i simboli 0 e 1 adottato dai calcolatori elettronici per la facilità di rappresentare mediante grandezze elettromagnetiche due stati, corrispondenti ai due simboli 0 e 1 Sistema di numerazione in base sedici (o esadecimale) utilizza i simboli 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F adottato per la sua compattezza e per la facilità di conversione con la rappresentazione binaria Sistema di numerazione in base uno (o unario) utilizza solo il simbolo I non è veramente un sistema posizionale adottato talvolta perché il numero può essere incrementato facilmente con l aggiunta di una cifra (esempio: III + I = IIII)

18 Sistema di numerazione in base due Il sistema di numerazione in base due (detto anche binario) fa uso dei due soli simboli 0 e 1

19 Sistema di numerazione in base due Il sistema di numerazione in base due (detto anche binario) fa uso dei due soli simboli 0 e 1 dunque una sequenza di bit XY Z rappresenta il numero X Y Z 2 0

20 Operazioni con i numeri binari L aritmetica con i numeri binari è analoga a quella in base 10 bisogna solo ricordare che = 10 e quindi quando si sommano due 1 il risultato sarà 0 con il riporto di 1.

21 Operazioni con i numeri binari Esempio di sottrazione di interi lo sappiamo fare solo se il primo numero (minuendo) è maggiore del secondo numero (sottraendo)

22 Operazioni con i numeri binari Esempio di moltiplicazione di interi =

23 Operazioni con i numeri binari Moltiplicare un numero binario per 2 k equivale a traslare a sinistra tutte le cifre di k posizioni =

24 Operazioni con i numeri binari Esempio di divisione tra interi, si procede per sottrazioni successive Dunque il risultato si legge sulla colonna di destra ed è 100 il resto invece è ciò che troviamo in fondo alla successione di sottrazioni e in questo caso è 10.

25 Operazioni con i numeri binari Dividere per 2 k un numero in binario equivale a traslare tutte le cifre a destra di k posizioni (analogamente alla divisione per una potenza di 10 nel caso di un numero rappresentato in base 10).

26 Le conversioni di base

27 Schema generale Nella conversione di un numero nella rappresentazione in base x ad una rappresentazione in base y, si possono presentare i seguenti casi: 1 Si conosce l aritmetica nella base x ma NON si conosce l aritmetica nella base y (Caso 1) 2 Si conosce l aritmetica della base y ma NON si conosce l aritmetica della base x (Caso 2) 3 NON si conosce l aritmetica nella base y, NON si conosce l aritmetica nella base x (Caso 3)

28 Regole di Conversione Nei tre casi si applicano le seguenti regole: 1 Si applica la regola delle divisioni successive Es.: Base 10 => Base 2 (caso 1) 2 Si applica la regola dei pesi Es: Base 2 => Base 10 (caso 2) 3 Si passa per una base intermedia Z di cui si conosce l aritmetica Es.: Base 5 => Base 9 (passiamo per la base 10) (caso 3)

29 Conversione di un decimale in un binario La regola delle divisioni successive si itera la divisione del numero per la base (2) e si prende nota ad ogni iterazione del resto della divisione: quoziente resto

30 Conversione di un decimale in un binario La regola delle divisioni successive si itera la divisione del numero per la base (2) e si prende nota ad ogni iterazione del resto della divisione: quoziente resto

31 Conversione di un decimale in un binario La regola delle divisioni successive si itera la divisione del numero per la base (2) e si prende nota ad ogni iterazione del resto della divisione: quoziente resto

32 Conversione di un decimale in un binario La regola delle divisioni successive si itera la divisione del numero per la base (2) e si prende nota ad ogni iterazione del resto della divisione: quoziente resto

33 Conversione di un decimale in un binario La regola delle divisioni successive si itera la divisione del numero per la base (2) e si prende nota ad ogni iterazione del resto della divisione: quoziente resto

34 Conversione di un decimale in un binario La regola delle divisioni successive si itera la divisione del numero per la base (2) e si prende nota ad ogni iterazione del resto della divisione: quoziente resto Dunque il risultato si rilegge dalla colonna dei resti partendo dal basso:

35 Conversione da un binario ad un decimale La regola dei pesi viene dalla definizione stessa di sistema di numerazione posizionale: il valore rappresentato da una parola scritta in base 2 si ottiene sommando le potenze successive della base moltiplicate per la cifra nella posizione corrispondente. Esempio: il numero in base due si converte nel numero = = 19

36 Conversione tra basi qualunque Non conoscendo né l aritmetica della base di partenza e né quella della base di arrivo, si procede passando per una base intermedia.

37 Cosa abbiamo studiato Vincoli per la rappresentazione dell informazione nella memoria di un calcolatore bit e byte introduzione alle strategie per la codifica dei dati i sistemi di numerazione posizionale, con particolare attenzione al sistema di numerazione in base dieci e al sistema di numerazione in base due le operazioni in binario le regole dei cambiamenti di base la rappresentazione degli interi positivi

38 Parte IX UD 5.2 Rappresentazione di ulteriori dati numerici

39 Alla fine di questa UD sarai in grado di Scrivere la rappresentazione binaria di numeri interi relativi in algebra modulare modulo k: In modulo e segno In complemento a uno In complemento a due Svolgere operazioni in complemento a due Comprendere la circolarità della rappresentazione Saper rappresentare un numero razionale

40 La rappresentazione degli interi relativi

41 Rappresentazione di interi relativi Nella rappresentazione dei numeri interi relativi occorre destinare alcune combinazioni di bit alla rappresentazione dei numeri negativi oltre che alla rappresentazione dei numeri positivi: Il sistema intuitivo è quello di rappresentare esplicitamente il segno ed il modulo questa rappresentazione è chiamata modulo e segno Il sistema più utilizzato è però quello di usare il complemento alla base nel caso binario si dice rappresentazione in complemento a due

42 Rappresentazione modulo e segno Questa rappresentazione è di facile lettura, ma è difficile eseguire operazioni aritmetiche, perché il segno va trattato in maniera difforme dagli altri bit ed inoltre si hanno due zeri: zero positivo e zero negativo. Attenzione! La parola modulo qui ha il significato di valore assoluto ovvero numero senza segno, ad esempio il modulo (valore assoluto) di -3 è -3 =3. Il primo bit della sequenza rappresenta il segno, gli altri il modulo se il primo bit vale 0 allora il numero è positivo, altrimenti se vale 1 il numero rappresentato è negativo esempio con sequenze di quattro bit:

43 Operazione di complementazione Introduciamo, per la comprensione del prosieguo, una definizione fondamentale. Data una sequenza di k cifre che rappresenta il numero N in base b, si definisce: complemento alla base del numero N il valore C b = b k N complemento diminuito del numero N il valore C d = C b 1 Da cui si ricava che il complemento alla base si ottiene sommando 1 al complemento diminuito: C b = C d + 1

44 Operazione di complementazione Nel sistema binario, il complemento alla base C b prende il nome di complemento a due, mentre il complemento diminuito C d viene detto complemento a uno. Regola pratica di calcolo: nel sistema binario, il complemento a uno di un numero si ottiene semplicemente sostituendo nella sequenza di bit 0 con 1 e 1 con 0 Nota bene che per qualsiasi base valgono le seguenti proprietà C b (C b (N)) = b k (b k N) = N C d (C d (N)) = b k (b k N 1) 1 = b k b k +N +1 1 = N ovvero che il complemento del complemento di N è uguale a N

45 Operazione di complementazione Esempi: N = 001 (2) C d = 110 (2) C b = 110 (2) + 1 = 111 (2) N = 100 (2) C d = 011 (2) C b = 011 (2) + 1 = 100 (2) N = 000 (2) C d = 111 (2) C b = 111 (2) + 1 = 000 (2) complemento a uno complemento a due complemento a uno complemento a due complemento a uno complemento a due

46 Rappresentazione in complemento a uno Data una sequenza di cifre che rappresenta il modulo (valore assoluto) dell intero relativo che si vuole rappresentare in complemento a uno, si ottiene la sequenza che rappresenta il numero in funzione del segno del numero secondo le seguenti regole: positivi: usando la rappresentazione binaria del modulo negativi: complementando ad uno l intera rappresentazione della rappresentazione binaria del modulo

47 Complemento ad uno Gli intervalli rappresentati sono simmetrici ma con doppia rappresentazione dello zero: lo zero si rappresenta sia come che come le sequenze di bit che iniziano per 0 rappresentano gli interi positivi le sequenze che iniziano per 1 rappresentano gli interi negativi. Esempi: caso degli interi positivi conversione di +232 nella rappresentazione in complemento a uno di lunghezza 10: ottenere la rappresentazione in binario di 232 utilizzando il metodo delle divisioni successive, caso degli interi negativi conversione di -232 nella rappresentazione in complemento a uno: ottenere la rappresentazione in binario di 232 utilizzando il metodo delle divisioni successive, e complementare ogni cifra:

48 Esempi di complemento ad uno a k = 5 cifre Assoluto Positivo Negativo (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2)

49 Rappresentazione in complemento a due Nella rappresentazione in complemento a due utilizziamo la proprietà C b (N) = C d (N) + 1 quindi i numeri negativi si ottengono dai corrispondenti numeri positivi complementando ad 1 ogni cifra e sommando uno La prima cifra continua sempre a rappresentare il segno ed inoltre si ha un solo zero

50 Rappresentazione in complemento a due Regola pratica per ottenere la rappresentazione di un numero negativo da quella del corrispondente positivo: partendo da destra si lasciano invariate tutte le cifre fino al primo uno (incluso) e poi si invertono tutti i successivi.

51 Esempi di somme in complemento a due = riporti = = riporti = = -5 (-2) + (-3) = -5

52 Esempi di operazioni in complemento a due 2 + (-3) = riporti = = -1 Sottrazione: 3-2 = 3 + (-2) = riporti = = 1

53 Overflow e underflow Overflow: = riporti = = -8 Underflow: (-2) + (-7) = riporti = = 7

54 Circolarità della rappresentazione

55 Aritmetica con il complemento a due La somma di due numeri relativi di n cifre si esegue come nel caso dei numeri naturali l eventuale riporto sulla cifra n+1 viene ignorato se il risultato eccede 2n-1 1 si ottiene un numero negativo che non corrisponde al risultato desiderato se il risultato è minore di -2n-1 si ottiene un numero positivo che non corrisponde al risultato desiderato la sottrazione tra due numeri relativi di n cifre si esegue complementando a due il secondo numero ed eseguendo la somma

56 Domande Supponi che la piattaforma Kimbo consenta di rappresentare i numeri interi relativi in complemento a due tramite uno dei seguenti formati formato byte : 8 bit formato short : 16 bit formato int : 32 bit formato long : 64 bit Quali numeri è possibile rappresentare con ognuno di questi formati

57 Risposte Con 8 bit è possibile rappresentare in complemento a due i numeri da -27 a 27-1 l intervallo, dunque, è [ 128, +127] Con 16 bit è possibile rappresentare in complemento a due i numeri da 215 a = = = l intervallo è infatti [ , ] Con 32 bit è possibile rappresentare in complemento a due i numeri da -231 a = = = l intervallo è infatti [ , ] Con 64 bit è possibile rappresentare in complemento a due i numeri da -263 a = l intervallo è [ , ]

58 La rappresentazione dei numeri razionali

59 Rappresentazione di numeri razionali La difficoltà della rappresentazione dei numeri razionali deriva dal fatto che un intervallo arbitrariamente piccolo ne contiene infiniti E dunque possibile rappresentarne solo un sottoinsieme Una delle rappresentazioni più utilizzate è quella in virgola mobile, anche detta floating point

60 Rappresentazione in virgola mobile Un qualunque numero razione può essere riscritto in modo da evidenziare una mantissa ed un esponente? esempi = ( è la mantissa, 3 è l?esponente) = (.235 è la mantissa, 4 è l?esponente) Ciò è vero anche per i numeri in base due? Esempio: m = = ( mantissa e 7 esponente) La rappresentazione in virgola mobile consiste proprio nel rappresentare mantissa ed esponente del numero razionale espresso in base due un bit viene generalmente usato per il segno di m una porzione dei bit viene dedicata alla rappresentazione della mantissa i rimanenti bit vengono utilizzati per rappresentare l?esponente in complemento a due

61 Cosa abbiamo studiato Vincoli per la rappresentazione dell informazione nella memoria di un calcolatore bit e byte introduzione alle strategie per la codifica dei dati i sistemi di numerazione posizionale, con particolare attenzione al sistema di numerazione in base dieci e al sistema di numerazione in base due le operazioni in binario le regole dei cambiamenti di base la rappresentazione degli interi positivi modulo e segno complemento a uno complemento a due le operazioni in complemento a due la circolarità della rappresentazione la rappresentazione dei numeri razionali