La codifica binaria. Informatica B. Daniele Loiacono

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1 La codifica binaria Informatica B

2 Introduzione Il calcolatore usa internamente una codifica binaria ( e ) per rappresentare: i dati da elaborare le istruzioni dei programmi eseguibili Fondamenti di codifica dell informazione: Codifica dei numeri Naturali Interi Frazionari Codifica dei caratteri Codifica delle immagini Algebra di Boole

3 Codifica numeri naturali

4 Rappresentazione in base p Metodo posizionale: ogni cifra ha un peso che dipende dalla posizione Esempio: 23 = = Di solito noi usiamo la base decimale Un numero generico di m cifre è rappresentato dalla sequenza: a n, a n-, a n-2,..., a a n : cifra più significativa a : cifra meno significativa n = m- a i {,,..., p-}

5 Un numero naturale N, composto da m cifre, in base p, si esprime come: Rappresentazione in base p = = = n i i i n n n n p p a p a p a p a p a N... Esempio in base decimale (p=): 587 = Posso rappresentare i numeri nell intervallo discreto: [, p m -]

6 Rappresentazione in base due Base binaria: p=2; cifre a i {, } chiamate bit (binary digit) Otto bit sono chiamati byte Esempio, con m=5: 2 = ( ) = 27 Posso rappresentare i numeri nell intervallo discreto: [, 2 m -] Esempio con m=8: rappresento numeri binari: [ 2, 2 ], ovvero: [, 255]

7 Conversioni di base Per convertire da base due a base : Usare la sommatoria illustrata nella slide precedente Per convertire da base dieci a base due: Metodo delle divisioni successive Esempio: 3 = 2 3/2 = 6 resto = 6/2 = 3 resto = 3/2 = resto = /2 = resto =

8 Basi ottale ed esadecimale Base ottale: p=8; a i {,, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Esempio: = ( ) = 56 Base esadecimale: p=6; a i {,, 2,, 9, A, B, C, D, E, F} Esempio: B7F 6 = ( ) = 2943 Notare: al posto di B e 5 al posto di F, i loro equivalenti in base dieci

9 Somma Si somma cifra per cifra La somma può generare un riporto Il riporto dovrà essere considerato nella somma seguente Riporto precedente Somma Risultato Riporto

10 Somma e carry Esempio: riporto + (5 ) = (9 ) (4 ) riporti + (5 ) = ( ) carry (25 se uso 5 bit; 9 se considero 4 bit: errato)

11 Codifica numeri interi

12 Modulo e segno Occorre codificare anche il segno Uso un bit per memorizzare il segno: significa numero negativo, numero positivo. Esempio m=3: Num. intero, base Num. intero, base due, modulo e segno

13 Complemento a due (CPL 2 ) Usando m bit: (-N) CPL2 = (2 m -N ) 2 Esempio (m=3): (-N) CPL2 = (2 3 -N ) 2 Num. intero base Trasformazione 8-4 = = = = 7 nessuna nessuna nessuna nessuna Num. intero, base 2, CPL 2, m=3 4 = 5 = 6 = 7 = = = 2 = 3 =

14 Complemento a due (CPL 2 ) Posso rappresentare i numeri nell intervallo discreto: [-2 m-, 2 m- -] Asimmetria tra negativi e positivi Esempio (m=8): [-28, +27], perché -2 7 = -28 e = +27 Tutti i numeri negativi cominciano con il bit più significativo posto a, mentre tutti i positivi e lo zero iniziano con uno Codifica da base a complemento a 2 Rappresentare 2 m N Complemento tutti i bit e sommo

15 Somma e sottrazione in CPL 2 Somma: come per i naturali Sottrazione: N - N 2 = N + (-N 2 ) CPL2 Carry: Il carry non viene considerato! Overflow: Se, sommando due interi di m bit dotati di segno concorde, ottengo un risultato di segno discorde (sempre considerando m bit), allora si ha un overflow (il risultato non è codificabile su m bit) e l operazione è errata L overflow non può verificarsi se gli operandi sono di segno discorde

16 Codifica numeri frazionari

17 Parte frazionaria di un numero Rappresentiamo la parte frazionaria di un numero reale In base due, un numero frazionario N, composto da n cifre, si esprime come: N 2 n i 2 = a 2 + a a n 2 = ai 2 i= n Esempio con n=3:, 2 =( ) =,625 Date n cifre in base p=2, posso rappresentare numeri nell intervallo continuo: [, -2 -n ] L errore di approssimazione sarà minore di 2 -n

18 Virgola fissa Uso m bit e n bit per parte intera e frazionaria Esempio (m=8, n=6, tot. 4 bit): -23,2-23 = 2,2 2-23,2, 2 Come scelgo m e n? Precisione costante lungo l asse reale R: R

19 Virgola mobile (floating point) Il numero è espresso come: r = m b n m e n sono in base p m: mantissa (numero frazionario con segno) b: base della notazione esponenziale (numero naturale) n: caratteristica (numero intero) Esempio (p=, b=): -33,6875 = -, m = -,336875; n = 3 Uso l bit e l 2 bit per codificare m e n Precisione variabile lungo l asse reale R: R

20 Codifica caratteri

21 Caratteri Codifica numerica ASCII (American Standard Code for Information Interchange) utilizza 7 bit (estesa a 8 bit) L ASCII codifica: I caratteri alfanumerici (lettere maiuscole e minuscole e numeri), compreso lo spazio I simboli #, ) Alcuni caratteri di controllo che non rappresentano simboli visualizzabili (TAB, LINEFEED, RETURN, BELL, ecc)

22 Tabella ASCII (parziale) DEC CAR DEC CAR DEC CAR DEC CAR DEC CAR A 75 K 97 a 7 k B 76 L 98 b 8 l C 77 M 99 c 9 m D 78 N d n E 79 O e o F 8 P 2 f 2 p G 8 Q 3 g 3 q H 82 R 4 h 4 r I 83 S 5 i 5 s J 84 T 6 j 6 t 85 U 7 u 86 V 8 v 87 W 9 w 88 X 2 x 89 Y 2 y 9 Z 22 z

23 Codifica immagini

24 L immagine digitale Le immagini sono codificate come sequenze di bit Digitalizzazione: passaggio dall immagine alla sequenza binaria L immagine è suddivisa in una griglia di punti (detti pixel) Ogni pixel è descritto da un numero (su 8, 6, 24, o 32 bit) che ne rappresenta il colore (es. con 8 bit 2 8 = 256 combinazioni di colore) Dimensioni dell immagine: larghezza e altezza, in pollici Pixel Pixel

25 L immagine digitale Risoluzione: è data come numero di pixel per pollice (dpi - dot per inch) Spesso (ma non sempre) la risoluzione orizzontale è uguale a quella verticale Standard di codifica: TIFF, PNG: comprimono l immagine, per ridurne l occupazione, senza deteriorarla (compressione lossless) JPEG: comprime (molto di più), ma deteriora l immagine (compressione lossy)

26 Algebra di Boole

27 Algebra di Boole E basata su tre operatori: AND, OR, NOT Ogni formula può assumere solo due valori: vero o falso. Idem per le variabili Rappresentiamo vero con e falso con AND e OR sono operatori binari NOT è un operatore unario

28 Operatori booleani Tavole di verità: A B A AND B A B A OR B A NOT A

29 Operatori booleani: proprietà Commutativa: A OR B = B OR A A AND B = B AND A Distributiva di uno verso l altro: A OR (B AND C) = (A OR B) AND (A OR C) A AND (B OR C) = (A AND B) OR (A AND C) Leggi di De Morgan: A AND B = NOT ((NOT A) OR (NOT B)) A OR B = NOT ((NOT A) AND (NOT B))

30 Espressioni booleane Regole di precedenza: NOT ha la massima precedenza poi segue AND infine OR Se voglio alterare queste precedenze devo usare le parentesi (a volte usate solo per maggior chiarezza) Per valutare un espressione booleana si usa la tabella della verità Due espressioni booleane sono uguali se e solo se le tabelle della verità sono identiche

31 Dalla formula alla tabella Vediamo un esempio, per l espressione: D = A AND NOT (B OR C) D = A AND NOT (B OR C) C B A