Fondamenti di informatica

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1 Fondamenti di informatica Alessandro GORI informottica.webnode.it A.Gori - Fondamenti di informatica 1 Bibliografia Introduzione ai Sistemi Informatici IV edizione, Sciuto et alt., McGraw-Hill Contatti a.gori@unifi.it A.Gori - Fondamenti di informatica 2 Argomenti Rappresentazione e trattamento di dati / informazioni La codifica dei dati A.Gori - Fondamenti di informatica 3 A.Gori - Fondamenti di informatica 4 La codifica dei dati La codifica dei dati Per formalizzare dati (es. numeri e caratteri alfabetici) si utilizzano successioni di simboli, scelti da un insieme finito detto ALFABETO. Ad ogni alfabeto è associato un insieme di REGOLE di COMPOSIZIONE che definiscono le successioni ben formate Es.: 1234,45 OK 1,23,45 no OK Occhio a 123,456 (in Italia o in Inghilterra) Problemi di ambiguità semantica Nel caso di successioni tutte della solita lunghezza, il numero di simboli dell alfabeto e la lunghezza della successione determinano il numero delle possibili successioni diverse ossia il numero di oggetti rappresentabili Con 10 simboli (ad es. le cifre decimali) quante diverse successioni di lunghezza k posso ottenere? 10 k A.Gori - Fondamenti di informatica 5 A.Gori - Fondamenti di informatica 6 HTML 1

2 Alfabeto Binario Per rappresentare l informazione all interno di un calcolatore (alfabeto interno) si usa l alfabeto binario poiché le sue componenti possono trovarsi in due soli stati (0/1); I motivi per i quali i calcolatori sono stati costruiti con tali componenti sono i seguenti: 1. Alta tolleranza dei circuiti al rumore: garanzia di un alto grado di tolleranza agli errori; 2. Circuiti più semplici, tali da poter essere costruiti a basso costo. Motivazioni Nei sistemi di elaborazione si adotta il SISTEMA BINARIO Bistabilità dei dispositivi usati nei computer: Es. presenza o assenza di tensione elettrica in un dispositivo Alfabeto Binario (due soli simboli: 0 e 1) BIT (binary digit) unità elementare di informazione A.Gori - Fondamenti di informatica 8 Bit, Byte, Word Domanda Bit = Binary digit (cifra binaria (1/0)) Byte = 8 bit (raggruppamento più comune nelle memorie e nei dispositivi I/O) Parola (Word) = raggruppamento più grande del byte si misura in n di byte Utilizzando un alfabeto costituito da 2 simboli (0,1) quante successioni diverse ossia quante rappresentazioni diverse si possono ottenere di lunghezza k? Si ottengono 2 k diverse rappresentazioni Esempio: se k=3? Se k=3: diverse combinazioni A.Gori - Fondamenti di informatica 10 Ad una successione di 8 bit si dà il nome di BYTE e di questo si considerano i multipli: Kilobyte Kb 2^10 = 1024 Megabyte Mb 2^20 20 = Gigabyte Gb 2^30 ordine di miliardi Terabyte Tb 2^40 ordine di milioni di milioni A.Gori - Fondamenti di informatica 11 A.Gori - Fondamenti di informatica 12 HTML 2

3 A.Gori - Fondamenti di informatica 13 A.Gori - Fondamenti di informatica 14 DOMANDA DOMANDA?? RISPOSTA A.Gori - Fondamenti di informatica 15 A.Gori - Fondamenti di informatica 16 DOMANDA Quanti bit mi occorrono per codificare i giorni della settimana? RISPOSTA Occorrono 3 bit!!! A.Gori - Fondamenti di informatica 17 A.Gori - Fondamenti di informatica 18 HTML 3

4 A.Gori - Fondamenti di informatica 19 A.Gori - Fondamenti di informatica 20 Quanti simboli binari occorrono per codificarli? A.Gori - Fondamenti di informatica 21 A.Gori - Fondamenti di informatica 22 Codifica ASCII ASCII = American Standard Code for Information Interchange A.Gori - Fondamenti di informatica 23 A.Gori - Fondamenti di informatica 1624 bit HTML 4

5 Codifica di caratteri e testo La codifica dei caratteri attualmente utilizzata e` detta ASCII ; utilizza 8 bit per codificare un carattere. I primi 128 numeri (0xxxxxxx) vengono utilizzati per la codifica dei caratteri Standard, (lettere maiuscole, minuscole, numeri 0-9, segni di punteggiatura ecc.) mentre gli altri 128 numeri (1xxxxxxx) codificano la tabella con le estensioni per gli altri simboli. Codifica ASCII Ogni carattere è rappresentato su 8 bit; L ASCII originario era di 7 bit, forzato a 8 bit con il bit più significativo = 0; Quindi si utilizzano solo metà delle 256 codifiche, ovvero si rappresentano: 2 7 = 128 caratteri: A.Gori - Fondamenti di informatica 25 A.Gori - Fondamenti di informatica 26 Codici ASCII Sistemi di Numerazione Parte Formale A.Gori - Fondamenti di informatica 27 A.Gori - Fondamenti di informatica 28 Numeri Interi Esempi Numeri Interi Posizionale Non Posizionale A.Gori - Fondamenti di informatica 29 A.Gori - Fondamenti di informatica 30 HTML 5

6 Sistemi di Numerazione Posizionali (1) Sistemi di Numerazione in Base b (1) Criterio per la rappresentazione di un insieme infinito di numeri mediante un insieme limitato di simboli. Un sistema di numerazione posizionale ionale è costituito ito da: 1) Una base b; 2) Un insieme ordinato di cifre; 3) Un codice di interpretazione (interpretazione posizionale); 4) Un insieme di algoritmi per le 4 operazioni aritmetiche fondamentali. Il codice di interpretazione specifica che ad ogni posizione è associato un peso; Ogni cifra associata ad una posizione indica il numero delle volte che deve essere considerato il peso corrispondente a quella posizione; Sistema di numerazione posizionale in base b : sistema di numerazione posizionale in cui i pesi sono espressi come potenze della base b. A.Gori - Fondamenti di informatica 31 A.Gori - Fondamenti di informatica 32 Sistemi di Numerazione in Base b (2) Numero in base b : Numero rappresentato utilizzando il sistema di numerazione in base b ed una sequenza di cifre del tipo: (c n-1 c n-2 c 0.c -1 c -m ) b ; Forma Polinomia Vale la relazione (conseguenza della definizione di numero in base b ): (c n-1 c n-2 c 0.cc -1 c -m ) b = Il simbolo. (punto di separazione) separa la parte intera da quella frazionaria: c 0 ha peso b 0 c 1 b 1 c -1 b -1. A.Gori - Fondamenti di informatica 33 c n-1 b n-1 +c n-2 b n-2 + +c 0 b 0.+c -1 b -1 c -m b -m Tale somma di prodotti è detta Forma Polinomia A.Gori - Fondamenti di informatica 34 Sistema di Numerazione in Base 10 Base 10 (b = 10): Cifre c i = {0,1,, 9} Esempio: (127.3) 10 = Sistema di Numerazione in Base 2 Base 2 (b = 2): Cifre c i = {0,1} Esempio: (101.01) 2 = = (5.25) 10 Conseguenza: La forma polinomia rappresenta l algoritmo di conversione binario decimale; In generale: Forma Polinomia sistema in base b sistema decimale A.Gori - Fondamenti di informatica 35 A.Gori - Fondamenti di informatica 36 HTML 6

7 Algoritmi di Conversione Decimale - Binario Si distinguono due casi: Numeri interi (Algoritmo delle Divisioni Successive); Numeri frazionari (Algoritmo delle Moltiplicazioni Successive); In caso di numeri reali con parte intera e frazionaria i due algoritmi vengono applicati separatamente e combinati i risultati. Metodo delle Divisioni Successive (1) (N) 10 N N = c n-1 2 n-1 +c n-2 2 n-2 + +c Dividendo per 2 entrambi i membri: Essendo N=2Q+R N/2=Q+R/2(conR=0o1) R=0 o Si ha: N/2 = Q + R/2 = c n-1 2 n-2 +c n-2 2 n-3 + +c c Q R/2 Quindi R = c 0 ovvero c 0 è il resto della divisione di (N) 10 per 2. A.Gori - Fondamenti di informatica 37 A.Gori - Fondamenti di informatica 38 Metodo delle Divisioni Successive (2) Q = c n-1 2 n-2 +c n-2 2 n-3 + +c Dividendo per 2 entrambi i membri: Essendo Q = 2Q +R Q/2 = Q +R /2 (R =0 o 1) Si ha: Q/2 = Q + R /2 = c n-1 2 n-3 +c n-2 2 n-4 + +c c Q R /2 Quindi R = c 1 ovvero c 1 è il resto della divisione di (Q) 10 per 2. Metodo delle Divisioni Successive (3) I coefficienti forma polinomia in base 2 di (N) 10 intero sono rappresentati dai resti delle divisioni successive di (N) 10, e dei quozienti ottenuti, per 2 L algoritmo termina quando si ottiene un quoziente uguale a zero A.Gori - Fondamenti di informatica 39 A.Gori - Fondamenti di informatica 40 Metodo delle Divisioni Successive (es.) (N) 10 = 13 N/2 = 13/2 Q = 6 R=1 c 0 = 1 Q/2 = 6/2 Q = 3 R=0 c 1 = 0 Q/2 = 3/2 Q=1 R=1 c 2 =1 Q/2 = 1/2 Q = 0 R=1 c 3 = 1 Esempio Base 2 Convertire in binario con l algoritmo delle Divisioni i i i successive il numero 98 (N) 10 = 13 (N) 2 = (1101) 2 (98) 10 = ( ) 2 (N) 2 = (1101) 2 (N) 10 = ( ) = (13) 10 A.Gori - Fondamenti di informatica 41 A.Gori - Fondamenti di informatica 42 HTML 7

8 Esempio Base 2 Esempio Base 2 Scrivere l algoritmo formale che risolve la conversione di un numero naturale da base 10 a base 2 (98) 10 = ( ) 2 (98) 10 = ( ) 2 A.Gori - Fondamenti di informatica 43 A.Gori - Fondamenti di informatica 44 Esempio Inizio Leggi A Esempio Base 2 Vero A<0? Falso Attuale A ST Quoz [ Attuale/2 ] Resto Attuale Quoz*2 ST RESTO + ST Attuale Quoz Scrivere l algoritmo formale che risolve la conversione di un numero da base 10 ad una base naturale qualsiasi diversa da zero ERRORE Falso Attuale=0? Vero Il risultato è= ST (98) 10 = ( ) 2 Fine A.Gori - Fondamenti di informatica 46 Esempio Base 8 Esempio Base 16 3 (799) 10 = (1437) 8 (1479) 10 = (5C7) 16 A.Gori - Fondamenti di informatica 47 A.Gori - Fondamenti di informatica 48 HTML 8

9 Binario - Esadecimale Binario - Esadecimale A.Gori - Fondamenti di informatica 49 A.Gori - Fondamenti di informatica 50 Numeri interi negativi Il modo più semplice per rappresentare i numeri interi con segno è dato dalla rappresentazione in modulo e segno Se si utilizzano k bit, il primo si usa per indicare il segno del numero (1=negativo, 0=positivo); i restanti k-1 servono per rappresentare il modulo del numero. Qual è l intervallo di numeri rappresentabili? [-2 k-1 +1, 2 k-1 1] A.Gori - Fondamenti di informatica 51 Domande: Con 4 bit quali numeri si possono rappresentare? E con 8? Come si rappresenta il numero 0 10? A.Gori - Fondamenti di informatica 52 A.Gori - Fondamenti di informatica 53 A.Gori - Fondamenti di informatica 54 HTML 9

10 Numeri interi negativi Per evitare la doppia codifica dello 0, si preferisce utilizzare la cosiddetta rappresentazione in complemento a base (in questo caso, in complemento a 2) Se si utilizzano successioni di n bit, per rappresentare il numero x, si utilizza il valore binario corrispondente a 2 n +x Sia k=4: Domande: Qual è l intervallo di numeri rappresentabili con k bit? Come si rappresenta lo 0 10? A.Gori - Fondamenti di informatica 55 A.Gori - Fondamenti di informatica 56 A.Gori - Fondamenti di informatica 57 A.Gori - Fondamenti di informatica 58 A.Gori - Fondamenti di informatica 59 A.Gori - Fondamenti di informatica 60 HTML 10

11 Operazioni aritmetiche Operazioni aritmetiche A.Gori - Fondamenti di informatica 61 A.Gori - Fondamenti di informatica 62 Numeri Reali Numeri Reali Mediante rappresentazioni posizionali si possono trattare anche i numeri reali. Solo alcuni numeri reali possono essere rappresentati con un numero finito di cifre della parte frazionaria: tali numeri sono un sottoinsieme dei numeri razionali. Siamo abituati a considerare che tutti i razionali siano rappresentabili in modo finito, utilizzando l'artificio della definizione del periodo: questo artificio richiede una particolare simbologia e non rientra nella notazione posizionale "pura". A.Gori - Fondamenti di informatica 63 A.Gori - Fondamenti di informatica 64 Numeri Reali Numeri Reali Dovendo considerare solo rappresentazioni finite, con un numero di cifre limitato a priori, saremo in grado di rappresentare solo un sottoinsieme dei razionali; in pratica, saremo in grado di rappresentare solo approssimazioni dei numeri reali. A.Gori - Fondamenti di informatica 65 A.Gori - Fondamenti di informatica 66 HTML 11

12 Virgola fissa Si usa una approssimazione del numero su p+f cifre (p per la parte intera ed f per quella frazionaria). Es. Sia p=5 e f=3 e si consideri il numero binario Qual è il valore decimale corrispondente? Virgola fissa Viceversa si può ottenere la stringa binaria che rappresenta il numero con l'algoritmo seguente che fornisce le cifre della rappresentazione a partire dalla più significativa. R=1* *2-2 +1*2-3 = 4+1+1/4+1/8=5+3/8=5.375 A.Gori - Fondamenti di informatica 67 A.Gori - Fondamenti di informatica 68 Virgola fissa Numeri Reali Si tiene conto che 4< <8 e quindi servono almeno 3 cifre per la parte intera, mentre poniamo f=3 p=3 f=3 A.Gori - Fondamenti di informatica 69 A.Gori - Fondamenti di informatica 70 Numeri Reali Numeri Reali Virgola mobile La codifica binaria piu` diffusa dei numeri razionali e` denominata IEEE754 e prevede l utilizzo della notazione scientifica normalizzata in base 2 su 32 bit (singola precisione) o 64 bit (doppia precisione) cosi` suddivisi: A.Gori - Fondamenti di informatica 71 A.Gori - Fondamenti di informatica 72 HTML 12

13 Tipi di dati primitivi numerici Aritmetica degli Elaboratori La differenza tra i diversi tipi per dati numerici consiste nello spazio di memoria che viene utilizzata per la rappresentazione E quindi nell intervallo di valori che possono rappresentare Tipo byte short int long float double Memoria in byte Valore min ,768-2,147,483,648 < -9 x Valore max ,767 2,147,483,647 > 9 x /- 3.4 x con 7 cifre significative +/- 1.7 x con 15 cifre significative A.Gori - Fondamenti di informatica 73 Proprietà: 1. Rappresentazione binaria dei numeri; 2. Rango finito; 3. Alcune operazioni sono espresse in funzione di altre più semplici; 4. Precisione finita (precisione di macchina): la rappresentazione in precisione finita determina un errore di troncamento; 5. Operazioni per mezzo di altre: Sottrazione per mezzo di una complementazione e una addizione Moltiplicazione con successione di somme e shift. A.Gori - Fondamenti di informatica 74 Errore di Troncamento Errore assoluto = valore vero - valore rappresentato; valore vero - valore rappresentato Errore relativo = valore vero Teorema Hp) Rappresentazione binaria di un numero frazionario X alla p-esima cifra dopo il punto; Ts) Errore assoluto di troncamento 2 -p Dim: Err. assoluto m + = i i i i ci 2 + c i 2 ( ci 2 + c i 2 ) = i= 0 i= 1 i= 0 i = valore vero p ( p+ 1) i i i i p = c i 2 2 = 2 2 = = 2 se c i= p+ i = i= p+ 1 i = 0 i = A.Gori - Fondamenti di informatica 75 m + p valore rappresent ato Rappresentazione dei numeri La precisione e` la distanza tra 2 numeri adiacenti rappresentabili. La precisione e` data da N elevato alla -M dove N e` la base del numero ed M e` il numero di cifre utilizzate dopo la virgola. Se ad esempio in base 10 rappresentiamo i numeri con 1 cifra dopo la virgola, la precisione e` 10 alla -1 ovvero 0,1 A.Gori - Fondamenti di informatica 76 Rappresentazione binaria dei numeri reali I NUMERI RAZIONALI E REALI I numeri reali non possono essere rappresentati con una sequenza di bit poiche` il numero di possibili codifiche e` finito; dobbiamo quindi approssimare i numeri reali con numeri razionali, cioe` con un intervallo di variazione finito e con una precisione finita. A.Gori - Fondamenti di informatica 77 Rappresentazione binaria dei numeri reali I numeri razionali possono essere rappresentati componendo la parte intera e la parte frazionaria (come siamo abituati a fare con i numeri decimali). Le 2 parti sono separate dalla virgola (esempio decimale 234,567 ). La sequenza di bit e` suddivisa in 2 campi, una per la parte intera e uno per la parte frazionaria. Parte intera Parte decimale A.Gori - Fondamenti di informatica 78 HTML 13

14 Rappresentazione dei numeri Esistono 2 modi per rappresentare i numeri razionali: a virgola fissa e a virgola mobile. Virgola fissa La notazione a virgola fissa prevede una separazione (non modificabile) della sequenza di bit in 2 parti: una per la parte intera e una per la parte frazionaria. Rappresentazione dei numeri Virgola mobile In questa modalità il numero e` espresso in notazione scientifica n = +/- C,M x BEXP Dove C e` la parte intera (numero naturale diverso da 0), M e` la mantissa (numero naturale), B e` la base ed EXP e` l esponente (numero relativo, maggiore o minore di zero). Ad esempio 234,567 = 234,567 x 10 elevato a 0 = 2345,67 x 10 elevato a -1 = ecc. A.Gori - Fondamenti di informatica 79 A.Gori - Fondamenti di informatica 80 Rappresentazione dei numeri Virgola mobile Un numero espresso in forma esponenziale si dice Normalizzato se a sinistra della virgola vi e` una sola cifra. La notazione scientifica normalizzata dell esempio precedente e`: 2,34567 x 10 2 Rappresentazione dei numeri Virgola mobile La codifica binaria piu` diffusa dei numeri razionali e` denominata IEEE754 e prevede l utilizzo della notazione scientifica normalizzata in base 2 su 32 bit (singola precisione) o 64 bit (doppia precisione) cosi` suddivisi: A.Gori - Fondamenti di informatica 81 A.Gori - Fondamenti di informatica 82 Rappresentazione dei numeri Virgola mobile Il numero reale n si rappresenta cosi` : n = -/+( 1 o 0) e=esponente DELLA BASE 2 1, m Esempio : (numero positivo dalla base e elevato alla 24 moltiplicato per 1,687) Nella singola precisione e e` composto da 8 bit, e quindi l esponente massimo esprimibile è 256 ( 2 elevato alla 8) suddiviso tra numeri negativi e positivi (può` variare tra +128 e 127). Il numero e` rappresentato in forma normalizzata, quindi prima della virgola abbiamo sempre un 1. La mantissa m e` la sequenza di bit dopo la virgola. S è il bit di segno: se s vale 1 allora il segno è negativo, altrimenti è positivo. Esempio di numero in virgola mobile (singola precisione) Traduzione : il primo 1 ci dice che il numero è negativo; 10 ci dice che l esponente vale 10 cioè 2 in binario 0101 è il numero dopo la virgola preceduta sempre da un 1: 2 quindi - 1,0101x 2 = - 101,01 = -5,25 Infatti si ha: ( ) x 2 = - (1 + ¼ + 1/16) x 4 = - 5,25 A.Gori - Fondamenti di informatica 83 A.Gori - Fondamenti di informatica 84 HTML 14